论文部分内容阅读
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.
突破一 数形结合在集合中的应用
例1 （1）设集合A={x|1 （2）设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩
（3）设平面点集A={（x，y）|（y-x）（y-1x）≥0}，B={（x，y）|
（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为 .
分析：第（1）问需要结合数轴将数集表示在数轴上，这样才能清晰地解决问题.（2）第二问题可画出韦恩图则得到相应的结论.（3）可将平面点集在坐标平面上表示出来，观察图象帮助求A∩B.
解：（1）
{x|1 {x|x<-1或x>3}={x|3 （2）画出韦恩图，如图1，可知N={1，3，5}.
（3）由（y-x）（y-1x）≥0可知
y-x≥0，
y-1x≥0，
或者
y-x≤0，
y-1x≤0.
在同一坐标系中作出平面区域如图2，由图象可知A∩B的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为π2.
图1 图2
点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意.
同时要利用数轴、韦恩图及函数图象来寻求集合的概念和集合的关系.
突破二 函数图象的价值
例2 已知两条直线 l1：y=m和l2：
y=82m+1（m>0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B ，
l2与函数
y=|log2x|的图象从左至右相交于C、D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为
a、b，当m 变化时，
b/a的最小值为 .
分析：可在同一坐标系中画出y=m、
y=82m+1（m>0） 的图象，在坐标系中直观地研究投影之间的关系.
解：在同一坐标系中作出y=m，y=
82m+1（m>0），
y=
|log2x| 图象如图3，
由
|log2x|=m，得
x1=2-m，x2=2m，又由
|log2x|=82m+1，得
x3=2-82m+1，x4=282m+1.
图3
依照题意得
a=|2-m-2-82m+1|，b=|2m-282m+1|，
ba=
|2m-282m+1||2-m-2-82m+1|
=2m282m+1=2m+82m+1.
因为m+82m+1
=m+12+4m+1/2
-12
≥4-12
=312
，所以（ba）min=82.
点评：在同一坐标系中作出y=m、
y=82m+1（m>0），
y=|log2x|图象，结合图象可解得.
突破三 数形结合解决线性规划问题
例3 已知变量x，y满足约束条件
x+2y≥2，
2x+y≤4，
4x-y≥-1，
则目标函数z=3x-y的取值范围是 .
分析：本题可将不等式组所表示的平面区域表示出来，作出可行域，从而利用数形结合找出最优解即可.
图4
解：作出不等式所表示的区域如图4，由z=3x-y，得
y=3x-z，平移直线y=3x，由图象可知当直线经过点E（2，0）时，直线y=3x-z的截距最小，此时z最大为
z=3x-y=6.当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，由
4x-y=-1，
2x+y=4
，
解得
x=1/2，
y=3.
，此时
z=3x-y=32-3=-32.所以
z=3x-y的取值范围是
[-32，6].
点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题.
突破一 数形结合在集合中的应用
例1 （1）设集合A={x|1
（3）设平面点集A={（x，y）|（y-x）（y-1x）≥0}，B={（x，y）|
（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为 .
分析：第（1）问需要结合数轴将数集表示在数轴上，这样才能清晰地解决问题.（2）第二问题可画出韦恩图则得到相应的结论.（3）可将平面点集在坐标平面上表示出来，观察图象帮助求A∩B.
解：（1）
{x|1
（3）由（y-x）（y-1x）≥0可知
y-x≥0，
y-1x≥0，
或者
y-x≤0，
y-1x≤0.
在同一坐标系中作出平面区域如图2，由图象可知A∩B的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为π2.
图1 图2
点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意.
同时要利用数轴、韦恩图及函数图象来寻求集合的概念和集合的关系.
突破二 函数图象的价值
例2 已知两条直线 l1：y=m和l2：
y=82m+1（m>0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B ，
l2与函数
y=|log2x|的图象从左至右相交于C、D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为
a、b，当m 变化时，
b/a的最小值为 .
分析：可在同一坐标系中画出y=m、
y=82m+1（m>0） 的图象，在坐标系中直观地研究投影之间的关系.
解：在同一坐标系中作出y=m，y=
82m+1（m>0），
y=
|log2x| 图象如图3，
由
|log2x|=m，得
x1=2-m，x2=2m，又由
|log2x|=82m+1，得
x3=2-82m+1，x4=282m+1.
图3
依照题意得
a=|2-m-2-82m+1|，b=|2m-282m+1|，
ba=
|2m-282m+1||2-m-2-82m+1|
=2m282m+1=2m+82m+1.
因为m+82m+1
=m+12+4m+1/2
-12
≥4-12
=312
，所以（ba）min=82.
点评：在同一坐标系中作出y=m、
y=82m+1（m>0），
y=|log2x|图象，结合图象可解得.
突破三 数形结合解决线性规划问题
例3 已知变量x，y满足约束条件
x+2y≥2，
2x+y≤4，
4x-y≥-1，
则目标函数z=3x-y的取值范围是 .
分析：本题可将不等式组所表示的平面区域表示出来，作出可行域，从而利用数形结合找出最优解即可.
图4
解：作出不等式所表示的区域如图4，由z=3x-y，得
y=3x-z，平移直线y=3x，由图象可知当直线经过点E（2，0）时，直线y=3x-z的截距最小，此时z最大为
z=3x-y=6.当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，由
4x-y=-1，
2x+y=4
，
解得
x=1/2，
y=3.
，此时
z=3x-y=32-3=-32.所以
z=3x-y的取值范围是
[-32，6].
点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题.