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摘要:应用题是小学数学教学的难点,也是发展学生逻辑思维能力的重要工具。目前,新课标要求要培养学生对所学内容进行初步的分析、综合、比较、抽象和概括,对简单问题进行判断和推理,逐步学会有条理、有根据地思考问题,同时注意思维的敏捷度和灵活性。初步培养学生逻辑思维能力不仅是教学大纲的要求,而且是小学数学教学中的一项重要任务。
关键词:应用题 思路 能力
应用题是小学数学教学中的重点和难点,特别是一些较复杂的应用题,由于数量关系较隐蔽,学生在解题时很难找出正确的解题思路。因此,在应用题教学中,教师应教会学生运用已有数学知识,大胆地想象,力求通过不同方法,从不同的角度进行探索,培养其思维能力。为此,应重视各种解题思路的训练和逻辑思维能力的培养。
首先,在教学中把数学的基本概念、原理放在中心位置,有意识地为学生创造迁移条件,重视抓住知识间的纵向、横向联系,使学生在头脑中形成完整的知识体系并有明析的解题思路。
小学阶段研究的简单应用题,归纳起来实际上是以下四种关系的应用题:相并关系、相差关系、份总关系、倍数关系。现就后两种关系的应用题解题原理做以分析。
1、份总关系。因为数学概念反映了客观事物的空间形式和数量关系的本质属性,只有抓住了最基本的概念与有关知识的联系,才能使学生认识事物的本质。
在二年级教学乘法的初步认识时,就已经渗透了每份数、份数、总数的概念。如每盘有2个梨,有这样的3盘。其中每盘有2个梨,就是说每部分的数是2,渗透了每份数;有3盘,就是有3部分,渗透了份数,不仅让学生理解相同加数也就是每份的数,相同加数的个数是份数,更重要的是理解每个数量所表示的意义。这样就为学生学习数量关系铺平了道路。
教师在讲除法的意义之前,要讲清“平均分”这个概念。因为“平均分”是除法的核心。要通过“平均分”理解除法的意义,沟通减法和除法的关系,渗透乘法与除法的关系,同时也渗透了份总关系。如上例:知道1盘是1个2,就能知道3盘是3个2,要求一共有多少个梨,也就是要求3个2的总数是多少;知道一共有6个梨,有这样的3盘,这两个数量的关系是3盘梨的总数是6,6是3盘梨的总数;要求一盘有几个梨,就要把6平均分成3份;知道一共有6个梨,每2个装在一个盘里,这两个数量的关系是有1个2就有1盘,6里面有几个2就有几盘。教师在引导学生理解数量关系的同时,对应用题条件及问题的结构进行渗透,使学生形成初步的逻辑推理能力,这样有层次、有目的的教学过程培养了学生分析、综合、判断、推理、抽象、概括的能力。
2、大小数四则应用题。大小数这部分知可以分为大小数的概念、大小数的关系、大小数应用题。
⑴大小数的概念。这部分可分为四个层:
①认识“同样多”。“同样多”是研究大小数之间关系的桥梁,只有在深入理解“同样多”的基础上,才能很好地理解大小数之间的关系。通过具体实物在学生头脑中初步建立“同样多”的概念。在学“<”、“>”和“=”符号时,先讲“<”和“>”,目的是为了学“=”,理解“同样多”,这里仍然是通过实物图让学生理解,如3个苹果和3个梨比较,没有多余的苹果,也没有多余的梨,我们就说苹果和梨的个数同样多,也就是3和3同样多。这时学生从具体的两部分同样多,已经认识到两个数同样多,同样多可以用“=”表示,也就是“=”表示两个数同样多。
②认识“大数、小数、同样多”。前面所理解的“同样多”是两部分正好相等,这一层所要理解的是小数和大数里的一部分“同样多”,如:3个苹果和5个梨里的一部分同样多,其中3个梨是5个梨里的一部分,3个苹果又和梨的这部分同样多,所以说苹果的个数只相当于梨里的一部分,即小数相当于大数里的一部分,在这里“同样多”就起到了重要的桥梁作用,同时“3”为什么是小数的问题也就迎刃而解了。
