论文部分内容阅读
【摘要】 数学是作为衡量一个人能力的一门重要学科，相对其他学科，概念抽象，习题繁多，受其学科特点决定. 数学解题则是学生在学习数学过程中一项必不可少的内容. 学生的解题错误信息实际上是一种重要的教学资源. 怎样充分地利用好这一资源来帮助学生认识产生错误的原因，是一个值得我们认真研究的课题.
【关键词】 数学解题；错误信息
一、问题提出
数学解题是促使学生理解和掌握数学知识、应用数学知识的一个重要方式. 在解题过程中，由于个体认知能力的差异，学法解法的差异以及学生思维能力的差异，总是存在诸多的错误. 在数学学习中，一旦有了解题，则错误不可避免，我们无法达到使每名学生在解题中不犯错误的程度，但我们可以尽可能使学生在解题中少犯错误，减少出现错误的机会. 这除了教学中所需作出的努力外，我想，就其错误本身，也是一道美丽的风景，它能及时展示我们教学中存在的不足，了解学生在学习中存在的问题，帮助教师了解学生出现错误的成因，以便更好地促其发展. 因此，我要说，错误也美丽，我们应善待错误.
二、课堂教学过程回馈
学生在进行中考第二轮复习过程中，通常以横向为主，以专题的形式进行深化提高，并周期性地做一些综合练习，用相对较短的时间再作一个循环，以期突出重点，再度提升学生解决问题的能力. 学生由于认知结构方面的原因，求解时常常会出现这样或那样的错误. 怎样帮助学生正确运用相关的知识点，有效地走出误区呢？
1． 创设情境
和通常的复习课一样，教师借助多媒体课件，系统地罗列了相关知识点和考点，然后提出一个问题：
如图1，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｏ是ＣＤ边的中点，以O为圆心、ＯＣ长为半径作圆，交ＢＣ边于点Ｅ．过Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ．已知⊙Ｏ与ＡＢ边相切，切点为Ｆ.
（１）求证：ＯＥ∥ＡＢ；
（２）求证：ＥＨ ＝ ＡＢ；
（３）若 = ，求的值．
从不同的角度入手思考，可以得到这个问题不同的解法. 通过学生尝试，看学生谁解得快，解得好，想到的方法不同.
问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发出来，他们跃跃欲试，立即投入到解法的探索中去.
２． 展示错解
在学生求解的过程中，发现学生１和学生２很快得出了结果，他们所用的解法不同，但都是错误的，且具有一定的典型性和代表性. 于是，组织学生对此解法展开讨论，进行辨析. 学生１在证明第（１）小题中用到了以下的方法：
证明 连接ＯＦ.
∵ ⊙Ｏ与ＡＢ切于点Ｆ，
∴ ＯＦ⊥ＡＢ.
∵ ＥＨ⊥ＡＢ，
∴ ＯＦ ∥ＥＨ，
∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°，
∴ ＯＥ ∥ＡＢ.
学生２在证明第（２）（３）小题中有如下过程：
证明 （２）连接ＯＦ.
∵ ⊙Ｏ与ＡＢ切于点Ｆ ，
∴ ＯＦ⊥ＡＢ.
∵ ＥＨ⊥ＡＢ，
∴ ＯＦ ∥ＥＨ.
又 ∵ ＯＥ∥ＡＢ，
∴四边形ＯＥＨＦ为平行四边形，
∴ ＥＨ＝ ＯＦ.
∵ ＯＦ ＝ ＣＤ ＝ ＡＢ，
∴ ＥＨ ＝ ＡＢ.
解 过Ｏ作ＯＧ⊥ＢＣ于Ｇ.
∵四边形ＯＥＨＦ为平行四边形，
又 ∵∠ＯＦＨ ＝ ９０°，
又 ∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ，
∴ ＯＥＨＦ为正方形，
∴ ＯＥ ＝ ＥＨ，∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°.
又 ∵ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°，
∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°.
