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2007年，Dougherty等人得到了几个有趣的结论：环Zp＇[X]／〈X^N-1〉上的任意理想同构于环GR（p^e，m）[u]／〈u^pk-1〉的直和，其中k是使得p^k整除N的最大整数．并且给出了GR（p^e，m）[u]／〈u^pk-1〉上任意理想的表达式．但这样的表达并不唯一，于是Kiah等人于2008年将这个结果进行了改进，得到了GR（p^e，m）[u]／〈u^pk-1〉上理想的唯一表达，并对GR（p^2，m）[u]／〈^pk-1〉上的理想进行了分类，继而得到这样循环码的对偶码和自对偶码．作者在