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摘 要:传统的中职数学教学中,教师往往比较重视学生数学逻辑思维能力的培养,而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养。其实,数学直觉思维也是一种很重要的思维形式。本文提出重视和加强中职学生数学直觉思维能力训练,阐述数学直觉思维的基本内涵和特征,以及如何培养中职学生数学直觉思维能力,及创新思维习惯,以适应新时期社会对人才的需要。
关键词:直觉思维 审美 数形结合
法国科学家庞加莱曾说过:“没有直觉,年轻人在理解数学时便无从着手;他们不可能学会热爱它,他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论;尤其是没有直觉,他们永远也不会有应用数学的能力。”当前,我们应结合职中学生发展特点,努力使学生学会对客观事物的数量和数学模式进行思考和判断,提高职中学生的数学应用能力和数学创新能力,特别是思维能力的培养(其中包括直觉思维能力的培养)。
一、重视和加强直觉思维能力的培养
直觉思维是人类自古以来就一直存在的一种思维方式,是一种人们普遍运用的认识事物、思索问题的思考方法。它曾在人类的科技发展史、艺术发展史上“屡建奇功”。如笛卡儿创立解析几何,牛顿发明微积分,阿基米德在浴室里找到辨别王冠真假的方法,这些无一不是直觉思维的杰作。尤其是在当今社会,直觉思维日益显示了它在人的认识活动中的作用和重要。直觉思维能力强的人,往往靠直觉就能正确判断形势,洞察实质,获得结论,做出抉择。如果情况紧迫,需要我们当机立断,快刀斩乱麻时,若不懂得、不习惯或不善于运用直觉思维,而仍企图通过严谨、周密的逻辑思维以求万全之策,则势必会贻误战机,造成损失。
现代社会需要大量具有很强直觉思维能力的人才。但是,目前数学教学中,则往往偏重于逻辑思维能力的培养,过分强调形式论证的严谨性,忽视直觉思维的突发性理解和顿悟作用,忽视数学形成过程中生动直观的一面及包括大量源于直觉思维的结果。值得可喜的是:现在中职教育已经认识到培养学生“思维能力”的重要性,已由原来的培养学生“逻辑思维能力”理念,转变为培养学生“思维能力”。虽然只是去掉两个字,概念的内涵却更加丰富,人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在大力提倡创新精神的今天,重视和加强学生数学直观思维能力的培养,确是当务之急。
二、数学直觉思维的基本内涵和特征
在日常生活的数学教学中,我们常常会遇到这样的情形:在课堂上题目刚刚写完,老师还没来得及解释题意,有的同学立刻报出了答案。若进一步问他为什么?他说不出思维过程。此时,其他同学就会笑他瞎猜,这种现象就是直觉思维。那么,直觉思维究竟是什么?直觉思维首先是一种特殊的思维活动,是指人们对事物或问题不经反复思考的一种直接洞察,它不同于感官所提供的一般“感觉”,而是一种思维活动。其次,这种思维活动又不同于一般的逻辑思维的推理,这种觉察往往是“知其然而不知其所以然”,尽管判断的结论是正确的,却不能马上说出理由和依据。我们把这种具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的敏锐想象和迅速判断称之为数学直观思维。它具有以下基本特征:
(一)思维对象的总体性
思维主体运用直觉思维,总是从总体上观察、认识事物后,便对它做出某种断定。而不像一般运用逻辑那样,先分析认识事物的各个局部,然后再综合认识事物的全局、整体。
(二)思维速度的瞬时性
直觉思维进行的速度极快,所思考的问题在头脑中的出现和解决,令人感到几乎是同时发生的。这样的速度,远非一般运用逻辑的速度可比。
(三)思维主体的顿悟性
思维主体运用直觉思维获得成果,表现为思想上的一种“顿时领悟”,一种“豁然开朗”;而不像运用逻辑思维那样层层深入,逐步明确的认识事物。
(四)思维结果的猜测性
