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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0116-01
不少三角恒等变换类试题，往往我们会做，但总会感觉比较麻烦一些，那么如何实现“优解”就显得非常重要！请看以下归类解析。
类型一、借助“弦切”互化，实施优解
例1：已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）
A.- B. C. - D.
解析：（通解）因为tanθ=2>0，所以角θ的终边在一、三象限，从而讨论如下：
若角θ的终边在第一象限，则由tanθ=2可得sinθ= ，cosθ= ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）2+ × -2×（ ）2=
若角θ的终边在第三象限，则由tanθ=2可得sinθ=- ，cosθ=- ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（- ）2+（- ）×（- ）-2×（- ）2= .
综上，必有sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ，故选D。
（优解）因为sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= = = = = ，故选D。
评注：上述通解需要分情况讨论，显然较繁；而优解较为简捷，但需关注两个常用变形技巧——①将所求式分母中的“1”等量代换为sin2θ+cos2θ；②对分式 的分子、分母同时除以cos2θ，有利于弦变切。
能力提升：处理三角函数中有关弦切混合问题时，有时需要将正、余弦形式全部转化为正切的形式便于求解；反之，有时需要将正切的形式全部转化为正、余弦的形式便于求解。
类型二、借助“换元”转化，实施优解
例2：已知sin（x- ）+ cosx= ，则sin（2x+ ）=_____.
解析：由sin（x- ）+ cosx= ，得 sinx- cosx+ cosx= ，所以 sinx+ cosx= ，所以sin（x+ ）= .
接下來，有两种不同的思路：
方法一：（通解）sin（2x+ ）=-cos[ +（2x+ ）]=-cos2（x+ ）=2sin2（x+ ）-1=2×（ ）2-1=-
. 方法二：（优解）设x+ =θ，则x=θ- ，sinθ= ，所以sin（2x+ ）=sin（2θ- + ）=sin（2θ- ）=-sin（ -2θ）=-cos2θ=2sin2θ-1=2×（ ）2-1=-
评注：上述通解的难点在于灵活选取诱导公式加以适当变形（尽管书写过程看起来似乎简单一些）；而优解在“换元”基础上，整个思路比较流畅、自然，故值得关注！
能力提升：处理有关三角函数求值问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，借助“换元”的形式，有利于进一步分析、解决问题。
类型三、借助“加减”变形，实施优解
例3：已知tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），且sin2（α+γ）=5sin2β，则实数m=_____.
解析：（通解）因为tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），
所以 =m· .
为了便于书写，记tan（α+γ）=a，tanβ=b，则 =m· ，变形整理可得 = · . ①
因为sin2（α+γ）=5sin2β，所以 = ，所以 = ，即 = ，化简得 =5· . ②
于是，根据①②可得 =5，解得所求实数m= .
（优解）设A=α+β+γ，B=α-β+γ，则2（α+γ）=A+B，2β=A-B.
又因为sin2（α+γ）=5sin2β，所以sin（A+B）=5sin（A-B）， 所以展开得sinAcosB+cosAsinB=5（sinAcosB-cosAsinB），所以化简得6cosAsinB=4sinAcosB，所以2tanA=3tanB.
故所求实数m= = .
评注：上述通解的关键是先根据α+β+γ=（α+γ）+β，α-β+γ=（α+γ）-β以及和差角公式得到关于tan（α+γ）和tanβ的一个表达式，然后再根据二倍角公式以及弦变切思想得到关于tan（α+γ）和tanβ的另一个表达式，以便构建关于m的等式，显然较繁；而优解较为简捷，其突破口在于将2（α+γ）变形为（α+β+γ）+（α-β+γ），将2β变形为（α+β+γ）-（α-β+γ），不但为灵活运用和差角公式创造了有利条件，而且也将已知条件与求解目标紧密地联系起来，真可谓“一箭双雕”。
能力提升：有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，往往可为灵活利用和差角公式及题设条件创造有利条件，优化解题思维。
综上，关注“优解”，有利于优化我们的解题思维，进一步提升解题的技能技巧，且学且悟且应用！
不少三角恒等变换类试题，往往我们会做，但总会感觉比较麻烦一些，那么如何实现“优解”就显得非常重要！请看以下归类解析。
类型一、借助“弦切”互化，实施优解
例1：已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）
A.- B. C. - D.