梨的“5个”为什么是大数呢?因为5个梨和3个苹果比较,l个苹果对1个梨,这样一对应,再继续比,苹果就没有了,梨还有两个,通过比较,很自然地把大数分成了两部分:一部分是和小数同样多的,另一部分是比小数多的。那么把5个梨分成1和4,行不行呢?如果这样分比不出谁大谁小分成2和3行不行呢?仍然是量在变化,还是比不出谁大谁小只有当把5个梨分成和苹果同样多的3个和比苹果多的2个的时候,才能通过比较得出5是大数。所以把大数分成两部分是在两个具体数量比较过程中自然得出的。
③通过大量实物图巩固大、小数和同样多的概念。
④从实物图过渡到线段图,进一步理解大数和小数。
通过这一过程的训练使学生比较深入地理解了“同样多”这一概念,初步认识了大小数之间的关系,使学生有了初步的分析能力。
⑵大小数的关系。大小数的关系,也就是研究大数、小数、差这三个数量的关系,大数和小数、大数和差、小数和差,这三个数量中每两个数量间有着密切的关系,例如:3个苹果和5个梨进行比较。3个苹果和2个梨的关系:这2个梨是比3个苹果多出来的部分。2个梨和5个梨的关系:2个梨是5个梨里的一部分。3个苹果和5个梨的关系:3个苹果相当于5个梨里的一部分。要研究这三个数量的关系仍然要抓装“同样多”这个概念,以“同样多”作桥梁,把“大小数的关系”转化为“整体与部分的关系”去分析理解。
这一部分也可以分为三个层次:
①深入理解“同样多”,初步理解大小数之间的关系。
②(理解“多”和“少”)深入理解大小数的关系,初步理解解有关应用题的思路。
③(理解关键句)深化大小数之间关系,理解大小数应用题的解题思路,初步培养学生逻辑判断推理的能力。
⑶大小数四则应用题这一部分,应抓住关键句分析题目,目的是深入理解大小数之间的关系,掌握解答有关应用题的思路,培养学生分析推理的能力,使画图分析、解答成为一体。
通过以上分析,我们可以看出这两种关系应用题的教学是有共同点的,即教师运用概念,理解数量关系,在数量关系理解透彻的基础上引导学生分析解答有关应用题。
所以,我们在教学中,要抓住每条线、每一个网络去消化理解,注重知识间的联系,形成完整的知识结构体系并潜移默化,有明析的解题思路。
其次我认为,要想提高小学生解答应用题的能力,有的放矢的培养他们的逻辑思维能力,至少应从以下六个方面抓起:
1、抓一个“补”字,初步培养学生的分析、综合能力
“补”就是给不完整的题目补条件、补问题,使其成为一步或两步计算的应用题。这样的练习能使学生进一步掌握应用题的结构和数量关系,初步培养学生从条件出发来考虑问题和从问题出发来考虑条件的综合、分析的思维能力。
如:①小明家养了18只小鸡,9只大鸡,_______?②_______,黑兔有3只,白兔和黑兔一共有几只?要求学生根据条件分析数量关系,补充题目,就放手让学生大胆回答,尽可能地发挥,教师适时引导设问。这种问题的补充过程正是综合的过程也是分析过程。教师经常有意识地训练学生由条件补出问题,由问题补出条件,不仅使学生对应用题的结构有了明确的认识,而且也培养了学生综合、分析的思维能力。
2、抓一个“比”字,初步培养学生的观察、比较能力
“比”就是比较。教育家乌申斯基说过,比较是一切理解与思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的。通过比较,我们可以把相似、相近的应用题知识区别开来,找出它们的差异,从而加深学生对所学知识的理解。
如问题:①有红花9朵,黄花6朵,黄花比红花少几朵?
②有红花9朵,黄花比红花少3朵,黄花有几朵?
