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摘 要：本文以经典的概率中“取球问题”为案例模板，通过“有放回与不放回取样”“有序与无序取样”“独立与不独立取样”等过程性探究，让学生感悟数学建模过程，学会在众表象中找到合适的模型，熟练地应用到不同问题情境中，从而培养良好的思维品质，提高学生数学抽象、数学建模等核心素养，增强高考应试能力。
关键词：过程探究;建模意识;核心素养
高中数学“概率”模块的学习从多年教学实践的效应来看已成为学生的一大困扰。其主要表现为对相关概念理解的模糊、混淆，无法建立正确的模型;在螺旋上升分块学习了“古典概型、计数原理、独立事件及分布列”基础上，在一轮复习中有必要对相关概念进行异同点、易混点进行剖析梳理、化归，系统性地构建出相关数学模型，让学生在审题中能迅速地捕捉概念提供的信息本质，准确找到对应模型，做到胸有成竹，有的放矢。本文以一节高三“概率复习课”为例，通过概念透析并构建数学模型，谈谈促进学生提高“对易混概念”的学习成效，提升数学核心素养的一些体会。
一、课堂重点范例摘录
案例1：盒子中有2个白球与3个黑球，现从中随机取球。
问题1：任意取出2个球，求恰好取到1个黑球的概率。
师：取到的黑球要考虑顺序关系吗？引导学生讨论：考虑顺序与不考虑顺序对结果是否有影响？
方法（1）：按顺序取球（借助多媒体按规律逐行呈现，括号内分先后次序）
（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑1，白1）（黑1，白2）
（黑2，黑1）（黑2，黑3）（黑2，白1）（黑2，白2）
（黑3，黑1）（黑3，黑2）（黑3，白1）（黑3，白2）
（白1，黑1）（白1，黑2）（白1，黑3）（白1，白2）
（白2，黑1）（白2，黑2）（白2，黑3）（白2，白1）
设“恰好取到一个黑球”为事件A，由古典概率公式得：P（A）=追问：两次抽取的元素有重复吗？追问2：这里的“有序”抽取可定位为计数原理中的什么概念？
设计意图：通过列举呈现取球次序过程，承接出之前学过的“排列”概念（引导学生表述其特性：不放回取球相当于“元素不重复”，按一定顺序相当于“有序”），即：
P（A）=，（这种计数方法与上面通过细數基本事件数相吻合）。
方法（2）：按无序取球（借助多媒体按规律逐行呈现，括号内不分先后次序）
追问：两次抽取的元素有重复吗？追问2：这里的“无序”抽取可定位为计数原理中的什么概念？
设计意图：通过列举呈现无序取球过程，让学生观察两种抽取方式中基本事件数之间是对应成倍的变化关系，引导学生表述其特性：不放回取球相当于“元素不重复”，合成一组相当于“无序”，即：
引导学生对两种解析方式进行观察、比较，得到结论：问题1既可用有序（排列）求解，也可用无序（组合）求解，两者方式并不冲突，结果一致。相比之下，用“组合”求解更为简便，无须考虑顺序。
归纳模型1：不放回抽样中，当目标指向仅与“数量”有关，可优选“组合”来求解。问题1中的分布列即为教材中提到的“超几何分布”。
问题2：不放回取两个球，求“第一次取到黑球，第二次取到白球”的概率。
学生练习，教师多媒体展示学生的其中一种解法：
师：以上解法正确吗？有的学生觉得正确，有的认为不对。
师：出错的根源在哪？（启发学生仍利用问题1中的两个示意图进行分析………，）
设计意图：让学生通过观察、分析、讨论，发现目标问题与顺序有关，让学生明确上面解法中总基本事件数若用组合数计算，分子中的基本事件数相当于翻了一番，即古典概型中分子分母的计数性质不对应导致出错。
拓展：不放回取球，直到取得白球为止，求取球次数X的分布列。
归纳模型2：不放回抽样中，当目标指向与“顺序”有关，可优选“排列”来求解。拓展中的分布列可自命名为“有限直到型分布”来方便表达与记忆，顾名思义，“直到”显然是“有序的”。
问题3：有放回地取2次球，则取得不同颜色球的概率为（）
设计意图：把问题2的不放回改为有放回，让学生尝试判断取球性质发生了哪些变化？
①两次抽取的元素有重复吗？②这时抽取是有序还是无序？
生：明白了，最好的解析方法还是列举法（并动手画示意图）
