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摘 要：数学模型思想，就是将现实生活与学习中遇到的问题，从数学的角度去思考，通过建立具体模型的方法来解决问题。将数学模型思想应用到小学数学教学中，对于培养小学生的抽象思维能力与逻辑思维能力将起到极大的帮助。本文以三年级上册第八单元“分数的初步认识”的概念教学为例，谈谈在小学数学概念教学中培养模型思想的一般策略。
关键词：概念教学；模型思想；建模策略
数学模型思想，就是将现实生活与学习中遇到的问题，从数学的角度去思考，通过建立具体模型的方法来解决问题。将数学模型思想应用到小学数学教学中，对于培养小学生抽象思维能力与逻辑思维能力将起到极大的帮助。
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映，是思维的一种基本形式。数学概念是客观事物的数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映，任何一个数学概念都是对客观现实中某一类对象的本质属性进行抽象概括的结果，因而它具有抽象性，没有实际的、看得见的物质存在。数学概念是学习其他数学知识的基础，是进行计算、判断、推理的依据。概念教学有助于培养学生的逻辑思维能力，发展学生的智力。下面我以三年级上册第八单元“分数的初步认识”的概念教学为例，谈谈在小学数学概念教学中培养模型思想的一般策略。
一、小学数学概念教学中培养数学模型思想的一般过程
（一）呈现问题，建立表象
课始，出现两个小朋友分东西的情景。“把4块糖、2个苹果和1块月饼平均分给两个小朋友，每人分到多少？”当学生说到“把1个月饼平均分给2个小朋友，每人分到一半”时，老师适时呈现问题：“每个小朋友分到月饼的一半，在数学上应该用一个什么样的数表示呢？”通过部分学生原有的认识基础和老师讲述的概念原型（用 表示），初步建立起学生对“二分之一”的数学表象。
数学表象常表现为客观事物的原型，具有一定的鲜明性和具体性；同时又接近于概念，具有一定的抽象性。心理学研究认为：表象是从具体感知到抽象思维的过渡与桥梁。没有这个过渡与桥梁，就不可能有抽象思维和理性认识。
（二）概括定义，建立模型
1. 初步感知 的特征。
（1）实物图片演示：把一个月饼平均分成两份，每份是这个月饼的二分之一。
（2）学生自选正方形、长方形或三角形，折一折，再给它的 涂上颜色。
（3）同桌讨论交流：同学们选择的图形不同，折的方式不同，为什么涂色部分都可以用 表示呢？
（4）初步建立 的数学模型：只要把图形平均分成两份，每份都是这个图形的二分之一。
2. 辨析正误，完善定义。
（1）出示第一个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（因为把这个图形平均分成了两份，涂色部分是其中的一份，就是这个图形的二分之一）
（2）出示第二个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（因为这个图形没有平均分，所以其中的一份不是这个图形的二分之一）
（3）出示第三个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（把一条线段平均分成两份，其中的一份是这条线段的二分之一）
（4）出示第四个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（把一个图形平均分成了四份，每份不是它的二分之一，应该是它的四分之一）
（5）建立 的数学模型：只要把一个物体或一个图形平均分成两份，其中的一份就是这个物体或图形的二分之一。
学生充分感知概念表象，再通过对大量直观表象进行分析、比较、综合、抽象、概括，使学生对数学模型有本质的认识，从而使数学原型升华为数学模型，即将感性认识上升为理性认识。在此环节中，利用反例及线段的图形变式等方式，凸现数学概念的本质属性，帮助学生建立正确的数学模型。
3. 分类对比，完善模型。
从上面判断题第四个图形得到：把一个圆形平均分成4份，每份是这个圆形的四分之一。老师准备了下面这些图形，请同学们按要求分一分类。
通过分类得到下面的结果：
（1）为什么这样分？（找到同一类分数的本质属性）
（2）这些分数什么地方是相同的，还有什么地方不同？（得出几分之一的数学模型：这些图形，无论平均分成几份，涂色的部分都是其中的一份，都可以用几分之一表示）
数学中的分类思想就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成不同的种类。学生在分类过程中需要对事物进行分析、比较，并抽象概括出事物的一般特点和本质属性，为明晰概念的外延与内涵，深入理解和建立数学模型奠定基础。