先引导学生通过题面观察、比较答出:两题中有一个条件是相同的,即红花9朵,另一个条件和问题不同。再让学生结合直观图,观察两题有何相同与相异的地方。由此,解题时应根据条件和问题确立解答方法,最后再从结构上分析比较形成认识并予以解答。
这样的观察、比较,使学生对两类应用题的结构和数量关系更加明确,培养了学生的观察、比较能力。
3、抓一个“画”字,初步培养学生抽象、概括能力
“画”就是用直观图形把应用题的条件和问题形象的表示出来。使学生获得充分的感性材料和丰富的表象,教师给予抽象、概括,学生认识由感性认识上升到理性认识阶段,从而抽象、概括能力得到培养。如一年级课本有题“左边有8朵红花,右边有3朵黄花,一共有几朵花?”首先在黑板左边用红粉笔画出8朵红花,让学生观察,在黑板右边用黄粉笔画上3朵黄花,引导学生看黑板说意思:“左边8朵红花,右边3朵黄花”,这样使学生首先得到了感性材料。再引导学生提出问题:“一共有几朵花?”就很自然的把“画”出的问题转化为数学问题,即应用题。学生比较容易地掌握了应用题的结构,这样根据题意和已建立起来的表象,联系加法的含义,分析数量关系,学生很容易说出用加法计算,培养了学生的抽象、概括的能力。
4、抓一个“问”字,初步培养学生的判断、推理能力
“问”就是教师提出问题,让学生回答。
⑴抓住关键句子,进行判断推理训练:①苹果比梨多5个,谁多?苹果可分为哪两部分?(一部分和梨同样多,另一部分是比梨多的部分)②冬瓜比南瓜少3个,谁多?南瓜可分为哪两部分?上述两例,第一问是引导学生依据“比多”、“比少”应用题知识直接作出判断。第二问是依据作出的判断,推论出多的数中可以分为哪两部分,这种练习方式,既强化了低年级应用题的重点与难点,又发展了学生的判断、推理能力。
⑵提出连续性问题,进行判断、推理训练如,二年级有28人,要开展课外活动,平均分成4个组,每组有多少人?①这题说了件什么事?告诉条件是什么?问题是什么?②求每组的人数,实际应当求什么?③把总数平均分成几份?④用什么方法求?⑤怎样列式呢?这5个小问题的设计旨在揭示算式“28÷4”的由来,学生回答的过程是一个判断、推理过程,在这一过程中不但解决了问题(列出算式28÷4),而且受到判断、推理训练。
在教学过程中,教师要精心设计问题,引导学生思路,展现推理过程。让学生在经常地训练中掌握判断、推理方法,逐步地能够独立地思考问题、解决问题。
5、抓一个“说”字,初步培养学生思维的条理性、系统性
“说”就是说题意、说思路、说方法策略。在低年级应用题教学中,不但要求学生要会正确列式计算,更重要的是要引导学生将题意、思路、方法策略充分“说”出,培养其思维的条理性、系统性。如:果园里有苹果树250棵,梨树比苹果树少50棵,梨树和苹果树一共有多少棵?
⑴先引导学生说清题意,条件与问题结论分别是什么。
⑵引导学生说思路:要求苹果树和梨树一共有多少棵,必须知道什么量,什么量又是已知的,应先求出什么量。这样的思路明确了,解题策略就出现了。
⑶说列式:(略)“语言是思维的外壳”。说明思维决定着语言的表达,反过来语言又促进思维的发展,使思维更加条理。在低年级应用题教学中,引导学生说题意、说思路、说方法策略,有利于学生理解应用题结构,有利于培养学生思维的系统性和条理性。
6、抓一个“变”字,初步培养学生思维的灵活性、敏捷性