（黑1，黑1）（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑1，白1）（黑1，白2）
（黑2，黑1）（黑2，黑2）（黑2，黑3）（黑2，白1）（黑2，白2）
（黑3，黑1）（黑3，黑2）（黑3，黑3）（黑3，白1）（黑3，白2）
（白1，黑1）（白1，黑2）（白1，黑3）（白1，白1）（白1，白2）
（白2，黑1）（白2，黑2）（白2，黑3）（白2，白1）（白2，白2）
通过观察，小组讨论并归结：（1）两次抽取的元素会重复，不符合“排列或组合”的定义，排除了选项A、B;（2）是有序抽取，而选项C在分子上属于“单序”，选项D则满足题意。
师：这里的“有序抽取与排列”的联系与区别是什么？（这也是学生易混淆之处！）
教师再次点明：有序抽取可通用“分步计数”原理（元素可重复），排列只是分步计数的一种特殊形式（元素不可重复），学生顿悟。
追问1：问题3能用“独立乘法公式”求解吗？它与用古典概型解法有冲突吗？
提示学生“有放回取球”相当于“独立事件”，并让学生尝试用独立乘法公式求解问题3。
一学生扮演：设“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则取到不同颜色球的概率为：P（AB）+P（）=，让学生观其列式过程，它与选项D中的古典概型只是表达形式不同，本质都相同，两者和谐统一。 追问2：问题1，2中的“不放回取球”是独立事件吗？（强化独立事件的特性）
拓展：有放回取球，直到取得白球为止，且最多取4次，求取球次数的分布列。
师：它与问题2拓展中的“直到型取球”有区别呢？
引导学生思考，该题每次取球是独立事件，可能一直都取不到白球，所以有“限次”条件，（此类分布列可自命名为“无限直到型分布”来方便表达与记忆）。并强调在取球最后一次，即求取球4次的概率时易忽视的是什么？（从而点明了独立与不独立的本质差异。）
归纳模型3：有放回取样是有序抽取（但不同于排列），同时又是独立事件。这时即可用“古典概型”又可用“独立乘法公式”。若是“无限直到型分布”，可选用“独立乘法公式”更为便捷。
问题4：有放回取球3次，求取到白球次数X的分布列与数学期望。
师：由问题3可知，有放回可考虑独立事件解决。如恰好取到2次白球的概率如何列式？
追问1：3次中有2次取到白球，是哪2次，每次取到白球的概率有变吗？若不变，说明了什么？
追问2：我们还学过了什么类型的概率分布？
设计意图：让学生联想这个随机变量是否会服从“二项分布”，并让学生学会表述其特性，点明该概率分布的大前提是什么？（独立），小前提是什么？（重复），哪个变量服从这种分布类型？数学符号如何表示？（这个分布类型十分重要，进一步强化应用模型意识。）
归纳模型4：有放回取样，判断是否属于“独立重复试验”，若符合条件，则应用“二项分布及期望”公式，问题迎刃而解。
案例2：（2020高考模拟）一个备用车间放有大量同一模具生产出来的灯头螺丝钉，现从中随机抽取50个螺丝钉，测得它们的重量（单位：克），分组区间分别为[5，15]，[15，25]，[25，35]，[35，45]，并制得频率分布直方图（如图1）：
（1）求出a的值，并根据样本数据，估计这批产品重量的平均值。
（2）从这50个样本中任取3个，求恰有2个重量在[5，15]内的概率。
（3）从这批产品中依次抽取3个，设重量在[5，15]内的产品个数为X，求X的分布列与期望。（以直方图中的频率作为相应的概率）
设计意图：在归纳完案例1几个模型后，让学生通过高考模拟题针对模型的运用充分体验其在实际应用中的价值，逐步纠正概率易混问题。
让一位学生扮演解答过程……（这时学生思路已清晰，解题顺畅，这里摘取解答片段）
二、教学反思
高中概率部分的内容给学生的印象是概念模糊、易混、一知半解，其归根结底就是对相关概念没有进行过程性本质探究，未能有效概括出异同点并正确建立模型，因此日常教学可以从以下途径入手：
（一）善于创设问题背景，注重过程性探究
数学概念的形成就是让学生从大量不同实际情景中剥离出它们共同的特性进行抽象概括，同时能对一些易混的概念进行辨别，使学生对概念的理解由感性认识上升到理性水平。下面用流程图表示探究概念的形成及模型分化的过程：