直觉思维不像逻辑那样,只要思维的根据真实,思维形式正确,思维的结果就必然真实,而是具有猜测性、试探性。
三、数学直觉思维能力的培养
徐利治教授曾指出:“数学直觉思维是可以后天培养的。实际上每个人的数学直觉思维也是不断提高的”。数学直觉思维能力的培养包括教学中的培养和鼓励、指导学生自我锻炼两个方面。还要注意直觉思维具有不可靠性,避免被错误的直觉所误导。具体来说数学直觉思维能力的培养应从以下几个方面进行:
(一)着眼中职学生的直觉“顿悟”,延展中职学生的思维品质
具有扎实的基础和广阔的思维才能使学生的数学知识和数学经验得到积累和升华,才能形成直觉所运用的“数学知识组块”,才能在认识上产生“顿悟”——合理的数学直觉。现代格式塔学习理论也认为:在某种程度上说,学习是对心理环境的重新组建或重新构造,并把学习成功归结为“顿悟”的结果。特别强调直觉顿悟,重视思维整体延伸。在实际教学中,只有注重学生的思维品质的培养,才能使学生的数学直觉思维能力得到有效的提高。
(二)发挥中职学生的直觉联想,唤起中职学生的审美意识
伟大的科学家庞加莱指出:“能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘之美能力的人,而且只限于这种人。”数学美充满了整个数学领域,而这些数学美是引起数学直觉的动力,是产生数学直觉的重要条件。我们在教学实践中应充分展现数学美,挖掘数学美和创造数学美,激发学生发挥直觉联想,提高他们对数学的审美能力,引导学生按照美的规律去想象、去判断。
例4.(著名的“刘卡趣题”)假定较长时间以来某轮船公司每天中午有一艘轮船从A地开往B地,并且在每天同一时间,也有一艘轮船从B地开往A地,轮船在途中所发时间来去都是7昼夜,问今天中午从A地开往B地的轮船在整个航运途中,将遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?
分析:见图1,其中下行数字表示船出发的时间,如-3表示前3天中午开出;上行数字表示今天中午从A地发出的轮船相遇对方开来的轮船次数。因此,该船将遇到15艘同一公司的船,其中出发时1艘,到达时1艘,中途13艘。可见,恰如其分地运用数学直观思维,能保证数学问题具有创意性,显示了数学直观思维的简洁美。
(三)诱导中职学生直觉思维动机,注意运用数形结合
著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,割裂分家万事非。”这说明数离不开形。在解题时,若能构造出恰当的几何图形,常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法,而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点。
因此,对于一些数学知识和问题,如能将它们直观化、形象化,不仅有利于学生对知识的理解和问题的解决,而且还能使学生感受体验直觉思维的功能,进而训练和培养学生的直觉思维能力。
(四)鼓励中职学生大胆猜想,满足中职学生的心理渴望
数学教育家布鲁纳说过:“机灵的猜测,丰富的假设和大胆迅速地作出试验性结论,这些都是从事任何一项工作的思想家常用的方法。”大胆的猜想是直觉思维中的一种重要的思维形式,从哥德巴赫于1742年提出猜想,到1962年王元解决了(1+4)问题,再到1966年陈景润解决了(1+2)问题,以及在此过程中吸引世界各国数学家为此而努力就是很好的证明。在实际教学中,教师能在学生面对数学问题而大胆地提出猜想时多加鼓励,无疑满足学生探索新问题的心理渴望。
例6:证明:10001999<1999。
(五)培养中职学生反思习惯,弥补中职学生的思维“缺陷”
心理学认为直觉是“一种不经过分析、推理的认识过程而直接迅速地进行判断的认识能力”。数学直觉思维由于受学生的心理因素与认识水平的限制,学生的数学直觉时常产生错误的现象——表现出思维的“缺陷”。因此,培养学生的反思习惯,弥补学生的思维“缺陷”,具体表现在:1.可以防止数学直觉思维的失误;2.可以拓展思路,培养学生思维的深刻性和灵活性;3.可以扩大和加强数学知识的联系,做到举一反三;4.可以发现数学的新知识、新方法,及未知的数学真理。