“变”就是变换条件、变换问题,做变式训练。它可以训练学生从多角度、多方位思考问题,说明问题实质,使学生思维更灵活、敏捷。如“有红气球6个,有黄气球24个,共有多少个气球?”可变为:①有红气球6个,黄气球比红气球多18个,共有多少个气球?②有黄气球24个,红气球比黄气球少18个,共有多少个气球:③有红气球6个,比黄气球少18个,共有多少个气球:④有黄气球24个,比红气球多18个,共有多少个气球?⑤有红气球6个,黄气球的个数是红气球的4倍,共有多少个气球?⑥有黄气球24个,黄气球的个数是红气球的4倍,共有多少个气球?尽管条件叙述形式变了,但其黄气球、红气球的数量关系是一样的。这种变换形式的训练,使学生的思维不是固定在某一个问题的结构和解法上,从而培养学生认真理解题意、分析数量关系的良好习惯,发展学生的多向思维能力和应变能力,提高思维的灵活性和敏捷性。
总之,在低年级应用题教学中,教师要有意识的采取多种形式对解题思路进行渗透和强化训练,逐步培养学生的逻辑思维能力,方能取得更好的教学效果。
关键词:应用题 思路 能力
应用题是小学数学教学中的重点和难点,特别是一些较复杂的应用题,由于数量关系较隐蔽,学生在解题时很难找出正确的解题思路。因此,在应用题教学中,教师应教会学生运用已有数学知识,大胆地想象,力求通过不同方法,从不同的角度进行探索,培养其思维能力。为此,应重视各种解题思路的训练和逻辑思维能力的培养。
首先,在教学中把数学的基本概念、原理放在中心位置,有意识地为学生创造迁移条件,重视抓住知识间的纵向、横向联系,使学生在头脑中形成完整的知识体系并有明析的解题思路。
小学阶段研究的简单应用题,归纳起来实际上是以下四种关系的应用题:相并关系、相差关系、份总关系、倍数关系。现就后两种关系的应用题解题原理做以分析。
1、份总关系。因为数学概念反映了客观事物的空间形式和数量关系的本质属性,只有抓住了最基本的概念与有关知识的联系,才能使学生认识事物的本质。
在二年级教学乘法的初步认识时,就已经渗透了每份数、份数、总数的概念。如每盘有2个梨,有这样的3盘。其中每盘有2个梨,就是说每部分的数是2,渗透了每份数;有3盘,就是有3部分,渗透了份数,不仅让学生理解相同加数也就是每份的数,相同加数的个数是份数,更重要的是理解每个数量所表示的意义。这样就为学生学习数量关系铺平了道路。
教师在讲除法的意义之前,要讲清“平均分”这个概念。因为“平均分”是除法的核心。要通过“平均分”理解除法的意义,沟通减法和除法的关系,渗透乘法与除法的关系,同时也渗透了份总关系。如上例:知道1盘是1个2,就能知道3盘是3个2,要求一共有多少个梨,也就是要求3个2的总数是多少;知道一共有6个梨,有这样的3盘,这两个数量的关系是3盘梨的总数是6,6是3盘梨的总数;要求一盘有几个梨,就要把6平均分成3份;知道一共有6个梨,每2个装在一个盘里,这两个数量的关系是有1个2就有1盘,6里面有几个2就有几盘。教师在引导学生理解数量关系的同时,对应用题条件及问题的结构进行渗透,使学生形成初步的逻辑推理能力,这样有层次、有目的的教学过程培养了学生分析、综合、判断、推理、抽象、概括的能力。
2、大小数四则应用题。大小数这部分知可以分为大小数的概念、大小数的关系、大小数应用题。
⑴大小数的概念。这部分可分为四个层:
①认识“同样多”。“同样多”是研究大小数之间关系的桥梁,只有在深入理解“同样多”的基础上,才能很好地理解大小数之间的关系。通过具体实物在学生头脑中初步建立“同样多”的概念。在学“<”、“>”和“=”符号时,先讲“<”和“>”,目的是为了学“=”,理解“同样多”,这里仍然是通过实物图让学生理解,如3个苹果和3个梨比较,没有多余的苹果,也没有多余的梨,我们就说苹果和梨的个数同样多,也就是3和3同样多。这时学生从具体的两部分同样多,已经认识到两个数同样多,同样多可以用“=”表示,也就是“=”表示两个数同样多。
②认识“大数、小数、同样多”。前面所理解的“同样多”是两部分正好相等,这一层所要理解的是小数和大数里的一部分“同样多”,如:3个苹果和5个梨里的一部分同样多,其中3个梨是5个梨里的一部分,3个苹果又和梨的这部分同样多,所以说苹果的个数只相当于梨里的一部分,即小数相当于大数里的一部分,在这里“同样多”就起到了重要的桥梁作用,同时“3”为什么是小数的问题也就迎刃而解了。
