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一、填空题
1.已知集合M={－1,1},N={x12<2x+1<4,x∈Z}，则M∩N= ．
2.复数1+52－i（i是虚数单位）的模等于 ．
3.“a＞0”是“|a|＞0”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或者“既不充分又不必要”）
4.若曲线f(x)=x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为 ．
5.若tanα+1tanα=103,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 ．
6.圆心在曲线y=2x(x>0)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为 ．
7.直线y＝bax与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个交点为P，椭圆右准线与x轴交于Q点，O为坐标原点，且|OP|＝|PQ|，则此椭圆的离心率为 ．
8.如图，在△ABC中，AB=3,BC=7,AC=2，若O为ΔABC的外心，则OB•OC= ．
9.如图所示的流程图,若输出的结果是17，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 .
10.等差数列{an}的公差d<0，且a21=a211，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时n= .
11.在平面区域(x,y)|y2≤－x2+2x,且y≥0内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域(x,y)|y≤x,x+y≤2,且y≥0内的点的概率为 ．
12.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，那么点A到平面SBC的距离为 ．
13.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：2335,337911,4313151719,…仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为 ．
14.已知定义域为（1，+∞）的函数f(x)满足：（Ⅰ）对任意x∈（1，+∞），恒有f(2x)=2f(x)成立；（Ⅱ）当x∈（1，2］时，f(x)=2-x．给出如下结论：
①对任意m∈N*，有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为［0，+∞）；③存在n∈N*，使得f(2n+1)=9；④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈N，使得(a,b)(2k,2k+1)”.其中所有正确结论的序号是 ．
二、解答题
15.设向量OA=(3,－3)，OB=(cosθ,sinθ)，其中0≤θ≤π2．
（1）若|AB|=13，求tanθ的值；
（2）设函数f(θ)=OA•OB+m，若函数f(θ)的最大值为4，求实数m的值.
16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点．
（1）求证：A1C∥平面AD1E；
（2）点P为对角线A1C上的动点，求证：存在点P，使得DP⊥平面AD1E.
17.已知A,B,C均在椭圆M:x2a2+y2=1(a>1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左、右焦点、，当AC•F1F2=0时，有9AF1•AF2=AF12.
（1）求椭圆M的方程;
（2）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2+(y－2)2=1的任一条直径，求PE•PF的最大值.
18.某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)
(1)求出x与t所满足的关系式；
(2)请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？
19.已知数列{an}的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足(p－1)Sn=p2－an,其中p为正常数，
且p≠1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=12－logpan(n∈N*),求数列{bnbn+1}的前n项和Tn;
（3）是否存在正整数M，使得n>M时,a1a4a7…a3n－2>a78恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由.
20.设函数f(x)=x2－mlnx，h(x)=x2－x+a.
（1）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)－h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.{－1}
2.10
3.充分不必要
4.(1,0)
5.－210
6.(x－1)2+(y－2)2=5
7.22
8.－76
9.81
10.5或6
11.2π
12.32
13.8
14.①②④
15．（1）解：依题意得，AB=OB－OA=cosθ－3,sinθ+3，
所以|AB|2=(cosθ－3)2+(sinθ+3)2=13－6cosθ+23sinθ=13，
所以3sinθ=3cosθ．
因为cosθ≠0，所以tanθ=3．
（2）解：f(θ)=3cosθ－3sinθ+m=23cos(θ+π6)+m，
∵θ∈［0,π2］,∴θ+π6∈［π6,2π3］，
∴cos(θ+π6)∈［－12,32］.
∴fmax(θ)=m+3=4,∴m=1.
16．（1）证明：连结A1D，交AD1于点F，连结EF．
因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点，
又E是CD的中点，所以EF∥A1C．
因为EF平面AD1E，A1C平面AD1E，
所以A1C∥平面AD1E．
（2）解：在对角线A1C上存在点P，且CP=33，使得DP⊥平面AD1E．
证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D．
因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD．
因为AD1平面AD1E，所以平面AD1E⊥平面A1CD．
作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF．
因为DP平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF，所以DP⊥平面AD1E．
由Rt△A1CD∽RtΔDCP，得CP=CD2A1C=13=33．
所以当CP=33时，DP⊥平面AD1E．
17．解：（1）因为AC•F1F2=0，所以有AC⊥F1F2
所以△AF1F2为直角三角形；∴|AF1|cos∠F1AF2=|AF2|.