例8:已知2≤a+b≤4,1≤a-b≤2求4a-2b的范围。
分析:单凭学生的直觉,常常会出现以下错误:记2≤a+b≤4①,1≤a-b≤2②,①+②得3≤2a≤6即③,由②得:-2≤-a+b≤-1④,①+④得0≤2b≤3,即-3≤-2b≤0⑤,③+⑤得3≤4a-2b≤12。
反思:错误的根本原因在于:解不等式的过程要求是同解过程,即必须是“充要条件”,不能只是必要条件。通过进一步探讨,正确的解法应该是:令4a-2b=m(a+b)+n(a-b),易得m=1,n=3。∵1≤a-b≤2,∴3≤3(a-b)≤6,又∵2≤a+b≤4,∴5≤4a-2b≤10。
例9:学习了“真子集”后,学生思维往往会受到正偶数集 是正整数集{1,2,3,4,…}的真子集的影响,错误认为:正整数集中的元素比正偶数集中的元素多。因为正整数集中的元素至少有一个不属于正偶数集。
反思:通过一一对应关系的分析(如图3):实际上,两者的元素是一样多,多么重要的反思啊!对于这种错误的直觉认识,教师要及时引导学生进行反思来弥补思维上的“缺陷”。
四、结语
总之,重视学生直觉思维能力的培养,对于克服思维的单向性,具有十分重要的意义。在数学学习过程中,逻辑思维和直觉思维并不是对立的,在逻辑思维中蕴涵着直觉思维,直觉思维又以逻辑思维为前提。目前,在我国具备直觉思维能力的中职人才相对缺少。作为教育工作者,我们应结合实际情况,尽最大能力。在教学中,要适时把握契机。在训练和培养学生的逻辑思维能力的同时,同样要注重直觉思维能力的训练与培养,进一步培养学生的创新意识,发展学生的创造性思维能力,全面提高中(下转第101页)(上接第100页)职学生的思维素质,从而满足社会需求。
参考文献:
1.黄旭芳.《让直觉思维之光照亮中学数学教学》.数学教学通讯,2005.2.第12~15页。
2.杨智长.《注意数学非逻辑思维的教学,培养学生的创新意识》.数学教学通讯,2003.2
3.陈云烽.《细审博思,激发灵感》.中学数学教学参考.2005.1~2第28~31页。
4.柳子军.《由两则数学思想实验引发的教学思考——谈学生数学直觉思维能力的培养》.数学通报.2005年第44卷第2期,第27~30页。
5.周以宏.《数学直觉与解题思路》.数学通报.2003.5第30~31页。
6.张惠良.《解题途径的直觉探索》.数学通报,2004.9
作者单位:广州市番禺工贸职业技术学校
关键词:直觉思维 审美 数形结合
法国科学家庞加莱曾说过:“没有直觉,年轻人在理解数学时便无从着手;他们不可能学会热爱它,他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论;尤其是没有直觉,他们永远也不会有应用数学的能力。”当前,我们应结合职中学生发展特点,努力使学生学会对客观事物的数量和数学模式进行思考和判断,提高职中学生的数学应用能力和数学创新能力,特别是思维能力的培养(其中包括直觉思维能力的培养)。
一、重视和加强直觉思维能力的培养
直觉思维是人类自古以来就一直存在的一种思维方式,是一种人们普遍运用的认识事物、思索问题的思考方法。它曾在人类的科技发展史、艺术发展史上“屡建奇功”。如笛卡儿创立解析几何,牛顿发明微积分,阿基米德在浴室里找到辨别王冠真假的方法,这些无一不是直觉思维的杰作。尤其是在当今社会,直觉思维日益显示了它在人的认识活动中的作用和重要。直觉思维能力强的人,往往靠直觉就能正确判断形势,洞察实质,获得结论,做出抉择。如果情况紧迫,需要我们当机立断,快刀斩乱麻时,若不懂得、不习惯或不善于运用直觉思维,而仍企图通过严谨、周密的逻辑思维以求万全之策,则势必会贻误战机,造成损失。
