摘 要：本文通过同角三角函数关系，推导出sinα±cosα与sinαcosα的关系，配合二倍角公式，进而知一求二。
　　关键词：sinα±cosα；sinαcosα；关系
　　三角函数是历年高考的一个热点，除了书上涉及的知识点，由同角三角函数关系和二倍角延伸出的sinα±cosα与sinαcosα的关系，即（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α，（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=1-sin2α也是一个考点。本文从几道例题出发，就sinα±cosα与sinαcosα的运用举例说明。
　　一、sinα+cosα→sinαcosα
　　例1.若sinα与cosα是方程x2-■x+n=0的两个根，则n= .
　　分析：本题通过韦达定理和sinα±cosα与sinαcosα的关系，求得n.
　　解：因为sinαcosα=n，sinα+cosα=■且（sinα+cosα）2
　　=1+2sinαcosα，所以2=1+2n，得n=■.
　　点评：本题主要考查韦达定理及sinα±cosα与sinαcosα的关系.
　　二、sinα+cosα→cosα-sinα
　　例2.已知α为第二象限角，sinα+cosα=■，则cos2α= .
　　错解：因为sinα+cosα=■得1+sin2α=■
　　所以sin2α=-■.
　　又因为α为第二象限角，即2kπ+■<α<2kπ+π，k∈Z
　　所以4kπ+π<2α<4kπ+2π，k∈Z
　　所以cos2α=±■.
　　分析：
　　（1）利用同角三角函数关系，但要注意角的范围；
　　（2）利用已知条件与同角三角函数关系，求sinα和cosα；
　　（3）利用二倍角余弦公式建立所求与已知条件的关系.
　　解法一：因为sinα+cosα=■>0，且α为第二象限角 所以2kπ+■<α<2kπ+■π，k∈Z
　　即4kπ+π<2α<4kπ+■π，k∈Z
　　又因为sinα+cosα=■得sin2α=-■
　　所以cos2α=■=-■.
　　解法二：因为α为第二象限角，且sinα+cosα=■sin2α+cos2α=1
　　得sinα=■+■cosα=■-■
　　所以cos2α=cos2α-sin2α=-■.
　　解法三：因为sinα+cosα=■，所以sinαcosα=-■则（cosα-sinα）2=■
　　又因为α为第二象限角，即cosα　　点评：本题考查二倍角公式和同角三角函数关系的灵活运用.
　　三、sinαcosα→sinα-cosα
　　例3.已知■=k（■<α<■），试用k表示sinα-cosα的值.
　　分析：利用同角三角函数关系、二倍角公式进行三角恒等变换，将已知条件与所求化到相同角，以便建立关系.
　　解：因为■=k，
　　得■=2sinαcosα=k
　　所以（sinα-cosα）2=1-k
　　又因为■<α<■，所以sinα>cosα，
　　得sinα-cosα=■.
　　点评：本题主要考查二倍角公式、同角三角函数关系及与的关系，特别注意sinα-cosα的符号.
　　四、sinα+cosα→sinαcosα
　　例4.求y=（1+sinα）（1+cosα）的最大值和最小值.
　　分析：利用sinα±cosα与sinαcosα的关系进行换元，减少变量，变成熟悉函数求最值.
　　解：y=（1+sinα）（1+cosα）=1+sinα+cosα+sinαcosα
　　令t=sinα+cosα（-■　　则y=1+t+■=■（-■　　所以ymin=0，ymax=■
　　点评：主要考查sinα±cosα与sinαcosα关系的运用情况，关键注意新元的范围和一元二次函数在指定范围求最值.
　　通过上述的四个例题发现，sinα±cosα与sinαcosα关系的使用不是单独存在的，其核心是掌握三角函数与三角恒等变换的相关公式，并能熟练进行运算，这样一切问题才会迎刃而解。
　　参考文献：
　　[1]李秀兰.同角三角函数关系规律方法探究[J].高中数学教与学，2012，（08）.
　　[2]张长雁.三角函数问题易错现象例析[J].数学教学通讯，2010，（03）.