∵ ∠Ｂ ＋ ∠ＨＥＢ ＝ ９０°，
∠ＯＥＧ＋∠ＨＥＢ ＝ ９０°，
∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＧ，
∴△ＥＨＢ ≌ △OEG，
∴ ＢＨ ＝ ＥＧ.
∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，ＯＧ⊥ＢＣ，
∴ ＥＧ ＝ ＥＣ,
∴ = .
3． 错题辨析
学生经过激烈地讨论，发现这两名学生的解法表面好像是对的，实际上却都是错误的解法.
学生指出：学生１对ＯＦ∥ＥＨ后的同位角搞错了，以为是∠ＢＨＥ与∠ＯＥＨ. 正确的解法可为：
在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ＤＣ．
∴ ∠Ｂ ＝∠Ｃ.
∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，
∴ ∠ＯＥＣ ＝ ∠Ｃ，
∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＣ，
∴ ＯＥ∥ＡＢ.
教师：学生２的解法表面上看来是正确的，那解法是否正确呢？学生指出：学生２所找的边虽然相等，但并不是对应边，由此解错. 正确的做法为：
连接ＤＥ.
∵ ＣＤ是直径，
∴ ∠ＤＥＣ ＝ ９０°，
则∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ.
又 ∵ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，
∴ △ＥＨＢ∽△ＤＥＣ，
∴ = .
∵ = ，
设ＢＨ ＝ ｋ，
则ＢＥ ＝ ４ ｋ，ＥＨ ＝ = k，
∴ ＣＤ ＝ ２ＥＨ ＝ ２k，
∴ = = = .
错误往往是正确的先导，错误也往往是发现的先导，学生的“错解”有其内在的合理性，从学生的“错解”中拣出合理的成分，补救出新的解法，探索出新的规律和结论，让学生“从跌倒的地方自己爬起来”，使学生获得从失败走向成功的思维过程的体验.
4． 更进一步
教师又补充了这样的一道题目：
如图4，点Ｅ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，Ｆ是ＢＣ边上一动点，线段ＤＥ和ＡＦ相交于点Ｐ，连接PC，过点A作ＡＱ∥ＰＣ交PD于Q．
（１）证明：ＰＣ ＝ ２ＡＱ；
（２）当点Ｆ为ＢＣ的中点时，试猜想PF = 2AP是否成立. 若成立，试说明理由；若不成立， 试求 的值．
探究是没有止境的，学生在错误中发现了解题的思路和不同的方法.
法一：（１）连接AC交DE于点K，如图5.
∵ ＡＥ∥ＤＣ，∴∠ＡＥＰ ＝ ∠ＣＤＰ，
又 ∠ＡＫＥ ＝ ∠ＣＫＤ，∴△ＡＫＥ∽△ＣＫＤ，
∴ = = .
∵AQ∥PC，∴∠KAQ = ∠PCK，
又 ∠AKQ = ∠CKP，
∴ △AKQ∽△CKP.
∴ = ，
∵ = ，∴ = ，
即ＰＣ ＝ ２ＡＱ．
法二：（１）延长ＤＥ，ＣＢ相交于点Ｒ，作ＢＭ∥ＰＣ，如图5.
∵ AQ∥PC，BM∥PC，∴MB∥AQ. ∴∠AQE = ∠EMB.
∵ E是ＡＢ的中点，Ｄ，Ｅ，Ｒ三点共线，
∴ AE = EB，∠AEQ = ∠BEM．
∴ △AEQ ≌ △BEM，∴ AQ = BM.
同理△AED ≌ △REB． ∴ AD = BR = BC，
∵ BM∥PC，∴ △RBM ∽△RCP，
相似比是． ∴ PC = 2MB = 2AQ．
（２）当点Ｆ为ＢＣ的中点时，PF = 2AP不成立．
作ＢＮ∥ＡＦ，交ＲＤ于点Ｎ，如图6．
则△RBN ∽△RFP．
∵F是ＢＣ的中点，ＲＢ ＝ ＢＣ，
∴ RB = RF.