则有9AF1•AF2=9|AF1||AF2|cos∠F1AF2=9|AF2|2=AF12=|AF1|2，
所以，|AF1|=3|AF2|.
又|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|=3a2,|AF2|=a2
在△AF1F2中
(3a2)2=(a2)2+4(a2－1)，解得a2=2.
所求椭圆M方程为x22+y2=1.
（2）PE•PF=(NE－NP)•(NF－NP)
=(－NF－NP)•(NF－NP)=(－NP)2－NF2=NP2－1.
从而将求PE•PF的最大值转化为求NP2的最大值.
P是椭圆M上的任一点，设P(x0,y0)，则有x202+y20=1，即x20=2-2y20.
又N(0,2)，所以
而y0∈［－1,1］,所以当y0=－1时，NP2取最大值9.
故PE•PF的最大值为8.
18.解(1)设比例系数为k(k≠0)．由题知，有3－x=kt+1．
又t=0时，x=1．
∴3－1=k0+1，k=2．
∴x与t的关系是x=3－2t+1(t≥0)．
(2)依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为(3+32x)万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：(3+32xx•150%+t2x)元／件．
于是，y=x•(3+32xx•150%+t2x)－(3+32x)－t，进一步化简，得
y=992－32t+1－t2(t≥0)．
因此，工厂2010年的年利润y=992－32t+1－t2(t≥0)万元．
(3)由(2)知，y=992－32t+1－t2(t≥0)
=50－(32t+1+t+12)≤50－232t+1•t+12=42(当t+12=32t+1，即t=7时，等号成立).
所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．
19.解：（1）由题设知(p－1)a1=p2－a1,解得a1=p.
同时(p－1)Sn=p2－an,(p－1)Sn+1=p2－an+1,
两式作差得(p－1)(Sn+1－Sn)=an－an+1.
所以(p－1)an+1=an－an+1,即an+1=1pan,
可见，数列{an}是首项为p,公比为1p的等比数列.
an=p(1p)n－1=(1p)n－2.
（2）bn=12－logpp2－n=12－(2－n)=1n.
bnbb+1=1n(n+1)=1n－1n+1.
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1=(11－12)+(12－13)+(13－14)+…+(1n－1n+1)
=1－1n+1.
（3）a1a4a7…a3n－2=(1p)－1+2+5…(3n－4)=(1p)n(3n－5)2,
a78=(1p)76,由题意,要求(1p)n(3n－5)2>(1p)76.
①当p>1时,n(3n－5)2<76,即3n2－5n－152<0.
解得－193 ②当00.
解得n>8,或n<－193(舍去).此时存在的符合题意的M=8.
综上所述，当0 20.解：（1）由a=0，f(x)≥g(x)可得－mlnx≥－x，即m≤xlnx.
记φ=xlnx，则f(x)≥g(x)在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ(x)min.
求得φ′(x)=lnx－1ln2x.
当x∈(1,e)时；φ′(x)<0；当x∈(e,+∞)时，φ′(x)>0，
故φ(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ(x)min=φ(e)=e，故m≤e.
（2）函数k(x)=f(x)－h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根．
令g(x)=x－2lnx，则g′(x)=1－2x，
当x∈［1,2)时，g′(x)<0，当x∈(2,3］时，g′(x)>0
∴g（x）在［1，2］上是单调递减函数，在(2,3］上是单调递增函数．
故g(x)min=g(2)=2－2ln2.
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，
∵g（1）>g（3），∴只需g（2） 故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3）
（3）存在m=12，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．
f′(x)min=2x－mx=2x2－mx，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
若m≤0，则f′(x)≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
若m>0，由f′(x)>0可得2x2-m>0，解得x>m2或x<-m2（舍去）.
故m>0时，函数的单调递增区间为（m2，+∞），
单调递减区间为（0，m2）.
而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，12），单调递增区间是（12，+∞）.
