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【摘要】解三角形是高考必考内容，难度中等。高考前的数学复习，教师需要引导学生深度学习，提高复习效率。
【关键词】高中数学;深度学习;新高考备考复习;解三角形
2021年广东省正式开始新高考，数学不再分文理科。历史方向考生数学基础薄弱，每次考试数学成绩平均分比物理方向考生低二十分左右。新高考背景下，如何针对性实行数学高考备考？高考前的数学复习要在有限的时间内达到高效的备考，引导学生进行深度学习，归纳反思，提升效率，锤炼思维。深度学习并不是一味加深难度，而是坚持基础性，掌握方法，归纳题型，发展数学素养，提高数学能力。下面，本文以高考复习解三角形的微设计为例，探讨怎样进行深度学习。
解三角形是高考的必考内容。此题型难度中等，经常被放在解答题第一题，然而入易出难，层层设卡，学生一旦卡在某一层，比如解不出第二问，往往对接下来的问题解答造成不利影响。近期模拟考试解三角形得分率在60%，下面通过解三角形基础知识的整理反思，结合高考题型和模拟试题组成微专题的深度学习，整体把握教学内容，融会贯通结合新旧知识，经历解三角形知识的形成过程，引导学生构建自己的知识系统，体会科学的思考方法，抓住知识的本质特征，学会迁移应用，进一步提高考生在解三角形的得分率。
一、三角形内角和
此定理是初中的教学内容的知识点之一，但是，往往在解题中，容易被学生忽略。高中的内角和定理经常和诱导公式结合。比如：
在△ABC中，sin（A B）=sin（π-C）=sinC引导学生推导其余的公式，如：sin（A B）=-cosC，tan（A B）=tanC，。
例1：在斜三角形ABC中，证明tanA tanB tanC=
tanAtanBtanC。
思路探求：在斜三角形中，sin（A B）=tan（π-C）=-tanC
=-tanC，tanA tanB=-tanC tanAtanBtanC移向即可得证。
反思：本题利用内角和，诱导公式及正切公式展开变形。
二、三角形的面积
三角形的面积公式：△ABC的面积s=aha=ab sinC=ac sinB=bc sinA。
方法点睛：三角形面积公式的结构是两边夹角。已知三角形两边及夹角的大小，就能求面积。
例2：已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc sin2A 20cos（B C）=0，求△ABC面积s。
思路探求：在△ABC中，A B C =π，∴B C=π-A。
反思：利用三角形中的诱导公式和二倍角公式将已知条件展开，出现了三角形面积的整体形式。所以，公式并不只是简单代入应用，应该利用已知条件转化变形，深入思考，总体考虑，进行解答。
三、正弦定理
利用面积公式s=ab sinC=ac sinB，消公因式得bsinC=csinB，转化为，同理得到正弦定理：，其中2R为三角形外接圆的直径。
注：即使在高考复习中，知识点的复习也要注意来龙去脉，定理的内含和外延，这里也可以引导学生用三角形的外接圆证明正弦定理，引导学生回归课本教材，同时引导学生整理正弦定理的变式。
思路1：
…;角与边可以用正弦定理互相转化。
思路2：正弦定理结合三角形面积公式得：
。
思路3：△ABC中sin（A B）=sinC，展开得sinAcosB
cosAsinB=sinC，再由正弦定理转化为acosB bcosA=C。同理得到a=ccosB bcosC，b=ccosA acosC，这就是射影定理。
反思：射影定理因为省略几步，在小题解题中直接应用可提高解题速度，但是在解答题中不能直接使用，需要由正弦定理推导。
例3：△ABC中，c=3，a=4则cosC=___
思路：已知边c，a和角A，先用正弦定理求出sinC，再用平方关系求cosC。
例4：△ABC中，bcosC=（3a-c）cosB，则sinB___
思路：用射影定理得bcosC ccosB=a，a=3acosB，a≠0，得cosB=，再用平方关系得到sinB。用射影定理解三角小题速度很快。
四、余弦定理
如何证明余弦定理？
思路：在△ABC中，，两边平方，得a2=b2 c2-2bccosA。
同理得到余弦定理的其它形式，主要应用在由两角夹边求第三边，或者已知三边求角度。
例5：在△ABC中，边b=3，c=2，cosA=，则a____
思路：已知两边夹角，直接应用余弦定理求边。
变式：上题条件若变a=3，求边b
思路：一样使用含cosA的余弦定理，得到关于b的二次方程，解得正根就是边b，负根舍去。
例6：（2020年高考全国III卷理数）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=____
思路：在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，根据余弦定理：
反思：在解题实战中，根据题目条件，可能多次使用定理解题。
五、最值模型
1.边之和差的最值
例7：（2020年高考全國II卷理数）△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC
（1）求A;
（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值。