梨的“5个”为什么是大数呢?因为5个梨和3个苹果比较,l个苹果对1个梨,这样一对应,再继续比,苹果就没有了,梨还有两个,通过比较,很自然地把大数分成了两部分:一部分是和小数同样多的,另一部分是比小数多的。那么把5个梨分成1和4,行不行呢?如果这样分比不出谁大谁小分成2和3行不行呢?仍然是量在变化,还是比不出谁大谁小只有当把5个梨分成和苹果同样多的3个和比苹果多的2个的时候,才能通过比较得出5是大数。所以把大数分成两部分是在两个具体数量比较过程中自然得出的。
③通过大量实物图巩固大、小数和同样多的概念。
④从实物图过渡到线段图,进一步理解大数和小数。
通过这一过程的训练使学生比较深入地理解了“同样多”这一概念,初步认识了大小数之间的关系,使学生有了初步的分析能力。
⑵大小数的关系。大小数的关系,也就是研究大数、小数、差这三个数量的关系,大数和小数、大数和差、小数和差,这三个数量中每两个数量间有着密切的关系,例如:3个苹果和5个梨进行比较。3个苹果和2个梨的关系:这2个梨是比3个苹果多出来的部分。2个梨和5个梨的关系:2个梨是5个梨里的一部分。3个苹果和5个梨的关系:3个苹果相当于5个梨里的一部分。要研究这三个数量的关系仍然要抓装“同样多”这个概念,以“同样多”作桥梁,把“大小数的关系”转化为“整体与部分的关系”去分析理解。
这一部分也可以分为三个层次:
①深入理解“同样多”,初步理解大小数之间的关系。
②(理解“多”和“少”)深入理解大小数的关系,初步理解解有关应用题的思路。
③(理解关键句)深化大小数之间关系,理解大小数应用题的解题思路,初步培养学生逻辑判断推理的能力。
⑶大小数四则应用题这一部分,应抓住关键句分析题目,目的是深入理解大小数之间的关系,掌握解答有关应用题的思路,培养学生分析推理的能力,使画图分析、解答成为一体。
通过以上分析,我们可以看出这两种关系应用题的教学是有共同点的,即教师运用概念,理解数量关系,在数量关系理解透彻的基础上引导学生分析解答有关应用题。
所以,我们在教学中,要抓住每条线、每一个网络去消化理解,注重知识间的联系,形成完整的知识结构体系并潜移默化,有明析的解题思路。
其次我认为,要想提高小学生解答应用题的能力,有的放矢的培养他们的逻辑思维能力,至少应从以下六个方面抓起:
1、抓一个“补”字,初步培养学生的分析、综合能力
“补”就是给不完整的题目补条件、补问题,使其成为一步或两步计算的应用题。这样的练习能使学生进一步掌握应用题的结构和数量关系,初步培养学生从条件出发来考虑问题和从问题出发来考虑条件的综合、分析的思维能力。
如:①小明家养了18只小鸡,9只大鸡,_______?②_______,黑兔有3只,白兔和黑兔一共有几只?要求学生根据条件分析数量关系,补充题目,就放手让学生大胆回答,尽可能地发挥,教师适时引导设问。这种问题的补充过程正是综合的过程也是分析过程。教师经常有意识地训练学生由条件补出问题,由问题补出条件,不仅使学生对应用题的结构有了明确的认识,而且也培养了学生综合、分析的思维能力。
2、抓一个“比”字,初步培养学生的观察、比较能力
“比”就是比较。教育家乌申斯基说过,比较是一切理解与思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的。通过比较,我们可以把相似、相近的应用题知识区别开来,找出它们的差异,从而加深学生对所学知识的理解。
如问题:①有红花9朵,黄花6朵,黄花比红花少几朵?
②有红花9朵,黄花比红花少3朵,黄花有几朵?