故只需m2=12，解之得m=12.
即当m=12时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性．
1.已知集合M={－1,1},N={x12<2x+1<4,x∈Z}，则M∩N= ．
2.复数1+52－i（i是虚数单位）的模等于 ．
3.“a＞0”是“|a|＞0”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或者“既不充分又不必要”）
4.若曲线f(x)=x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为 ．
5.若tanα+1tanα=103,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 ．
6.圆心在曲线y=2x(x>0)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为 ．
7.直线y＝bax与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个交点为P，椭圆右准线与x轴交于Q点，O为坐标原点，且|OP|＝|PQ|，则此椭圆的离心率为 ．
8.如图，在△ABC中，AB=3,BC=7,AC=2，若O为ΔABC的外心，则OB•OC= ．
9.如图所示的流程图,若输出的结果是17，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 .
10.等差数列{an}的公差d<0，且a21=a211，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时n= .
11.在平面区域(x,y)|y2≤－x2+2x,且y≥0内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域(x,y)|y≤x,x+y≤2,且y≥0内的点的概率为 ．
12.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，那么点A到平面SBC的距离为 ．
13.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：2335,337911,4313151719,…仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为 ．
14.已知定义域为（1，+∞）的函数f(x)满足：（Ⅰ）对任意x∈（1，+∞），恒有f(2x)=2f(x)成立；（Ⅱ）当x∈（1，2］时，f(x)=2-x．给出如下结论：
①对任意m∈N*，有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为［0，+∞）；③存在n∈N*，使得f(2n+1)=9；④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈N，使得(a,b)(2k,2k+1)”.其中所有正确结论的序号是 ．
二、解答题
15.设向量OA=(3,－3)，OB=(cosθ,sinθ)，其中0≤θ≤π2．
（1）若|AB|=13，求tanθ的值；
（2）设函数f(θ)=OA•OB+m，若函数f(θ)的最大值为4，求实数m的值.
16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点．
（1）求证：A1C∥平面AD1E；
（2）点P为对角线A1C上的动点，求证：存在点P，使得DP⊥平面AD1E.
17.已知A,B,C均在椭圆M:x2a2+y2=1(a>1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左、右焦点、，当AC•F1F2=0时，有9AF1•AF2=AF12.
（1）求椭圆M的方程;
（2）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2+(y－2)2=1的任一条直径，求PE•PF的最大值.
18.某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)
(1)求出x与t所满足的关系式；
(2)请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？
19.已知数列{an}的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足(p－1)Sn=p2－an,其中p为正常数，
且p≠1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=12－logpan(n∈N*),求数列{bnbn+1}的前n项和Tn;
（3）是否存在正整数M，使得n>M时,a1a4a7…a3n－2>a78恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由.
20.设函数f(x)=x2－mlnx，h(x)=x2－x+a.
（1）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)－h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.{－1}
2.10
3.充分不必要
4.(1,0)
5.－210
6.(x－1)2+(y－2)2=5
7.22
8.－76
9.81
10.5或6
11.2π
12.32
13.8
14.①②④
15．（1）解：依题意得，AB=OB－OA=cosθ－3,sinθ+3，
所以|AB|2=(cosθ－3)2+(sinθ+3)2=13－6cosθ+23sinθ=13，
所以3sinθ=3cosθ．
因为cosθ≠0，所以tanθ=3．
（2）解：f(θ)=3cosθ－3sinθ+m=23cos(θ+π6)+m，
∵θ∈［0,π2］,∴θ+π6∈［π6,2π3］，
∴cos(θ+π6)∈［－12,32］.
∴fmax(θ)=m+3=4,∴m=1.
16．（1）证明：连结A1D，交AD1于点F，连结EF．
因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点，
又E是CD的中点，所以EF∥A1C．
因为EF平面AD1E，A1C平面AD1E，
所以A1C∥平面AD1E．
（2）解：在对角线A1C上存在点P，且CP=33，使得DP⊥平面AD1E．
证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D．
因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD．
因为AD1平面AD1E，所以平面AD1E⊥平面A1CD．
作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF．
因为DP平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF，所以DP⊥平面AD1E．
由Rt△A1CD∽RtΔDCP，得CP=CD2A1C=13=33．
所以当CP=33时，DP⊥平面AD1E．
17．解：（1）因为AC•F1F2=0，所以有AC⊥F1F2
所以△AF1F2为直角三角形；∴|AF1|cos∠F1AF2=|AF2|.