现代社会需要大量具有很强直觉思维能力的人才。但是,目前数学教学中,则往往偏重于逻辑思维能力的培养,过分强调形式论证的严谨性,忽视直觉思维的突发性理解和顿悟作用,忽视数学形成过程中生动直观的一面及包括大量源于直觉思维的结果。值得可喜的是:现在中职教育已经认识到培养学生“思维能力”的重要性,已由原来的培养学生“逻辑思维能力”理念,转变为培养学生“思维能力”。虽然只是去掉两个字,概念的内涵却更加丰富,人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在大力提倡创新精神的今天,重视和加强学生数学直观思维能力的培养,确是当务之急。
二、数学直觉思维的基本内涵和特征
在日常生活的数学教学中,我们常常会遇到这样的情形:在课堂上题目刚刚写完,老师还没来得及解释题意,有的同学立刻报出了答案。若进一步问他为什么?他说不出思维过程。此时,其他同学就会笑他瞎猜,这种现象就是直觉思维。那么,直觉思维究竟是什么?直觉思维首先是一种特殊的思维活动,是指人们对事物或问题不经反复思考的一种直接洞察,它不同于感官所提供的一般“感觉”,而是一种思维活动。其次,这种思维活动又不同于一般的逻辑思维的推理,这种觉察往往是“知其然而不知其所以然”,尽管判断的结论是正确的,却不能马上说出理由和依据。我们把这种具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的敏锐想象和迅速判断称之为数学直观思维。它具有以下基本特征:
(一)思维对象的总体性
思维主体运用直觉思维,总是从总体上观察、认识事物后,便对它做出某种断定。而不像一般运用逻辑那样,先分析认识事物的各个局部,然后再综合认识事物的全局、整体。
(二)思维速度的瞬时性
直觉思维进行的速度极快,所思考的问题在头脑中的出现和解决,令人感到几乎是同时发生的。这样的速度,远非一般运用逻辑的速度可比。
(三)思维主体的顿悟性
思维主体运用直觉思维获得成果,表现为思想上的一种“顿时领悟”,一种“豁然开朗”;而不像运用逻辑思维那样层层深入,逐步明确的认识事物。
(四)思维结果的猜测性
直觉思维不像逻辑那样,只要思维的根据真实,思维形式正确,思维的结果就必然真实,而是具有猜测性、试探性。
三、数学直觉思维能力的培养
徐利治教授曾指出:“数学直觉思维是可以后天培养的。实际上每个人的数学直觉思维也是不断提高的”。数学直觉思维能力的培养包括教学中的培养和鼓励、指导学生自我锻炼两个方面。还要注意直觉思维具有不可靠性,避免被错误的直觉所误导。具体来说数学直觉思维能力的培养应从以下几个方面进行:
(一)着眼中职学生的直觉“顿悟”,延展中职学生的思维品质
具有扎实的基础和广阔的思维才能使学生的数学知识和数学经验得到积累和升华,才能形成直觉所运用的“数学知识组块”,才能在认识上产生“顿悟”——合理的数学直觉。现代格式塔学习理论也认为:在某种程度上说,学习是对心理环境的重新组建或重新构造,并把学习成功归结为“顿悟”的结果。特别强调直觉顿悟,重视思维整体延伸。在实际教学中,只有注重学生的思维品质的培养,才能使学生的数学直觉思维能力得到有效的提高。
(二)发挥中职学生的直觉联想,唤起中职学生的审美意识
伟大的科学家庞加莱指出:“能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘之美能力的人,而且只限于这种人。”数学美充满了整个数学领域,而这些数学美是引起数学直觉的动力,是产生数学直觉的重要条件。我们在教学实践中应充分展现数学美,挖掘数学美和创造数学美,激发学生发挥直觉联想,提高他们对数学的审美能力,引导学生按照美的规律去想象、去判断。
例4.(著名的“刘卡趣题”)假定较长时间以来某轮船公司每天中午有一艘轮船从A地开往B地,并且在每天同一时间,也有一艘轮船从B地开往A地,轮船在途中所发时间来去都是7昼夜,问今天中午从A地开往B地的轮船在整个航运途中,将遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?
