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【摘要】本文借助计算机代数系统Mathematic软件，利用双函数法和吴文俊消元法，获得了五阶色散方程的一系列显示精确行波解，其中包括孤波解和周期解，并得到了该方程的新的精确行波解，丰富了五阶色散方程的研究。
【关键词】非线性方程 五阶色散方程 精确解 行波解 双函数法
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0157-02
1.引言
为了求解非线性偏微分方程，近年来人们建立了齐次平衡法、双曲函数法、三角函数法、直接代数法、双函数法、变形映射法等诸多方法，这些方法被有效地运用于求解具体的非线性发展方程，得到了很多类非线性发展方程的新解。其中，由聂小兵和汪礼礽[1]提出的双函数法是一种求解非线性发展方程的行波解的有效方法。这种方法利用Riccati方程确定一个函数f（ξ），同时提出另一个函数g（ξ）以及f（ξ）和g（ξ）所满足的方程和约束条件，进一步将三角函数法和双曲函数法中的具体函数用一般函数f（ξ）和g（ξ）来替代。这种方法能获得类型较多且可具有组合项的孤波解和周期解，并能用一个统一的过程来实现。
不少科技问题都要涉及到波的运输，色散是运输过程中重要的物理现象。五阶色散方程具有如下形式：
付遵涛[2，3，4]运用Jacobi椭圆函数展开法得到了方程（1.1）的一些周期解和相应的孤子解，刘恂[5]运用Hirota双线性法得到了方程（1.1）的单孤子解。
本文利用双函数法对方程（1.1）进行求解。
2.五阶色散方程的新显式精确行波解
首先对方程（1.1）作行波变换，设：
其中λ为待定常数，表示波速。将（2.1）式代入（1.1）式得到：
对上述式子积分一次，并取积分常数为0，得到：
根据齐次平衡原则，平衡方程（1.1）中的最高阶线性导数项和最高阶非线性项后，可设方程（1.1）具有如下形式的解：
并且函数f（ξ）和g（ξ）满足：
其中，μ=±1，h，a0，a1，a2，b1，b2为待定常数，且h为实数。
根据文献[1]可知，微分方程组（2.5）具有如下形式的解：
（1）当μ=1时，
（2）当μ=-1时，
借助于Mathematic软件系统，由（2.4）式和（2.5）式可得：
令常数项及fi+1，fig（i=0，1，…5）各项的系数为零，得到关于未知数a0，a1，a2，b1，b2，h，μ的超定代数方程组如下：
统求解上述超定代数方程组，结果如下：
情形1：μ=1，λ=16h2r，a0=-60hr/α，a1=0，b1=0，a2=0，b2=-60r/α；
情形3：μ=-1，λ=16h2r，a0=-60hr/α，a1=0，b1=0，a2=0，b2=-60r/α；
注：对于诸ai，bi均等于0的平凡解情形不予讨论。
由情形1～4及（2.1）式、（2.4）式、（2.6）～（2.7）式，可知五阶色散方程存在下述精确行波解：
3.结束语
本文利用双函数法研究了五阶色散方程的求解问题，得到了该方程的多个显式精确行波解，同以往的文献进行对比，发现（4）、（5）、（6）、（8）几组解在以前的资料中没出现过，是通过双函数法算出的五阶色散方程的新的显式精确行波解，其中包括孤立波解和周期波解。得到的新解有助于五阶色散方程的深入研究，对进一步认识五阶色散方程的物理意义有一定的参考价值。从上述研究过程可见，双函数法求解非线性发展方程具有简洁明快，易于操作的特点。这种方法可以部分在计算机代数系统Mathematic软件上实现，从而在很大程度上降低了人工计算的繁杂性，可操作性较强。另外，双函数法的推广性和移植性较好，它不仅可以用于求解其他的非线性发展方程，而且经过推广，可以用于求解部分偏微分方程组[6]。
参考文献：
[1]聂小兵，汪礼礽.R-L-W方程的精确行波解[J].华东师范大学学报（自然科学版），2004（1）：15～21.
[2] Fu Z T，Liu S K，Liu S D.Elliptic equation and new solutions to nonlinear wave equations [J].Comm Theoret Phys，2004（42）：343～346.
[3] Fu Z T，Liu S D，Liu S K.Solving Nonlinear Wave Equations by Elliptic Equation [J]. Comm Theoret Phys，2003（39）：531～536.
[4]Fu Z T，Liu S K，Liu S D.A New Approach to Solve Nonlinear Wave Equations [J]. Comm Theoret Phys， 2003（39）：27～30.
[5]刘恂.几类非线性发展方程的精确行波解的研究[博士学位论文].江苏大学，2010：63～64.