则有9AF1•AF2=9|AF1||AF2|cos∠F1AF2=9|AF2|2=AF12=|AF1|2，
所以，|AF1|=3|AF2|.
又|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|=3a2,|AF2|=a2
在△AF1F2中
(3a2)2=(a2)2+4(a2－1)，解得a2=2.
所求椭圆M方程为x22+y2=1.
（2）PE•PF=(NE－NP)•(NF－NP)
=(－NF－NP)•(NF－NP)=(－NP)2－NF2=NP2－1.
从而将求PE•PF的最大值转化为求NP2的最大值.
P是椭圆M上的任一点，设P(x0,y0)，则有x202+y20=1，即x20=2-2y20.
又N(0,2)，所以
而y0∈［－1,1］,所以当y0=－1时，NP2取最大值9.
故PE•PF的最大值为8.
18.解(1)设比例系数为k(k≠0)．由题知，有3－x=kt+1．
又t=0时，x=1．
∴3－1=k0+1，k=2．
∴x与t的关系是x=3－2t+1(t≥0)．
(2)依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为(3+32x)万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：(3+32xx•150%+t2x)元／件．
于是，y=x•(3+32xx•150%+t2x)－(3+32x)－t，进一步化简，得
y=992－32t+1－t2(t≥0)．
因此，工厂2010年的年利润y=992－32t+1－t2(t≥0)万元．
(3)由(2)知，y=992－32t+1－t2(t≥0)
=50－(32t+1+t+12)≤50－232t+1•t+12=42(当t+12=32t+1，即t=7时，等号成立).
所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．
19.解：（1）由题设知(p－1)a1=p2－a1,解得a1=p.
同时(p－1)Sn=p2－an,(p－1)Sn+1=p2－an+1,
两式作差得(p－1)(Sn+1－Sn)=an－an+1.
所以(p－1)an+1=an－an+1,即an+1=1pan,
可见，数列{an}是首项为p,公比为1p的等比数列.
an=p(1p)n－1=(1p)n－2.
（2）bn=12－logpp2－n=12－(2－n)=1n.
bnbb+1=1n(n+1)=1n－1n+1.
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1=(11－12)+(12－13)+(13－14)+…+(1n－1n+1)
=1－1n+1.
（3）a1a4a7…a3n－2=(1p)－1+2+5…(3n－4)=(1p)n(3n－5)2,
a78=(1p)76,由题意,要求(1p)n(3n－5)2>(1p)76.
①当p>1时,n(3n－5)2<76,即3n2－5n－152<0.
解得－193
解得n>8,或n<－193(舍去).此时存在的符合题意的M=8.
综上所述，当0
记φ=xlnx，则f(x)≥g(x)在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ(x)min.
求得φ′(x)=lnx－1ln2x.
当x∈(1,e)时；φ′(x)<0；当x∈(e,+∞)时，φ′(x)>0，
故φ(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ(x)min=φ(e)=e，故m≤e.
（2）函数k(x)=f(x)－h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根．
令g(x)=x－2lnx，则g′(x)=1－2x，
当x∈［1,2)时，g′(x)<0，当x∈(2,3］时，g′(x)>0
∴g（x）在［1，2］上是单调递减函数，在(2,3］上是单调递增函数．
故g(x)min=g(2)=2－2ln2.
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，
∵g（1）>g（3），∴只需g（2）
（3）存在m=12，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．
f′(x)min=2x－mx=2x2－mx，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
若m≤0，则f′(x)≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
若m>0，由f′(x)>0可得2x2-m>0，解得x>m2或x<-m2（舍去）.
故m>0时，函数的单调递增区间为（m2，+∞），
单调递减区间为（0，m2）.
而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，12），单调递增区间是（12，+∞）.
故只需m2=12，解之得m=12.
即当m=12时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性．