分析:见图1,其中下行数字表示船出发的时间,如-3表示前3天中午开出;上行数字表示今天中午从A地发出的轮船相遇对方开来的轮船次数。因此,该船将遇到15艘同一公司的船,其中出发时1艘,到达时1艘,中途13艘。可见,恰如其分地运用数学直观思维,能保证数学问题具有创意性,显示了数学直观思维的简洁美。
(三)诱导中职学生直觉思维动机,注意运用数形结合
著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,割裂分家万事非。”这说明数离不开形。在解题时,若能构造出恰当的几何图形,常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法,而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点。
因此,对于一些数学知识和问题,如能将它们直观化、形象化,不仅有利于学生对知识的理解和问题的解决,而且还能使学生感受体验直觉思维的功能,进而训练和培养学生的直觉思维能力。
(四)鼓励中职学生大胆猜想,满足中职学生的心理渴望
数学教育家布鲁纳说过:“机灵的猜测,丰富的假设和大胆迅速地作出试验性结论,这些都是从事任何一项工作的思想家常用的方法。”大胆的猜想是直觉思维中的一种重要的思维形式,从哥德巴赫于1742年提出猜想,到1962年王元解决了(1+4)问题,再到1966年陈景润解决了(1+2)问题,以及在此过程中吸引世界各国数学家为此而努力就是很好的证明。在实际教学中,教师能在学生面对数学问题而大胆地提出猜想时多加鼓励,无疑满足学生探索新问题的心理渴望。
例6:证明:10001999<1999。
(五)培养中职学生反思习惯,弥补中职学生的思维“缺陷”
心理学认为直觉是“一种不经过分析、推理的认识过程而直接迅速地进行判断的认识能力”。数学直觉思维由于受学生的心理因素与认识水平的限制,学生的数学直觉时常产生错误的现象——表现出思维的“缺陷”。因此,培养学生的反思习惯,弥补学生的思维“缺陷”,具体表现在:1.可以防止数学直觉思维的失误;2.可以拓展思路,培养学生思维的深刻性和灵活性;3.可以扩大和加强数学知识的联系,做到举一反三;4.可以发现数学的新知识、新方法,及未知的数学真理。
例8:已知2≤a+b≤4,1≤a-b≤2求4a-2b的范围。
分析:单凭学生的直觉,常常会出现以下错误:记2≤a+b≤4①,1≤a-b≤2②,①+②得3≤2a≤6即③,由②得:-2≤-a+b≤-1④,①+④得0≤2b≤3,即-3≤-2b≤0⑤,③+⑤得3≤4a-2b≤12。
反思:错误的根本原因在于:解不等式的过程要求是同解过程,即必须是“充要条件”,不能只是必要条件。通过进一步探讨,正确的解法应该是:令4a-2b=m(a+b)+n(a-b),易得m=1,n=3。∵1≤a-b≤2,∴3≤3(a-b)≤6,又∵2≤a+b≤4,∴5≤4a-2b≤10。
例9:学习了“真子集”后,学生思维往往会受到正偶数集 是正整数集{1,2,3,4,…}的真子集的影响,错误认为:正整数集中的元素比正偶数集中的元素多。因为正整数集中的元素至少有一个不属于正偶数集。
反思:通过一一对应关系的分析(如图3):实际上,两者的元素是一样多,多么重要的反思啊!对于这种错误的直觉认识,教师要及时引导学生进行反思来弥补思维上的“缺陷”。
四、结语
总之,重视学生直觉思维能力的培养,对于克服思维的单向性,具有十分重要的意义。在数学学习过程中,逻辑思维和直觉思维并不是对立的,在逻辑思维中蕴涵着直觉思维,直觉思维又以逻辑思维为前提。目前,在我国具备直觉思维能力的中职人才相对缺少。作为教育工作者,我们应结合实际情况,尽最大能力。在教学中,要适时把握契机。在训练和培养学生的逻辑思维能力的同时,同样要注重直觉思维能力的训练与培养,进一步培养学生的创新意识,发展学生的创造性思维能力,全面提高中(下转第101页)(上接第100页)职学生的思维素质,从而满足社会需求。
参考文献:
1.黄旭芳.《让直觉思维之光照亮中学数学教学》.数学教学通讯,2005.2.第12~15页。
2.杨智长.《注意数学非逻辑思维的教学,培养学生的创新意识》.数学教学通讯,2003.2
3.陈云烽.《细审博思,激发灵感》.中学数学教学参考.2005.1~2第28~31页。
4.柳子军.《由两则数学思想实验引发的教学思考——谈学生数学直觉思维能力的培养》.数学通报.2005年第44卷第2期,第27~30页。
5.周以宏.《数学直觉与解题思路》.数学通报.2003.5第30~31页。
6.张惠良.《解题途径的直觉探索》.数学通报,2004.9
作者单位:广州市番禺工贸职业技术学校