先引导学生通过题面观察、比较答出:两题中有一个条件是相同的,即红花9朵,另一个条件和问题不同。再让学生结合直观图,观察两题有何相同与相异的地方。由此,解题时应根据条件和问题确立解答方法,最后再从结构上分析比较形成认识并予以解答。
这样的观察、比较,使学生对两类应用题的结构和数量关系更加明确,培养了学生的观察、比较能力。
3、抓一个“画”字,初步培养学生抽象、概括能力
“画”就是用直观图形把应用题的条件和问题形象的表示出来。使学生获得充分的感性材料和丰富的表象,教师给予抽象、概括,学生认识由感性认识上升到理性认识阶段,从而抽象、概括能力得到培养。如一年级课本有题“左边有8朵红花,右边有3朵黄花,一共有几朵花?”首先在黑板左边用红粉笔画出8朵红花,让学生观察,在黑板右边用黄粉笔画上3朵黄花,引导学生看黑板说意思:“左边8朵红花,右边3朵黄花”,这样使学生首先得到了感性材料。再引导学生提出问题:“一共有几朵花?”就很自然的把“画”出的问题转化为数学问题,即应用题。学生比较容易地掌握了应用题的结构,这样根据题意和已建立起来的表象,联系加法的含义,分析数量关系,学生很容易说出用加法计算,培养了学生的抽象、概括的能力。
4、抓一个“问”字,初步培养学生的判断、推理能力
“问”就是教师提出问题,让学生回答。
⑴抓住关键句子,进行判断推理训练:①苹果比梨多5个,谁多?苹果可分为哪两部分?(一部分和梨同样多,另一部分是比梨多的部分)②冬瓜比南瓜少3个,谁多?南瓜可分为哪两部分?上述两例,第一问是引导学生依据“比多”、“比少”应用题知识直接作出判断。第二问是依据作出的判断,推论出多的数中可以分为哪两部分,这种练习方式,既强化了低年级应用题的重点与难点,又发展了学生的判断、推理能力。
⑵提出连续性问题,进行判断、推理训练如,二年级有28人,要开展课外活动,平均分成4个组,每组有多少人?①这题说了件什么事?告诉条件是什么?问题是什么?②求每组的人数,实际应当求什么?③把总数平均分成几份?④用什么方法求?⑤怎样列式呢?这5个小问题的设计旨在揭示算式“28÷4”的由来,学生回答的过程是一个判断、推理过程,在这一过程中不但解决了问题(列出算式28÷4),而且受到判断、推理训练。
在教学过程中,教师要精心设计问题,引导学生思路,展现推理过程。让学生在经常地训练中掌握判断、推理方法,逐步地能够独立地思考问题、解决问题。
5、抓一个“说”字,初步培养学生思维的条理性、系统性
“说”就是说题意、说思路、说方法策略。在低年级应用题教学中,不但要求学生要会正确列式计算,更重要的是要引导学生将题意、思路、方法策略充分“说”出,培养其思维的条理性、系统性。如:果园里有苹果树250棵,梨树比苹果树少50棵,梨树和苹果树一共有多少棵?
⑴先引导学生说清题意,条件与问题结论分别是什么。
⑵引导学生说思路:要求苹果树和梨树一共有多少棵,必须知道什么量,什么量又是已知的,应先求出什么量。这样的思路明确了,解题策略就出现了。
⑶说列式:(略)“语言是思维的外壳”。说明思维决定着语言的表达,反过来语言又促进思维的发展,使思维更加条理。在低年级应用题教学中,引导学生说题意、说思路、说方法策略,有利于学生理解应用题结构,有利于培养学生思维的系统性和条理性。
6、抓一个“变”字,初步培养学生思维的灵活性、敏捷性
“变”就是变换条件、变换问题,做变式训练。它可以训练学生从多角度、多方位思考问题,说明问题实质,使学生思维更灵活、敏捷。如“有红气球6个,有黄气球24个,共有多少个气球?”可变为:①有红气球6个,黄气球比红气球多18个,共有多少个气球?②有黄气球24个,红气球比黄气球少18个,共有多少个气球:③有红气球6个,比黄气球少18个,共有多少个气球:④有黄气球24个,比红气球多18个,共有多少个气球?⑤有红气球6个,黄气球的个数是红气球的4倍,共有多少个气球?⑥有黄气球24个,黄气球的个数是红气球的4倍,共有多少个气球?尽管条件叙述形式变了,但其黄气球、红气球的数量关系是一样的。这种变换形式的训练,使学生的思维不是固定在某一个问题的结构和解法上,从而培养学生认真理解题意、分析数量关系的良好习惯,发展学生的多向思维能力和应变能力,提高思维的灵活性和敏捷性。
总之,在低年级应用题教学中,教师要有意识的采取多种形式对解题思路进行渗透和强化训练,逐步培养学生的逻辑思维能力,方能取得更好的教学效果。