在本节案例教学中，教师通过“取球情境的创建，变式问题的驱动，探究过程的展现”来调动学生的思维认知，让学生在学习过程中进行观察（取球表象）、辨析（取球性质）、抽象（上升理论）、概括（本质特征）、类化（模块区分）、建模（敲定类型）等活动，积累实践经验，并科学地对一些模型进行适当“创意命名”，增强学习趣味性的同时，提高思维切入应用水平，有效促进了数学抽象及建模素养的提升[1]。
（二）强化建模意识，培养抽象能力
树立数学建模意识可以强力培养学生学会学习的能力，它包含对遇到的现实问题进行数学抽象、用数学语言进行科学表达、用数学工具构建模型进行有效应用。数学建模源于生活情境，通过探究过程及步骤的呈现，构建出数学模型，经历“表象观察、问题提出、变化分析、问题归结”的过程，进而发展相应的探究能力，达到“会用数学眼界看、会用数学逻辑思、会用数学语言陈”的“三会”能力。数学建模与其他核心素养相交汇，蕴含着数学理念、态度与价值观，对培养学生的探索精神、创新意识等都有重大的意義[2]。
本节通过目标驱动及问题变式探究活动的设计，采用抛砖引玉的学习方式，引发学生对易混概念强烈的分辨欲，并注重学习活动的探究过程，给学生创造出“观察发现、讨论分享、个性展示、归纳提升、模型应用”的机会。通过建模活动，激发学生互联思考、促进学生交流分享、构筑学生创新意识、培养学生探索能力，通过模型应用加强学生对数学学科价值的理解，进一步提高了学生学以致用的兴致，也提升了可持续学习的素养能力。
结束语
日常教学中，教师要加强抽象思维习惯的引导，并在教学过程中潜移默化的培养，引导学生在纷繁复杂的问题中寻找合理恰当的数学模型，在知识小结中有意识地通过数学抽象，让学生体会“孤立中看到整体，分散中盼到联系，表象中找到模型”，日积月累，能促进学生良好的思维品质的形成，有效提升数学核心素养。
参考文献
[1]蔡小雄著《更高更妙的高中数学思想与方法》（2017年第九版），浙江大学出版社，2017.8
[2]史宁中、王尚志《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》，北京：高等教育出版社，2018.5
作者简介：林朝晖.男，1971年10月出生，福建省福州市闽清县人，福建省闽清高级中学数学一级教师，市骨干教师。主要从事数学教学与研究，在CN刊物发表论文多篇。
关键词：过程探究;建模意识;核心素养
高中数学“概率”模块的学习从多年教学实践的效应来看已成为学生的一大困扰。其主要表现为对相关概念理解的模糊、混淆，无法建立正确的模型;在螺旋上升分块学习了“古典概型、计数原理、独立事件及分布列”基础上，在一轮复习中有必要对相关概念进行异同点、易混点进行剖析梳理、化归，系统性地构建出相关数学模型，让学生在审题中能迅速地捕捉概念提供的信息本质，准确找到对应模型，做到胸有成竹，有的放矢。本文以一节高三“概率复习课”为例，通过概念透析并构建数学模型，谈谈促进学生提高“对易混概念”的学习成效，提升数学核心素养的一些体会。
一、课堂重点范例摘录
案例1：盒子中有2个白球与3个黑球，现从中随机取球。
问题1：任意取出2个球，求恰好取到1个黑球的概率。
师：取到的黑球要考虑顺序关系吗？引导学生讨论：考虑顺序与不考虑顺序对结果是否有影响？
方法（1）：按顺序取球（借助多媒体按规律逐行呈现，括号内分先后次序）
（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑1，白1）（黑1，白2）
（黑2，黑1）（黑2，黑3）（黑2，白1）（黑2，白2）
（黑3，黑1）（黑3，黑2）（黑3，白1）（黑3，白2）
（白1，黑1）（白1，黑2）（白1，黑3）（白1，白2）
（白2，黑1）（白2，黑2）（白2，黑3）（白2，白1）
设“恰好取到一个黑球”为事件A，由古典概率公式得：P（A）=追问：两次抽取的元素有重复吗？追问2：这里的“有序”抽取可定位为计数原理中的什么概念？
设计意图：通过列举呈现取球次序过程，承接出之前学过的“排列”概念（引导学生表述其特性：不放回取球相当于“元素不重复”，按一定顺序相当于“有序”），即：
P（A）=，（这种计数方法与上面通过细數基本事件数相吻合）。