[6]聂小兵，李新秀.改进的双函数法及一类非线性发展方程组的精确行波解[J]. 东南大学学报（ 自然科学版）2004（2）：283～288.
【关键词】非线性方程 五阶色散方程 精确解 行波解 双函数法
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0157-02
1.引言
为了求解非线性偏微分方程，近年来人们建立了齐次平衡法、双曲函数法、三角函数法、直接代数法、双函数法、变形映射法等诸多方法，这些方法被有效地运用于求解具体的非线性发展方程，得到了很多类非线性发展方程的新解。其中，由聂小兵和汪礼礽[1]提出的双函数法是一种求解非线性发展方程的行波解的有效方法。这种方法利用Riccati方程确定一个函数f（ξ），同时提出另一个函数g（ξ）以及f（ξ）和g（ξ）所满足的方程和约束条件，进一步将三角函数法和双曲函数法中的具体函数用一般函数f（ξ）和g（ξ）来替代。这种方法能获得类型较多且可具有组合项的孤波解和周期解，并能用一个统一的过程来实现。
不少科技问题都要涉及到波的运输，色散是运输过程中重要的物理现象。五阶色散方程具有如下形式：
付遵涛[2，3，4]运用Jacobi椭圆函数展开法得到了方程（1.1）的一些周期解和相应的孤子解，刘恂[5]运用Hirota双线性法得到了方程（1.1）的单孤子解。
本文利用双函数法对方程（1.1）进行求解。
2.五阶色散方程的新显式精确行波解
首先对方程（1.1）作行波变换，设：
其中λ为待定常数，表示波速。将（2.1）式代入（1.1）式得到：
对上述式子积分一次，并取积分常数为0，得到：
根据齐次平衡原则，平衡方程（1.1）中的最高阶线性导数项和最高阶非线性项后，可设方程（1.1）具有如下形式的解：
并且函数f（ξ）和g（ξ）满足：
其中，μ=±1，h，a0，a1，a2，b1，b2为待定常数，且h为实数。
根据文献[1]可知，微分方程组（2.5）具有如下形式的解：
（1）当μ=1时，
（2）当μ=-1时，
借助于Mathematic软件系统，由（2.4）式和（2.5）式可得：
令常数项及fi+1，fig（i=0，1，…5）各项的系数为零，得到关于未知数a0，a1，a2，b1，b2，h，μ的超定代数方程组如下：
统求解上述超定代数方程组，结果如下：
情形1：μ=1，λ=16h2r，a0=-60hr/α，a1=0，b1=0，a2=0，b2=-60r/α；
情形3：μ=-1，λ=16h2r，a0=-60hr/α，a1=0，b1=0，a2=0，b2=-60r/α；
注：对于诸ai，bi均等于0的平凡解情形不予讨论。
由情形1～4及（2.1）式、（2.4）式、（2.6）～（2.7）式，可知五阶色散方程存在下述精确行波解：
3.结束语
本文利用双函数法研究了五阶色散方程的求解问题，得到了该方程的多个显式精确行波解，同以往的文献进行对比，发现（4）、（5）、（6）、（8）几组解在以前的资料中没出现过，是通过双函数法算出的五阶色散方程的新的显式精确行波解，其中包括孤立波解和周期波解。得到的新解有助于五阶色散方程的深入研究，对进一步认识五阶色散方程的物理意义有一定的参考价值。从上述研究过程可见，双函数法求解非线性发展方程具有简洁明快，易于操作的特点。这种方法可以部分在计算机代数系统Mathematic软件上实现，从而在很大程度上降低了人工计算的繁杂性，可操作性较强。另外，双函数法的推广性和移植性较好，它不仅可以用于求解其他的非线性发展方程，而且经过推广，可以用于求解部分偏微分方程组[6]。
参考文献：
[1]聂小兵，汪礼礽.R-L-W方程的精确行波解[J].华东师范大学学报（自然科学版），2004（1）：15～21.
[2] Fu Z T，Liu S K，Liu S D.Elliptic equation and new solutions to nonlinear wave equations [J].Comm Theoret Phys，2004（42）：343～346.
[3] Fu Z T，Liu S D，Liu S K.Solving Nonlinear Wave Equations by Elliptic Equation [J]. Comm Theoret Phys，2003（39）：531～536.
[4]Fu Z T，Liu S K，Liu S D.A New Approach to Solve Nonlinear Wave Equations [J]. Comm Theoret Phys， 2003（39）：27～30.
[5]刘恂.几类非线性发展方程的精确行波解的研究[博士学位论文].江苏大学，2010：63～64.
[6]聂小兵，李新秀.改进的双函数法及一类非线性发展方程组的精确行波解[J]. 东南大学学报（ 自然科学版）2004（2）：283～288.