∴ = = ．
又 AE = BE，∠NEB = ∠PEA，∠NBE = ∠PAE，
∴ △BNE ≌ △APE，
∴ AP = BN.
∴ AP = BN = PF.
即 = ．
珍视并合理地开发日常教学中的错误资源，注意在学生的错误中生成探究课题，以此为契机，引导学生开展探究活动，可以大大地激发学生课堂参与的热情，让死的知识活起来，变单纯的传递与接受为积极主动的发现和构建，从而达到转变课堂教学功能和学习方式的目的，使课堂充满生命的活力，在师生不断地“识错”、“思错”和“纠错”的过程中，新的问题不断地被发现，新的资源不断地生成，这对于教学视野的拓展、教学观念的转变以及学生创造性智慧的激发都可以起到十分重要的作用.
三、教学感悟
面对日常教学中学生出现的错解，教师怎样才能有效地帮助学生认识产生错误的原因，使学生从错误中走出来呢？实际教学中，许多教师喜欢采用“告诉”的方法，一是针对学生解题中出现的错误，进行集中讲评，告诉学生错因和注意事项，要求学生不要再犯类似的错误；二是对学生容易出错的问题，提前暗示，事先指出，叫做“防患于未然”，但效果往往是学生听起来懂，做起来错，学生责怪自己粗心，教师埋怨学生太笨. 果真如此吗？心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用则是不能原谅的. ”而犯错误、纠正错误的过程也是一种学生对错误的认识，也应该由学生自己建构起来，成功的乐趣只有在经历挫败的痛楚后才能获得更深切的体验.
【参考文献】
［１］林婷． 课堂精彩源于有效生成［Ｊ］．中国数学教育，２０１０．５.
［2］张俊． 无意生成，别样精彩［Ｊ］．数学通讯，２０１０．３.
［3］曹军． 善待学生“意外”，彰显课堂“精彩”［Ｊ］．中学数学杂志，２００９．９.
［4］毛浙东． 把握动态生成，构建和谐课堂［Ｊ］．中学数学教学参考（上半月），２００８．９．
【关键词】 数学解题；错误信息
一、问题提出
数学解题是促使学生理解和掌握数学知识、应用数学知识的一个重要方式. 在解题过程中，由于个体认知能力的差异，学法解法的差异以及学生思维能力的差异，总是存在诸多的错误. 在数学学习中，一旦有了解题，则错误不可避免，我们无法达到使每名学生在解题中不犯错误的程度，但我们可以尽可能使学生在解题中少犯错误，减少出现错误的机会. 这除了教学中所需作出的努力外，我想，就其错误本身，也是一道美丽的风景，它能及时展示我们教学中存在的不足，了解学生在学习中存在的问题，帮助教师了解学生出现错误的成因，以便更好地促其发展. 因此，我要说，错误也美丽，我们应善待错误.
二、课堂教学过程回馈
学生在进行中考第二轮复习过程中，通常以横向为主，以专题的形式进行深化提高，并周期性地做一些综合练习，用相对较短的时间再作一个循环，以期突出重点，再度提升学生解决问题的能力. 学生由于认知结构方面的原因，求解时常常会出现这样或那样的错误. 怎样帮助学生正确运用相关的知识点，有效地走出误区呢？
1． 创设情境
和通常的复习课一样，教师借助多媒体课件，系统地罗列了相关知识点和考点，然后提出一个问题：
如图1，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｏ是ＣＤ边的中点，以O为圆心、ＯＣ长为半径作圆，交ＢＣ边于点Ｅ．过Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ．已知⊙Ｏ与ＡＢ边相切，切点为Ｆ.
（１）求证：ＯＥ∥ＡＢ；
（２）求证：ＥＨ ＝ ＡＢ；
（３）若 = ，求的值．
从不同的角度入手思考，可以得到这个问题不同的解法. 通过学生尝试，看学生谁解得快，解得好，想到的方法不同.