思路：（1）由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB，①;由余弦定理得BC2AC2AB2-2AC·ABcosA，②;由①，②得cosA=-.因为0 反思：先由正弦定理将角化边，再用余弦定理得角度。第二问将周长即边之和转化为三角函数，利用有界性求出最值，这是通法。
2.边之积即面积的最值
例8：在△ABC中，平面向量其中B為锐角。
（1）求角B;
（2）若b=2，求△ABC面积最大值。
思路1：根据向量平行得到三角关系式，然后利用二倍角公式和弦化切求得角B。第二问根据由边b和角B以及正弦定理求出ac的（1）由得，
即，所以，∵B为锐角，，即。（2），由正弦定理，得，所以
因为，则当即时，，故△ABC的面积最大值为。
思路2：，由余弦定理，得。又代入上式得，当且仅当a=c=2时取等号成立。∴，故△ABC的面积最大值为。
反思：本题先用向量的数量积得到角的关系式，然后三角变换算得角B;第二问用余弦定理得到边的关系式，再用基本不等式将边之和化为边之积，求出面积最大值;也可以用正弦定理将边之积化为三角函数，再利用图像性质求出最值。
六、结构不良题的训练
结构不良题作为新高考的新题型，也是解三角形备考的热点。实际上，选定条件补充完整之后，就按照正常题型解答即可。
例9：在，两个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答。
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a，______，求△ABC的面积S。
思路：选①则结合正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出边c就可求面积;选②则利用三角形内角和以及和差公式求出sinB，再求出边b，即可求面积。
选①∵csinC=sinA bsinB，∴由正弦定理得c2=a b2。∵a=3，∴b2=c2=3。又∵B=60o，∴b2=c2 9-3c，∴c=4，∴。
选②，且两角均为三角形内角，∴，∴sinB=sin（A C）=sinAcosC cosAsinC=，由正弦定理得
七、反馈训练
1.
2. 在△ABC中，若3（a2 c2）=5b2，则cosB的最小值为_______
3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差数列且b=。
（1）当时，求△ABC的面积S;
（2）若△ABC的面积为S，求S的最大值。
4.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知。
（1）求角B的大小;
（2）求cosA cosB cosC的取值范围。
5.在①cosC （cosA-sinA）cosB=0;②cos2B﹣3cos（A C）=1;③bcosC
【关键词】高中数学;深度学习;新高考备考复习;解三角形
2021年广东省正式开始新高考，数学不再分文理科。历史方向考生数学基础薄弱，每次考试数学成绩平均分比物理方向考生低二十分左右。新高考背景下，如何针对性实行数学高考备考？高考前的数学复习要在有限的时间内达到高效的备考，引导学生进行深度学习，归纳反思，提升效率，锤炼思维。深度学习并不是一味加深难度，而是坚持基础性，掌握方法，归纳题型，发展数学素养，提高数学能力。下面，本文以高考复习解三角形的微设计为例，探讨怎样进行深度学习。
解三角形是高考的必考内容。此题型难度中等，经常被放在解答题第一题，然而入易出难，层层设卡，学生一旦卡在某一层，比如解不出第二问，往往对接下来的问题解答造成不利影响。近期模拟考试解三角形得分率在60%，下面通过解三角形基础知识的整理反思，结合高考题型和模拟试题组成微专题的深度学习，整体把握教学内容，融会贯通结合新旧知识，经历解三角形知识的形成过程，引导学生构建自己的知识系统，体会科学的思考方法，抓住知识的本质特征，学会迁移应用，进一步提高考生在解三角形的得分率。
一、三角形内角和
此定理是初中的教学内容的知识点之一，但是，往往在解题中，容易被学生忽略。高中的内角和定理经常和诱导公式结合。比如：
在△ABC中，sin（A B）=sin（π-C）=sinC引导学生推导其余的公式，如：sin（A B）=-cosC，tan（A B）=tanC，。
例1：在斜三角形ABC中，证明tanA tanB tanC=
tanAtanBtanC。
思路探求：在斜三角形中，sin（A B）=tan（π-C）=-tanC
=-tanC，tanA tanB=-tanC tanAtanBtanC移向即可得证。
反思：本题利用内角和，诱导公式及正切公式展开变形。
二、三角形的面积
三角形的面积公式：△ABC的面积s=aha=ab sinC=ac sinB=bc sinA。
方法点睛：三角形面积公式的结构是两边夹角。已知三角形两边及夹角的大小，就能求面积。
例2：已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc sin2A 20cos（B C）=0，求△ABC面积s。
思路探求：在△ABC中，A B C =π，∴B C=π-A。
反思：利用三角形中的诱导公式和二倍角公式将已知条件展开，出现了三角形面积的整体形式。所以，公式并不只是简单代入应用，应该利用已知条件转化变形，深入思考，总体考虑，进行解答。
