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在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的，很难盾加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念
实中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要
是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合Ａ（定义域）到集合Ｂ（值域）上的映射f:AB，使得集合Ｂ中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合Ａ的元素Ｘ对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素Ｘ在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，
在学生掌握函数值的记号后，可以学生进一步处理如下问题：
类型Ｉ：已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+1)
这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)
这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素Ｘ的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
二、二次函数的单调性，最值与图象
在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-,-b2a]及〔-b2a,+)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
(1)y=x2+2x-1-1
(2)y=x2-1
(3)y=x2+2x-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设f(x)=x2-2x-1在区间〔t,t+1〕上的最小值是g(t)
求g(t)并画出y=g(t)的图象。
解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
当1∈〔t,t+1〕即0≤t≤1,g(t)=-2,当t＞1时，g(t)=f(t)=t2-2t-1,当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2-2
g(t)=t2-2,(t＜0)-2,(0≤t≤1)t2-2t-1,(t＞1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合Ｒ上或是只有最小值或是吸有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面的知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ｖ：设二次函数f(x)=ax2+bx+c方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1a
（Ｉ）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1。
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜x2
解题思路：
本题要证明的是x＜f(x)，f(x)＜x1和x0＜x2由题中所提供的信息可以联想到;①f(x)=x,
说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程f(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1,x2,
可得到x1,x2,与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图像法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
（Ⅰ）先证明x＜f(x),令f(x)=f(x)-x,因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根，f(x)=ax2+bx+c,所以能f(x)=a(x-x1)(x-x2)
因为0＜x1＜x2,所以，当x∈(0,x1)时,x-x2＜0,x-x2＜0得(x-x1)(x-x2)＞0,又a＞0。因此f(x)＞0,即f(x)-x＞0。至此，证得x＜f(x)。
(作者地址：内蒙古赤峰市天山一中，内蒙古赤峰，024000)
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、进一步深入理解函数概念
实中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要
是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合Ａ（定义域）到集合Ｂ（值域）上的映射f:AB，使得集合Ｂ中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合Ａ的元素Ｘ对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素Ｘ在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，
在学生掌握函数值的记号后，可以学生进一步处理如下问题：
类型Ｉ：已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+1)
这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)
这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素Ｘ的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
二、二次函数的单调性，最值与图象
在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-,-b2a]及〔-b2a,+)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
(1)y=x2+2x-1-1
(2)y=x2-1
(3)y=x2+2x-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设f(x)=x2-2x-1在区间〔t,t+1〕上的最小值是g(t)
求g(t)并画出y=g(t)的图象。
解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
当1∈〔t,t+1〕即0≤t≤1,g(t)=-2,当t＞1时，g(t)=f(t)=t2-2t-1,当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2-2
g(t)=t2-2,(t＜0)-2,(0≤t≤1)t2-2t-1,(t＞1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合Ｒ上或是只有最小值或是吸有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面的知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ｖ：设二次函数f(x)=ax2+bx+c方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1a
（Ｉ）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1。
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜x2
解题思路：
本题要证明的是x＜f(x)，f(x)＜x1和x0＜x2由题中所提供的信息可以联想到;①f(x)=x,
说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程f(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1,x2,
可得到x1,x2,与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图像法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
（Ⅰ）先证明x＜f(x),令f(x)=f(x)-x,因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根，f(x)=ax2+bx+c,所以能f(x)=a(x-x1)(x-x2)
因为0＜x1＜x2,所以，当x∈(0,x1)时,x-x2＜0,x-x2＜0得(x-x1)(x-x2)＞0,又a＞0。因此f(x)＞0,即f(x)-x＞0。至此，证得x＜f(x)。
(作者地址：内蒙古赤峰市天山一中，内蒙古赤峰，024000)
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”