问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发出来，他们跃跃欲试，立即投入到解法的探索中去.
２． 展示错解
在学生求解的过程中，发现学生１和学生２很快得出了结果，他们所用的解法不同，但都是错误的，且具有一定的典型性和代表性. 于是，组织学生对此解法展开讨论，进行辨析. 学生１在证明第（１）小题中用到了以下的方法：
证明 连接ＯＦ.
∵ ⊙Ｏ与ＡＢ切于点Ｆ，
∴ ＯＦ⊥ＡＢ.
∵ ＥＨ⊥ＡＢ，
∴ ＯＦ ∥ＥＨ，
∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°，
∴ ＯＥ ∥ＡＢ.
学生２在证明第（２）（３）小题中有如下过程：
证明 （２）连接ＯＦ.
∵ ⊙Ｏ与ＡＢ切于点Ｆ ，
∴ ＯＦ⊥ＡＢ.
∵ ＥＨ⊥ＡＢ，
∴ ＯＦ ∥ＥＨ.
又 ∵ ＯＥ∥ＡＢ，
∴四边形ＯＥＨＦ为平行四边形，
∴ ＥＨ＝ ＯＦ.
∵ ＯＦ ＝ ＣＤ ＝ ＡＢ，
∴ ＥＨ ＝ ＡＢ.
解 过Ｏ作ＯＧ⊥ＢＣ于Ｇ.
∵四边形ＯＥＨＦ为平行四边形，
又 ∵∠ＯＦＨ ＝ ９０°，
又 ∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ，
∴ ＯＥＨＦ为正方形，
∴ ＯＥ ＝ ＥＨ，∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°.
又 ∵ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°，
∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°.
∵ ∠Ｂ ＋ ∠ＨＥＢ ＝ ９０°，
∠ＯＥＧ＋∠ＨＥＢ ＝ ９０°，
∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＧ，
∴△ＥＨＢ ≌ △OEG，
∴ ＢＨ ＝ ＥＧ.
∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，ＯＧ⊥ＢＣ，
∴ ＥＧ ＝ ＥＣ,
∴ = .
3． 错题辨析
学生经过激烈地讨论，发现这两名学生的解法表面好像是对的，实际上却都是错误的解法.
学生指出：学生１对ＯＦ∥ＥＨ后的同位角搞错了，以为是∠ＢＨＥ与∠ＯＥＨ. 正确的解法可为：
在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ＤＣ．
∴ ∠Ｂ ＝∠Ｃ.
∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，
∴ ∠ＯＥＣ ＝ ∠Ｃ，
∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＣ，
∴ ＯＥ∥ＡＢ.
教师：学生２的解法表面上看来是正确的，那解法是否正确呢？学生指出：学生２所找的边虽然相等，但并不是对应边，由此解错. 正确的做法为：
连接ＤＥ.
∵ ＣＤ是直径，
∴ ∠ＤＥＣ ＝ ９０°，
则∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ.
又 ∵ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，
∴ △ＥＨＢ∽△ＤＥＣ，
∴ = .
∵ = ，
设ＢＨ ＝ ｋ，
则ＢＥ ＝ ４ ｋ，ＥＨ ＝ = k，
∴ ＣＤ ＝ ２ＥＨ ＝ ２k，
∴ = = = .
错误往往是正确的先导，错误也往往是发现的先导，学生的“错解”有其内在的合理性，从学生的“错解”中拣出合理的成分，补救出新的解法，探索出新的规律和结论，让学生“从跌倒的地方自己爬起来”，使学生获得从失败走向成功的思维过程的体验.