三、正弦定理
利用面积公式s=ab sinC=ac sinB，消公因式得bsinC=csinB，转化为，同理得到正弦定理：，其中2R为三角形外接圆的直径。
注：即使在高考复习中，知识点的复习也要注意来龙去脉，定理的内含和外延，这里也可以引导学生用三角形的外接圆证明正弦定理，引导学生回归课本教材，同时引导学生整理正弦定理的变式。
思路1：
…;角与边可以用正弦定理互相转化。
思路2：正弦定理结合三角形面积公式得：
。
思路3：△ABC中sin（A B）=sinC，展开得sinAcosB
cosAsinB=sinC，再由正弦定理转化为acosB bcosA=C。同理得到a=ccosB bcosC，b=ccosA acosC，这就是射影定理。
反思：射影定理因为省略几步，在小题解题中直接应用可提高解题速度，但是在解答题中不能直接使用，需要由正弦定理推导。
例3：△ABC中，c=3，a=4则cosC=___
思路：已知边c，a和角A，先用正弦定理求出sinC，再用平方关系求cosC。
例4：△ABC中，bcosC=（3a-c）cosB，则sinB___
思路：用射影定理得bcosC ccosB=a，a=3acosB，a≠0，得cosB=，再用平方关系得到sinB。用射影定理解三角小题速度很快。
四、余弦定理
如何证明余弦定理？
思路：在△ABC中，，两边平方，得a2=b2 c2-2bccosA。
同理得到余弦定理的其它形式，主要应用在由两角夹边求第三边，或者已知三边求角度。
例5：在△ABC中，边b=3，c=2，cosA=，则a____
思路：已知两边夹角，直接应用余弦定理求边。
变式：上题条件若变a=3，求边b
思路：一样使用含cosA的余弦定理，得到关于b的二次方程，解得正根就是边b，负根舍去。
例6：（2020年高考全国III卷理数）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=____
思路：在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，根据余弦定理：
反思：在解题实战中，根据题目条件，可能多次使用定理解题。
五、最值模型
1.边之和差的最值
例7：（2020年高考全國II卷理数）△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC
（1）求A;
（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值。
思路：（1）由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB，①;由余弦定理得BC2AC2AB2-2AC·ABcosA，②;由①，②得cosA=-.因为0
2.边之积即面积的最值
例8：在△ABC中，平面向量其中B為锐角。
（1）求角B;
（2）若b=2，求△ABC面积最大值。
思路1：根据向量平行得到三角关系式，然后利用二倍角公式和弦化切求得角B。第二问根据由边b和角B以及正弦定理求出ac的（1）由得，
即，所以，∵B为锐角，，即。（2），由正弦定理，得，所以
因为，则当即时，，故△ABC的面积最大值为。
思路2：，由余弦定理，得。又代入上式得，当且仅当a=c=2时取等号成立。∴，故△ABC的面积最大值为。
反思：本题先用向量的数量积得到角的关系式，然后三角变换算得角B;第二问用余弦定理得到边的关系式，再用基本不等式将边之和化为边之积，求出面积最大值;也可以用正弦定理将边之积化为三角函数，再利用图像性质求出最值。
六、结构不良题的训练
结构不良题作为新高考的新题型，也是解三角形备考的热点。实际上，选定条件补充完整之后，就按照正常题型解答即可。
例9：在，两个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答。
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a，______，求△ABC的面积S。
思路：选①则结合正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出边c就可求面积;选②则利用三角形内角和以及和差公式求出sinB，再求出边b，即可求面积。
选①∵csinC=sinA bsinB，∴由正弦定理得c2=a b2。∵a=3，∴b2=c2=3。又∵B=60o，∴b2=c2 9-3c，∴c=4，∴。
选②，且两角均为三角形内角，∴，∴sinB=sin（A C）=sinAcosC cosAsinC=，由正弦定理得
七、反馈训练
1.
2. 在△ABC中，若3（a2 c2）=5b2，则cosB的最小值为_______
3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差数列且b=。
（1）当时，求△ABC的面积S;
（2）若△ABC的面积为S，求S的最大值。
4.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知。
（1）求角B的大小;
（2）求cosA cosB cosC的取值范围。
5.在①cosC （cosA-sinA）cosB=0;②cos2B﹣3cos（A C）=1;③bcosC