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【摘要】轴对称试题越来越受到命题人的关注,对称轴作为研究工具研究一些轴对称图形,通过观察、动手操作图形,发现轴对称图形的相关性质及结论,并利用性质和结论进行计算与解题。
【关键词】轴对称;解题
Axisymmetric Solve Problems
Wang Qiuping
【Abstract】Axisymmetric questions more and more people concerned about the proposition, the axis of symmetry as a research tool to study some axial symmetry, through observation, hands-on operation, we can find the related properties of axial symmetry and conclusions, and use to calculate the nature and conclusions and problem-solving.
【Key words】axial symmetry; problem solving
在近几年的中考及各类考试中,轴对称试题越来越受到命题人的关注。教材把对称轴作为研究工具来研究一些轴对称图形,通过观察、动手操作图形,发现轴对称图形的相关性质及结论,并利用性质和结论进行计算与解题。而利用对称图形的对称性解题简捷、方便。
1 折叠中的轴对称
例1(2009•河北)如图1:等边△ABC的边长为1cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A’处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为cm。
解析:折叠问题中,折起部分与叠合部分是以折痕为对称轴的轴对图形,由轴对称的性质可知, AD=A′D,AE=A′E.阴影部分的周长恰好是△ABC的周长,即3cm。
例2(2009•上海) 如图2,在Rt △ABC中, BAC=90 ,AB=3,M为边BC上的点,连接AM,如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是
解析:作ME⊥AC,设将沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点D处,所以AD=AB=3, ∠BAM=∠MAC=12∠BAC=45°可得∠AME= 45 ,ME=AE
∵∠BAC=90°
∴ ME∥AB ,
∴△CEM∽△CAB
∴ MEAB=CECA
即ME3=6-ME6
解得:ME=2,所以点M到AC的距离是2.
点评:在解答图形的折叠问题时,要明白折痕两边的图形是轴对称图形,从而利用轴对称变换的性质得到角相等,边相等进行解题。同时折叠中若有直角三角形的出现,常用到勾股定理,相似的性质等列式计算。
2 最值中的轴对称
例3 如图3,正方形ABCD的边长为8,M在CD 上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为。
解析: 因为四边形ABCD是正方形,AC与BD垂直且平分,所以点D关于直线AC的对称点是点B,连接BM,BM与AC的交点就是所求DN+MN的最小值时动点N的位置,BM的长就是DN+MN的最小值。
即BM2=BC2+CM2=BC2+(DC-DM)2
=64+36=100
BM=10
例4 如图5,AB是⊙O直径,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,OC=1,点D圆上AD⌒=2DC⌒,点P是半径OC上的一动点,那么AP+PD的最小值是。
解析:因为圆是轴对称图形,点A与点B是关 于直线OC对称的,连接BD交OC于点P,BD的长即为AP+PD的最小值。
∵OC⊥AB,AD⌒=2DC⌒
∴ ∠AOD=2∠DOC=60°
∴ ∠ABD=30°
又∵AB是⊙O直径
∴ ∠ADB=90°
∴BD=AB=2×32=3
即AP+PD=3
点评:解此类数学问题,可以归纳为一个数学模型,已知直线a和在
直线a的同一侧的两点A、B,求作点P,使P在直线 a上并且AP+BP最短,该问题可以通过作点B关于直线a的对称点B′,连接B′A,与直线a相交于点P,则点P便是所求的点。再根据图形本身的对称性选择两点中较易找到的对称点的点。
3 坐标系中的轴对称
例5 (2009•沈阳),如图8在直角坐标系中,已知点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(0,3),点C在坐标平面内,若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,则满足条件的点C有个。
解析:等腰三角形是关于底边的中线所在直线的轴对称图形,如图所示:若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,那么满足条件的以AB为底边的等腰三角形有△AB C1和△ABC2;以AC为底边的等腰三角形有△AB C3和△ABC4;以BC为底边的等腰三角形有△AB C5和△ABC6。故满足条件的点有6个。