4． 更进一步
教师又补充了这样的一道题目：
如图4，点Ｅ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，Ｆ是ＢＣ边上一动点，线段ＤＥ和ＡＦ相交于点Ｐ，连接PC，过点A作ＡＱ∥ＰＣ交PD于Q．
（１）证明：ＰＣ ＝ ２ＡＱ；
（２）当点Ｆ为ＢＣ的中点时，试猜想PF = 2AP是否成立. 若成立，试说明理由；若不成立， 试求 的值．
探究是没有止境的，学生在错误中发现了解题的思路和不同的方法.
法一：（１）连接AC交DE于点K，如图5.
∵ ＡＥ∥ＤＣ，∴∠ＡＥＰ ＝ ∠ＣＤＰ，
又 ∠ＡＫＥ ＝ ∠ＣＫＤ，∴△ＡＫＥ∽△ＣＫＤ，
∴ = = .
∵AQ∥PC，∴∠KAQ = ∠PCK，
又 ∠AKQ = ∠CKP，
∴ △AKQ∽△CKP.
∴ = ，
∵ = ，∴ = ，
即ＰＣ ＝ ２ＡＱ．
法二：（１）延长ＤＥ，ＣＢ相交于点Ｒ，作ＢＭ∥ＰＣ，如图5.
∵ AQ∥PC，BM∥PC，∴MB∥AQ. ∴∠AQE = ∠EMB.
∵ E是ＡＢ的中点，Ｄ，Ｅ，Ｒ三点共线，
∴ AE = EB，∠AEQ = ∠BEM．
∴ △AEQ ≌ △BEM，∴ AQ = BM.
同理△AED ≌ △REB． ∴ AD = BR = BC，
∵ BM∥PC，∴ △RBM ∽△RCP，
相似比是． ∴ PC = 2MB = 2AQ．
（２）当点Ｆ为ＢＣ的中点时，PF = 2AP不成立．
作ＢＮ∥ＡＦ，交ＲＤ于点Ｎ，如图6．
则△RBN ∽△RFP．
∵F是ＢＣ的中点，ＲＢ ＝ ＢＣ，
∴ RB = RF.
∴ = = ．
又 AE = BE，∠NEB = ∠PEA，∠NBE = ∠PAE，
∴ △BNE ≌ △APE，
∴ AP = BN.
∴ AP = BN = PF.
即 = ．
珍视并合理地开发日常教学中的错误资源，注意在学生的错误中生成探究课题，以此为契机，引导学生开展探究活动，可以大大地激发学生课堂参与的热情，让死的知识活起来，变单纯的传递与接受为积极主动的发现和构建，从而达到转变课堂教学功能和学习方式的目的，使课堂充满生命的活力，在师生不断地“识错”、“思错”和“纠错”的过程中，新的问题不断地被发现，新的资源不断地生成，这对于教学视野的拓展、教学观念的转变以及学生创造性智慧的激发都可以起到十分重要的作用.
三、教学感悟
面对日常教学中学生出现的错解，教师怎样才能有效地帮助学生认识产生错误的原因，使学生从错误中走出来呢？实际教学中，许多教师喜欢采用“告诉”的方法，一是针对学生解题中出现的错误，进行集中讲评，告诉学生错因和注意事项，要求学生不要再犯类似的错误；二是对学生容易出错的问题，提前暗示，事先指出，叫做“防患于未然”，但效果往往是学生听起来懂，做起来错，学生责怪自己粗心，教师埋怨学生太笨. 果真如此吗？心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用则是不能原谅的. ”而犯错误、纠正错误的过程也是一种学生对错误的认识，也应该由学生自己建构起来，成功的乐趣只有在经历挫败的痛楚后才能获得更深切的体验.
【参考文献】
［１］林婷． 课堂精彩源于有效生成［Ｊ］．中国数学教育，２０１０．５.
［2］张俊． 无意生成，别样精彩［Ｊ］．数学通讯，２０１０．３.
［3］曹军． 善待学生“意外”，彰显课堂“精彩”［Ｊ］．中学数学杂志，２００９．９.
［4］毛浙东． 把握动态生成，构建和谐课堂［Ｊ］．中学数学教学参考（上半月），２００８．９．