在实际生活中,经常遇到这样一类问题：在一定条件下,“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”、“面积最大”、“容积最大”、“强度最大”、“成本最低”等问题,常常归结为求函数的最值问题,从而可利用导数来解决。
　　【例1】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位：米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．
　　设该容器的建造费用为y千元．
　　(1) 写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域；
　　(2) 求该容器的建造费用最小时的r．
　　分析 本题以生活中常见的圆柱、球为背景,同学们并不陌生。利用体积相等建立方程,得到l与r之间的关系,根据已知l≥2r,求出函数定义域。难点在于用导数求函数最值时需要分类讨论。
　　解 (1) 由题意可知πr2l+43πr3=803π(l≥2r),所以l=803r2-43r≥2r,得0　　该容器的建造费用为
　　y=2πrl×3+4πr2×c=6πr803r2-43r+4πr2c,
　　即y=160πr-8πr2+4πr2c,定义域为{r|0　　(2) 由(1)得y′=-160πr2-16πr+8πrc
　　=8π(c-2)r2r3-20c-2,
　　由于c>3,所以c-2>0.令y′=0,得r=320c-2．
　　令r=320c-2=2,即c=4.5,
　　①当3　　②当c>4.5时,320c-2<2.当0320c-2时,y′>0,y为增函数,所以当r=320c-2时,y有最小值．
　　综上所述,当3　　当c>4.5时,建造费用最少时r=320c-2．
　　【例2】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3　　(1) 求a的值；
　　(2) 若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
　　分析 在日常生活中,商家追求利润最大化问题司空可见,学生高考中遇到这类背景,应该很坦然。本题主要考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、数学应用意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想。
　　解 (1) 因为x=5时,y=11,
　　所以a2+10=11,a=2．
　　(2) 由(1)可知,该商品每日的销售量y=2x-3+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)2x-3+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3　　从而f′(x)=10［(x-6)2+2(x-3)(x-6)］=30(x-4)(x-6)．
　　令f′(x)=0,则x=4或x=6．
　　于是,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
　　
　　x(3,4)4(4,6)
　　f′(x)+0-
　　f(x)单调递增极大值42单调递减
　　由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点．
　　所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42．
　　答：当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大．
　　【例3】 某广告公司为2011年西安世界园艺博览会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE,DF是两根支杆,其中AB=2米,∠EOA=∠FOB=2x00),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．
　　(1) 试将y表示为x的函数；
　　(2) 试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
　　分析 本题具有鲜明的时代背景,十分新颖。难点在于用x表示DE、DF的长,突破难点的关键看能否想到：把DE、DF转化到三角形中。
　　解 (1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧EF、AE、BF的长分别为π-4x,2x,2x．
　　连接OD,则OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+π2．
　　在△DOE中,由余弦定理得
　　DE2=OE2+OD2-2OE•ODcos∠DOE
　　=1+1-2cos2x+π2=2+2sin2x，
　　所以DE=2+2sin2x=2(sinx+cosx)2=2(sinx+cosx)．
　　同理,DF=2(sinx+cosx)．
　　所以该霓虹灯整体的“心悦效果”
　　y=2k［22(sinx+cosx)+π-4x］+k(22+4x)
　　=2k［22(sinx+cosx)-2x+2+π］
　　0　　(2) 因为由y′=4k［2(cosx-sinx)-1］=0,可得cosx+π4=12,故x=π12．
　　当x∈0,π12时,y′>0,函数y在0,π12上单调递增；
　　当x∈π12,π4时,y′<0,函数y在π12,π4上单调递减．
　　所以当x=π12时,函数y有最大值,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．
　　点评 解决实际生活中的问题,首先是在认真审题的基础上,建立相应的数学模型,然后再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有力的工具,其基本思路如下流程图所示：
　　实战演练
　　1. 某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值.经过市场调查,产品增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a-x)和x2的乘积成正比；②当x=a2时,y=a3,并且技术改造投入比率x2(a-x)∈(0,t］,其中t为常数,且t∈(0,2］．
　　(1) 求函数y=f(x)的解析式及其定义域；
　　(2) 求出产品的增加值y的最大值及相应的x的值．
　　2. 一艘渔艇在距岸9 km处,今需派人送信给距渔艇334 km处的海岸渔站,如果船速每小时4 km,送信人步行每小时5 km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？
　　
　　【参考答案】
　　1. (1) 由题意,设y=f(x)=k(a-x)x2,
　　因为当x=a2时,y=a3,所以a3=k•a2•a24,
　　解得k=8,故f(x)=8(a-x)x2.
　　由0　　所以函数y=f(x)的定义域为0,2at2t+1．
　　(2) 由(1)知,f′(x)=-24x2+16ax,
　　令f′(x)=0,则x=0(舍)或x=2a3．
　　当00,f(x)为增函数；
　　当x>2a3时,f(x)′<0,f(x)为减函数,
　　所以x=2a3为极大值点．
　　当2at2t+1≥2a3,即1≤t≤2时,
　　ymax=f2a3=3227a3；
　　当2at2t+1<2a3,即0　　ymax=f2at2t+1=32a3t2(2t+1)3．
　　综上所述,当1≤t≤2时,投入2a3万元,最大增加值为3227a3万元；
　　当0　　
　　2. 解法一：如图,BC为海岸线,A为渔艇处,D为海岸线上一点,为节省时间,则D应在B、C之间.令BD=x,设T表示送信人抵达渔站需要的时间.
　　在Rt△ABC中,AB=9,AC=334,
　　所以BC=AC2-AB2=15．
　　在Rt△ABD中,AD=AB2+BD2=81+x2,
　　所以送信人抵达渔站需要的时间为
　　T(x)=81+x24+15-x50≤x≤15,
　　所以T′(x)=14•2x281+x2-15
　　=5x-481+x22081+x2
　　=9x-12x+122081+x25x+481+x2,
　　令T′(x)=0,得x=-12(舍)或x=12．
　　当x∈0,12时,T′(x)<0,T(x)单调递减；当x∈12,15时,T′(x)>0,T(x)单调递增．
　　所以当x=12时,Tmin=154+35=8720,此时CD=3．
　　即在距渔站3 km处登岸可使抵达渔站的时间最省．
　　解法二：在Rt△ABD中,令∠DAB=θ0<θ<π2,则AD=9cosθ,BD=9tanθ．
　　因此DC=15-DB=15-9tanθ,
　　所以送信人抵达渔站需要的时间为
　　T=94cosθ+1515cosθ-9sinθcosθ
　　=94cosθ-9sinθ5cosθ+3=9(5-4sinθ)20cosθ+3,
　　所以T′(θ)=9-4cos2θ-(5-4sinθ)•(-sinθ)20cos2θ=9(5sinθ-4)20cos2θ,
　　令T′(x)=0,得sinθ=45．
　　当sinθ<45时,T′(θ)<0,T(θ)单调递减；
　　当sinθ>45时,T′(θ)>0,T(θ)单调递增．
　　所以当sinθ=45时,Tmin=8720,此时cosθ=35,tanθ=43,DC=15-9×43=3．
　　即在距渔站3 km处登岸可使抵达渔站的时间最省.