解析：（通解）因为tanθ=2>0，所以角θ的终边在一、三象限，从而讨论如下：
若角θ的终边在第一象限，则由tanθ=2可得sinθ= ，cosθ= ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）2+ × -2×（ ）2=
若角θ的终边在第三象限，则由tanθ=2可得sinθ=- ，cosθ=- ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（- ）2+（- ）×（- ）-2×（- ）2= .
综上，必有sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ，故选D。
（优解）因为sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= = = = = ，故选D。
评注：上述通解需要分情况讨论，显然较繁；而优解较为简捷，但需关注两个常用变形技巧——①将所求式分母中的“1”等量代换为sin2θ+cos2θ；②对分式 的分子、分母同时除以cos2θ，有利于弦变切。
能力提升：处理三角函数中有关弦切混合问题时，有时需要将正、余弦形式全部转化为正切的形式便于求解；反之，有时需要将正切的形式全部转化为正、余弦的形式便于求解。
类型二、借助“换元”转化，实施优解
例2：已知sin（x- ）+ cosx= ，则sin（2x+ ）=_____.
解析：由sin（x- ）+ cosx= ，得 sinx- cosx+ cosx= ，所以 sinx+ cosx= ，所以sin（x+ ）= .
接下來，有两种不同的思路：
方法一：（通解）sin（2x+ ）=-cos[ +（2x+ ）]=-cos2（x+ ）=2sin2（x+ ）-1=2×（ ）2-1=-
. 方法二：（优解）设x+ =θ，则x=θ- ，sinθ= ，所以sin（2x+ ）=sin（2θ- + ）=sin（2θ- ）=-sin（ -2θ）=-cos2θ=2sin2θ-1=2×（ ）2-1=-
评注：上述通解的难点在于灵活选取诱导公式加以适当变形（尽管书写过程看起来似乎简单一些）；而优解在“换元”基础上，整个思路比较流畅、自然，故值得关注！
能力提升：处理有关三角函数求值问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，借助“换元”的形式，有利于进一步分析、解决问题。
类型三、借助“加减”变形，实施优解
例3：已知tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），且sin2（α+γ）=5sin2β，则实数m=_____.
解析：（通解）因为tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），
所以 =m· .
为了便于书写，记tan（α+γ）=a，tanβ=b，则 =m· ，变形整理可得 = · . ①
因为sin2（α+γ）=5sin2β，所以 = ，所以 = ，即 = ，化简得 =5· . ②
于是，根据①②可得 =5，解得所求实数m= .
（优解）设A=α+β+γ，B=α-β+γ，则2（α+γ）=A+B，2β=A-B.
又因为sin2（α+γ）=5sin2β，所以sin（A+B）=5sin（A-B）， 所以展开得sinAcosB+cosAsinB=5（sinAcosB-cosAsinB），所以化简得6cosAsinB=4sinAcosB，所以2tanA=3tanB.
故所求实数m= = .
评注：上述通解的关键是先根据α+β+γ=（α+γ）+β，α-β+γ=（α+γ）-β以及和差角公式得到关于tan（α+γ）和tanβ的一个表达式，然后再根据二倍角公式以及弦变切思想得到关于tan（α+γ）和tanβ的另一个表达式，以便构建关于m的等式，显然较繁；而优解较为简捷，其突破口在于将2（α+γ）变形为（α+β+γ）+（α-β+γ），将2β变形为（α+β+γ）-（α-β+γ），不但为灵活运用和差角公式创造了有利条件，而且也将已知条件与求解目标紧密地联系起来，真可谓“一箭双雕”。
能力提升：有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，往往可为灵活利用和差角公式及题设条件创造有利条件，优化解题思维。
综上，关注“优解”，有利于优化我们的解题思维，进一步提升解题的技能技巧，且学且悟且应用！