方法（2）：按无序取球（借助多媒体按规律逐行呈现，括号内不分先后次序）
追问：两次抽取的元素有重复吗？追问2：这里的“无序”抽取可定位为计数原理中的什么概念？
设计意图：通过列举呈现无序取球过程，让学生观察两种抽取方式中基本事件数之间是对应成倍的变化关系，引导学生表述其特性：不放回取球相当于“元素不重复”，合成一组相当于“无序”，即：
引导学生对两种解析方式进行观察、比较，得到结论：问题1既可用有序（排列）求解，也可用无序（组合）求解，两者方式并不冲突，结果一致。相比之下，用“组合”求解更为简便，无须考虑顺序。
归纳模型1：不放回抽样中，当目标指向仅与“数量”有关，可优选“组合”来求解。问题1中的分布列即为教材中提到的“超几何分布”。
问题2：不放回取两个球，求“第一次取到黑球，第二次取到白球”的概率。
学生练习，教师多媒体展示学生的其中一种解法：
师：以上解法正确吗？有的学生觉得正确，有的认为不对。
师：出错的根源在哪？（启发学生仍利用问题1中的两个示意图进行分析………，）
设计意图：让学生通过观察、分析、讨论，发现目标问题与顺序有关，让学生明确上面解法中总基本事件数若用组合数计算，分子中的基本事件数相当于翻了一番，即古典概型中分子分母的计数性质不对应导致出错。
拓展：不放回取球，直到取得白球为止，求取球次数X的分布列。
归纳模型2：不放回抽样中，当目标指向与“顺序”有关，可优选“排列”来求解。拓展中的分布列可自命名为“有限直到型分布”来方便表达与记忆，顾名思义，“直到”显然是“有序的”。
问题3：有放回地取2次球，则取得不同颜色球的概率为（）
设计意图：把问题2的不放回改为有放回，让学生尝试判断取球性质发生了哪些变化？
①两次抽取的元素有重复吗？②这时抽取是有序还是无序？
生：明白了，最好的解析方法还是列举法（并动手画示意图）
（黑1，黑1）（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑1，白1）（黑1，白2）
（黑2，黑1）（黑2，黑2）（黑2，黑3）（黑2，白1）（黑2，白2）
（黑3，黑1）（黑3，黑2）（黑3，黑3）（黑3，白1）（黑3，白2）
（白1，黑1）（白1，黑2）（白1，黑3）（白1，白1）（白1，白2）
（白2，黑1）（白2，黑2）（白2，黑3）（白2，白1）（白2，白2）
通过观察，小组讨论并归结：（1）两次抽取的元素会重复，不符合“排列或组合”的定义，排除了选项A、B;（2）是有序抽取，而选项C在分子上属于“单序”，选项D则满足题意。
师：这里的“有序抽取与排列”的联系与区别是什么？（这也是学生易混淆之处！）
教师再次点明：有序抽取可通用“分步计数”原理（元素可重复），排列只是分步计数的一种特殊形式（元素不可重复），学生顿悟。
追问1：问题3能用“独立乘法公式”求解吗？它与用古典概型解法有冲突吗？
提示学生“有放回取球”相当于“独立事件”，并让学生尝试用独立乘法公式求解问题3。
一学生扮演：设“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则取到不同颜色球的概率为：P（AB）+P（）=，让学生观其列式过程，它与选项D中的古典概型只是表达形式不同，本质都相同，两者和谐统一。 追问2：问题1，2中的“不放回取球”是独立事件吗？（强化独立事件的特性）
拓展：有放回取球，直到取得白球为止，且最多取4次，求取球次数的分布列。
师：它与问题2拓展中的“直到型取球”有区别呢？
引导学生思考，该题每次取球是独立事件，可能一直都取不到白球，所以有“限次”条件，（此类分布列可自命名为“无限直到型分布”来方便表达与记忆）。并强调在取球最后一次，即求取球4次的概率时易忽视的是什么？（从而点明了独立与不独立的本质差异。）
归纳模型3：有放回取样是有序抽取（但不同于排列），同时又是独立事件。这时即可用“古典概型”又可用“独立乘法公式”。若是“无限直到型分布”，可选用“独立乘法公式”更为便捷。
问题4：有放回取球3次，求取到白球次数X的分布列与数学期望。
师：由问题3可知，有放回可考虑独立事件解决。如恰好取到2次白球的概率如何列式？
追问1：3次中有2次取到白球，是哪2次，每次取到白球的概率有变吗？若不变，说明了什么？
