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正、余弦定理及其应用问题综合性强、解题有一定的技巧，不少同学在解题时，经常因为审题不仔细、考虑不周、方法不当等原因而错解题目.下面就同学们在解题中出现的错误分类剖析如下，供大家参考.
一、审题不细致误
例1在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2 错解：∵a20.
则cosA=b2 c2-a22bc>0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数，
且cos90°=0，∴A<90°.又∵A为△ABC的内角，∴0° 剖析：错因是审题不细，已知条件弱用.题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误.
正解：由上面的解法，可得A<90°.又∵a为最大边，∴A>60°.
因此得A的取值范围是（60°，90°）.
二、方法不当致误
例2在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=3，求a b csinA sinB sinC的值.
错解：∵A=60°，b=1，S△ABC=3，
又S△ABC=12bcsinA，
∴3=12csin60°，解得c=4.
由余弦定理，得a=b2 c2-2bccosA
=1 16-8cos60°=13.
又由正弦定理，得sinC=639，sinB=3239.
∴a b csinA sinB sinC=13 1 432 3239 639.
辨析：如此复杂的算式，计算困难.其原因是公式不熟、方法不当造成的.
正解：由已知可得c=4，a=13.
由正弦定理，得2R=asinA=13sin60°=2393.
∴a b csinA sinB sinC=2R=2393.
三、忽视制约条件致误
例3在△ABC中，c=6 2，C=30°，求a b的最大值.
错解：∵C=30°，∴A B=150°，B=150°-A.
由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6 2sin30°，
∴a=2（6 2）sinA，
B=2（6 2）sin（150°-A）.
又∵sinA≤1，sin（150°-A）≤1，
∴a b≤2（6 2） 2（6 2）=4（6 2）.故a b的最大值为4（6 2）.
剖析：错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里A与150°-A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin（150°-A）不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的.
正解：∵C=30°，∴A B=150°，B=150°-A.
由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6 2sin30°.
因此a b=2（6 2）·[sinA sin（150°-A）]=（8 43）·cos（A-75°）≤8 43.
∴a b的最大值为8 43.
四、未挖掘隐含条件致误
例4在△ABC中，若C=3B，求cb的取值范围.
错解：由正弦定理可知
cb=sin3BsinB=sinBcos2B cosBsin2BsinB
=cos2B 2cos2B=4cos2B-1.
由0≤cos2B≤1，得-1≤4cos2B-1≤3，故-1≤cb≤3.
剖析：上述解法中，忽视了B的取值范围及a，b，c均为正的条件而致错.
正解：cb=4cos2B-1.（过程同错解）
又∵A B C=180°，C=2B，
∴0 ∴1<4cos2B-1<3，故1 评注：在解决解三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误.同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，否则极容易产生错解.
五、用错逻辑联结词致误
例5在△ABC中，acosA=bcosB，判断△ABC的形状.
错解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，
由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，
∴sin2A=sin2B.∴2A=2B且2A 2B=180°.
∴A=B且A B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.
剖析：对三角公式不熟，不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义，导致结论错误.
正解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，
由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，
∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A 2B=180°.
∴A=B或A B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
六、解题不完整致误
例6若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.
错解：不妨设0 cosθ=（a）2 （b）2-（c）22ab=a b-c2ab.
由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b>c，
即cosθ>0.∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.
剖析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件.
正解：由错解可得cosθ>0.
又∵a b-c=（a b-c）（a b c）a b c
=（a b）2-ca b c=a b-ca b c 2aba b c>0.
一、审题不细致误
例1在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2
则cosA=b2 c2-a22bc>0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数，
且cos90°=0，∴A<90°.又∵A为△ABC的内角，∴0°
正解：由上面的解法，可得A<90°.又∵a为最大边，∴A>60°.
因此得A的取值范围是（60°，90°）.
二、方法不当致误
例2在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=3，求a b csinA sinB sinC的值.
错解：∵A=60°，b=1，S△ABC=3，
又S△ABC=12bcsinA，
∴3=12csin60°，解得c=4.
由余弦定理，得a=b2 c2-2bccosA
=1 16-8cos60°=13.
又由正弦定理，得sinC=639，sinB=3239.
∴a b csinA sinB sinC=13 1 432 3239 639.
辨析：如此复杂的算式，计算困难.其原因是公式不熟、方法不当造成的.
正解：由已知可得c=4，a=13.
由正弦定理，得2R=asinA=13sin60°=2393.
∴a b csinA sinB sinC=2R=2393.
三、忽视制约条件致误
例3在△ABC中，c=6 2，C=30°，求a b的最大值.
错解：∵C=30°，∴A B=150°，B=150°-A.
由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6 2sin30°，
∴a=2（6 2）sinA，
B=2（6 2）sin（150°-A）.
又∵sinA≤1，sin（150°-A）≤1，
∴a b≤2（6 2） 2（6 2）=4（6 2）.故a b的最大值为4（6 2）.
剖析：错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里A与150°-A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin（150°-A）不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的.
正解：∵C=30°，∴A B=150°，B=150°-A.
由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6 2sin30°.
因此a b=2（6 2）·[sinA sin（150°-A）]=（8 43）·cos（A-75°）≤8 43.
∴a b的最大值为8 43.
四、未挖掘隐含条件致误
例4在△ABC中，若C=3B，求cb的取值范围.
错解：由正弦定理可知
cb=sin3BsinB=sinBcos2B cosBsin2BsinB
=cos2B 2cos2B=4cos2B-1.
由0≤cos2B≤1，得-1≤4cos2B-1≤3，故-1≤cb≤3.
剖析：上述解法中，忽视了B的取值范围及a，b，c均为正的条件而致错.
正解：cb=4cos2B-1.（过程同错解）
又∵A B C=180°，C=2B，
∴0
五、用错逻辑联结词致误
例5在△ABC中，acosA=bcosB，判断△ABC的形状.
错解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，
由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，
∴sin2A=sin2B.∴2A=2B且2A 2B=180°.
∴A=B且A B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.
剖析：对三角公式不熟，不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义，导致结论错误.
正解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，
由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，
∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A 2B=180°.
∴A=B或A B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
六、解题不完整致误
例6若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.
错解：不妨设0
由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b>c，
即cosθ>0.∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.
剖析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件.
正解：由错解可得cosθ>0.
又∵a b-c=（a b-c）（a b c）a b c
=（a b）2-ca b c=a b-ca b c 2aba b c>0.