例6 如图10,在坐标系中,动点P在以O为圆心,P为半径的圆上运动,
整数点P有个。
解析:在坐标系中,根据对称性可知由四个点,即(5,0),(-5,0),(0,5),(0,-5);在第一象限(3,4),(4,3);在利用对称性可知第二象限有(-3,4),(-4,3);第三象限有(-3,-4),(-4,-3);第四象限有(3,-4),(4,-3)。共12个整数点。
4 抛物线中的轴对称
例7 (2009•陕西)根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可判断该二次函数的图象与x轴( )
x… -1 0 1 2 …
y… -1 - 74-2-74…
A. 只有一个交点
B. 有两个交点,且它们分别在y轴两侧
C.有两个交点,且它们均在y轴同侧
D. 无交点
解析:由于抛物线是对称图形,抛物线纵坐标相同的两点一定是关于抛物线的对称轴对称的。故横坐标是0与2的两点所连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴, 即x =0+22=1, 由此可得(1,-2)为抛物线的顶点坐标,故可知选C。
例8 (2009•天津) 在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
A. y=-x2-x+2B. y=-x2+x-2
C. y=-x2+x+2D. y=x2+x+2
解法1:抛物线 y=x2+x-2的顶点坐标为(-12,-94),关于x轴对称后图象顶点为(-12,94), 再关于y轴对称后图象顶点为(12,94),开口方向相反,即y=-(x-12)2+94,化简得:y=-x2+x+2
解法2:抛物线 y=x2+x-2图象上的点(x,y)关于x轴对称的图象的点坐标是(x , -y),再关于y轴对称的图象的点坐标是(-x,-y)。
即-y=(-x)2+(-x)-2,化简得y=-x2+x+2 故选C。
点评:方法1:对称变换改变图形的位置,不改变图形的形状、大小,所以对称变换后二次函数y=a(x-h)2+k中︱a︱不变,顶点发生变化,因此只要求出变换后的顶点坐标。
方法2:函数图象上的点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),函數图象上的点(x,y)关于y轴对称的图象的点是(-x,y),函数图象上的点(x,y)关于原点对称的图象的点是(-x ,-y)。
收稿日期:2010-05-12
【关键词】轴对称;解题
Axisymmetric Solve Problems
Wang Qiuping
【Abstract】Axisymmetric questions more and more people concerned about the proposition, the axis of symmetry as a research tool to study some axial symmetry, through observation, hands-on operation, we can find the related properties of axial symmetry and conclusions, and use to calculate the nature and conclusions and problem-solving.
【Key words】axial symmetry; problem solving
在近几年的中考及各类考试中,轴对称试题越来越受到命题人的关注。教材把对称轴作为研究工具来研究一些轴对称图形,通过观察、动手操作图形,发现轴对称图形的相关性质及结论,并利用性质和结论进行计算与解题。而利用对称图形的对称性解题简捷、方便。
1 折叠中的轴对称
例1(2009•河北)如图1:等边△ABC的边长为1cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A’处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为cm。
解析:折叠问题中,折起部分与叠合部分是以折痕为对称轴的轴对图形,由轴对称的性质可知, AD=A′D,AE=A′E.阴影部分的周长恰好是△ABC的周长,即3cm。
例2(2009•上海) 如图2,在Rt △ABC中, BAC=90 ,AB=3,M为边BC上的点,连接AM,如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是
解析:作ME⊥AC,设将沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点D处,所以AD=AB=3, ∠BAM=∠MAC=12∠BAC=45°可得∠AME= 45 ,ME=AE
∵∠BAC=90°
∴ ME∥AB ,
∴△CEM∽△CAB
∴ MEAB=CECA
即ME3=6-ME6
解得:ME=2,所以点M到AC的距离是2.