追问2：我们还学过了什么类型的概率分布？
设计意图：让学生联想这个随机变量是否会服从“二项分布”，并让学生学会表述其特性，点明该概率分布的大前提是什么？（独立），小前提是什么？（重复），哪个变量服从这种分布类型？数学符号如何表示？（这个分布类型十分重要，进一步强化应用模型意识。）
归纳模型4：有放回取样，判断是否属于“独立重复试验”，若符合条件，则应用“二项分布及期望”公式，问题迎刃而解。
案例2：（2020高考模拟）一个备用车间放有大量同一模具生产出来的灯头螺丝钉，现从中随机抽取50个螺丝钉，测得它们的重量（单位：克），分组区间分别为[5，15]，[15，25]，[25，35]，[35，45]，并制得频率分布直方图（如图1）：
（1）求出a的值，并根据样本数据，估计这批产品重量的平均值。
（2）从这50个样本中任取3个，求恰有2个重量在[5，15]内的概率。
（3）从这批产品中依次抽取3个，设重量在[5，15]内的产品个数为X，求X的分布列与期望。（以直方图中的频率作为相应的概率）
设计意图：在归纳完案例1几个模型后，让学生通过高考模拟题针对模型的运用充分体验其在实际应用中的价值，逐步纠正概率易混问题。
让一位学生扮演解答过程……（这时学生思路已清晰，解题顺畅，这里摘取解答片段）
二、教学反思
高中概率部分的内容给学生的印象是概念模糊、易混、一知半解，其归根结底就是对相关概念没有进行过程性本质探究，未能有效概括出异同点并正确建立模型，因此日常教学可以从以下途径入手：
（一）善于创设问题背景，注重过程性探究
数学概念的形成就是让学生从大量不同实际情景中剥离出它们共同的特性进行抽象概括，同时能对一些易混的概念进行辨别，使学生对概念的理解由感性认识上升到理性水平。下面用流程图表示探究概念的形成及模型分化的过程：
在本节案例教学中，教师通过“取球情境的创建，变式问题的驱动，探究过程的展现”来调动学生的思维认知，让学生在学习过程中进行观察（取球表象）、辨析（取球性质）、抽象（上升理论）、概括（本质特征）、类化（模块区分）、建模（敲定类型）等活动，积累实践经验，并科学地对一些模型进行适当“创意命名”，增强学习趣味性的同时，提高思维切入应用水平，有效促进了数学抽象及建模素养的提升[1]。
（二）强化建模意识，培养抽象能力
树立数学建模意识可以强力培养学生学会学习的能力，它包含对遇到的现实问题进行数学抽象、用数学语言进行科学表达、用数学工具构建模型进行有效应用。数学建模源于生活情境，通过探究过程及步骤的呈现，构建出数学模型，经历“表象观察、问题提出、变化分析、问题归结”的过程，进而发展相应的探究能力，达到“会用数学眼界看、会用数学逻辑思、会用数学语言陈”的“三会”能力。数学建模与其他核心素养相交汇，蕴含着数学理念、态度与价值观，对培养学生的探索精神、创新意识等都有重大的意義[2]。
本节通过目标驱动及问题变式探究活动的设计，采用抛砖引玉的学习方式，引发学生对易混概念强烈的分辨欲，并注重学习活动的探究过程，给学生创造出“观察发现、讨论分享、个性展示、归纳提升、模型应用”的机会。通过建模活动，激发学生互联思考、促进学生交流分享、构筑学生创新意识、培养学生探索能力，通过模型应用加强学生对数学学科价值的理解，进一步提高了学生学以致用的兴致，也提升了可持续学习的素养能力。
结束语
日常教学中，教师要加强抽象思维习惯的引导，并在教学过程中潜移默化的培养，引导学生在纷繁复杂的问题中寻找合理恰当的数学模型，在知识小结中有意识地通过数学抽象，让学生体会“孤立中看到整体，分散中盼到联系，表象中找到模型”，日积月累，能促进学生良好的思维品质的形成，有效提升数学核心素养。
参考文献
[1]蔡小雄著《更高更妙的高中数学思想与方法》（2017年第九版），浙江大学出版社，2017.8
[2]史宁中、王尚志《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》，北京：高等教育出版社，2018.5
作者简介：林朝晖.男，1971年10月出生，福建省福州市闽清县人，福建省闽清高级中学数学一级教师，市骨干教师。主要从事数学教学与研究，在CN刊物发表论文多篇。