点评:在解答图形的折叠问题时,要明白折痕两边的图形是轴对称图形,从而利用轴对称变换的性质得到角相等,边相等进行解题。同时折叠中若有直角三角形的出现,常用到勾股定理,相似的性质等列式计算。
2 最值中的轴对称
例3 如图3,正方形ABCD的边长为8,M在CD 上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为。
解析: 因为四边形ABCD是正方形,AC与BD垂直且平分,所以点D关于直线AC的对称点是点B,连接BM,BM与AC的交点就是所求DN+MN的最小值时动点N的位置,BM的长就是DN+MN的最小值。
即BM2=BC2+CM2=BC2+(DC-DM)2
=64+36=100
BM=10
例4 如图5,AB是⊙O直径,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,OC=1,点D圆上AD⌒=2DC⌒,点P是半径OC上的一动点,那么AP+PD的最小值是。
解析:因为圆是轴对称图形,点A与点B是关 于直线OC对称的,连接BD交OC于点P,BD的长即为AP+PD的最小值。
∵OC⊥AB,AD⌒=2DC⌒
∴ ∠AOD=2∠DOC=60°
∴ ∠ABD=30°
又∵AB是⊙O直径
∴ ∠ADB=90°
∴BD=AB=2×32=3
即AP+PD=3
点评:解此类数学问题,可以归纳为一个数学模型,已知直线a和在
直线a的同一侧的两点A、B,求作点P,使P在直线 a上并且AP+BP最短,该问题可以通过作点B关于直线a的对称点B′,连接B′A,与直线a相交于点P,则点P便是所求的点。再根据图形本身的对称性选择两点中较易找到的对称点的点。
3 坐标系中的轴对称
例5 (2009•沈阳),如图8在直角坐标系中,已知点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(0,3),点C在坐标平面内,若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,则满足条件的点C有个。
解析:等腰三角形是关于底边的中线所在直线的轴对称图形,如图所示:若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,那么满足条件的以AB为底边的等腰三角形有△AB C1和△ABC2;以AC为底边的等腰三角形有△AB C3和△ABC4;以BC为底边的等腰三角形有△AB C5和△ABC6。故满足条件的点有6个。
例6 如图10,在坐标系中,动点P在以O为圆心,P为半径的圆上运动,
整数点P有个。
解析:在坐标系中,根据对称性可知由四个点,即(5,0),(-5,0),(0,5),(0,-5);在第一象限(3,4),(4,3);在利用对称性可知第二象限有(-3,4),(-4,3);第三象限有(-3,-4),(-4,-3);第四象限有(3,-4),(4,-3)。共12个整数点。
4 抛物线中的轴对称
例7 (2009•陕西)根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可判断该二次函数的图象与x轴( )
x… -1 0 1 2 …
y… -1 - 74-2-74…
A. 只有一个交点
B. 有两个交点,且它们分别在y轴两侧
C.有两个交点,且它们均在y轴同侧
D. 无交点
解析:由于抛物线是对称图形,抛物线纵坐标相同的两点一定是关于抛物线的对称轴对称的。故横坐标是0与2的两点所连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴, 即x =0+22=1, 由此可得(1,-2)为抛物线的顶点坐标,故可知选C。
例8 (2009•天津) 在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
A. y=-x2-x+2B. y=-x2+x-2
C. y=-x2+x+2D. y=x2+x+2
解法1:抛物线 y=x2+x-2的顶点坐标为(-12,-94),关于x轴对称后图象顶点为(-12,94), 再关于y轴对称后图象顶点为(12,94),开口方向相反,即y=-(x-12)2+94,化简得:y=-x2+x+2
解法2:抛物线 y=x2+x-2图象上的点(x,y)关于x轴对称的图象的点坐标是(x , -y),再关于y轴对称的图象的点坐标是(-x,-y)。
即-y=(-x)2+(-x)-2,化简得y=-x2+x+2 故选C。
点评:方法1:对称变换改变图形的位置,不改变图形的形状、大小,所以对称变换后二次函数y=a(x-h)2+k中︱a︱不变,顶点发生变化,因此只要求出变换后的顶点坐标。
方法2:函数图象上的点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),函數图象上的点(x,y)关于y轴对称的图象的点是(-x,y),函数图象上的点(x,y)关于原点对称的图象的点是(-x ,-y)。
收稿日期:2010-05-12