（三）灵活运用，深化理解
能用建立的数学模型解决实际问题，并能在解决问题中用语言表述思维过程，这也是强化认知的必要途径。
1. 练习：用分数表示下面各图形中涂色的部分。
2. 画图：□是一个图形的 ，这个图形可能是什么形状？
此题目给出一个图形的 的形状，让学生在想象、建构原图形的过程中，加深对分数含义的理解，同时为理解多个物体作为一个整体时分数的含义作准备。
二、小学数学概念教学中培养模型思想的一般策略
小学数学概念表现形式有很多，有些用语言描述说明概念，有些用图表揭示概念的本质，有些用定义方式概括概念的本质属性……无论是哪种方式，我们都追求在概念教学中培养模型思想的有效策略。我们的策略主要有以下几个。
1. 创设情境，激发学生的探究欲望。
兴趣是最好的老师，良好的情境创设，可以激发学生积极的情感反应，主动参与建构知识的全过程。
2. 精选原型，丰富模型的表征系统。
一个生活中的数学问题即一个数学原模，將生活情境中的一个问题数学化的过程就是数学建模过程。在这个过程中，我们需要给学生提供正向的、丰富的感性素材，为学生建立概念表象提供帮助；在充分建立表象的基础上，通过观察、操作、用语言描述等学习方式对概念进行表征，从而揭示概念的本质属性，将数学原模提升为数学模型。
3. 关注抽象，发展学生的数学思维能力。
在概念教学活动中，我们通常采用观察、分类、比较、归纳、概括等数学方法，使学生通过一系列的数学思维活动，将具体的生活情景中的数学原型，抽象为数学模型，即将概念从感性认识上升为理性认识，从而培养学生良好的观察能力、分析问题能力与概括表达能力，进而发展学生的数学思维能力。
4. 重视检验，培养学生辨析、修正的思想。
概念初步形成后，利用判断题，对所学概念进行及时巩固。正例可以加深学生对概念的正向认识；反例能对学生的智力活动起到定向纠错的作用，使他们提炼、升华对概念的理解。利用所学概念能检验题目的正误、丰富概念的外延、明确概念的内涵、加深概念本质属性的理解，从而培养学生的辨析、修正思想。
5. 强调应用，深化对模型的理解与认知。
教师应引导学生运用概念解决实际问题，将概念模型回归到现实生活的实际问题中，并能解释和灵活运用概念，从而加深对数学模型的理解和认知，提升数学学习能力。
实践表明，在小学数学概念教学中，重视概念的建模过程，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的建模意识及知识的应用意识，从而拓展学生的视野，发展学生的思维。
参考文献：
[1]王子兴.数学方法论[M].长沙：中南大学出版社，2003.
[2]姜启源.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
〔本文是广州市教育科学规划课题“小学生数学模型思想培养策略研究”成果之一（课题编号：1201532696）〕
关键词：概念教学；模型思想；建模策略
数学模型思想，就是将现实生活与学习中遇到的问题，从数学的角度去思考，通过建立具体模型的方法来解决问题。将数学模型思想应用到小学数学教学中，对于培养小学生抽象思维能力与逻辑思维能力将起到极大的帮助。
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映，是思维的一种基本形式。数学概念是客观事物的数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映，任何一个数学概念都是对客观现实中某一类对象的本质属性进行抽象概括的结果，因而它具有抽象性，没有实际的、看得见的物质存在。数学概念是学习其他数学知识的基础，是进行计算、判断、推理的依据。概念教学有助于培养学生的逻辑思维能力，发展学生的智力。下面我以三年级上册第八单元“分数的初步认识”的概念教学为例，谈谈在小学数学概念教学中培养模型思想的一般策略。
一、小学数学概念教学中培养数学模型思想的一般过程
（一）呈现问题，建立表象
课始，出现两个小朋友分东西的情景。“把4块糖、2个苹果和1块月饼平均分给两个小朋友，每人分到多少？”当学生说到“把1个月饼平均分给2个小朋友，每人分到一半”时，老师适时呈现问题：“每个小朋友分到月饼的一半，在数学上应该用一个什么样的数表示呢？”通过部分学生原有的认识基础和老师讲述的概念原型（用 表示），初步建立起学生对“二分之一”的数学表象。
数学表象常表现为客观事物的原型，具有一定的鲜明性和具体性；同时又接近于概念，具有一定的抽象性。心理学研究认为：表象是从具体感知到抽象思维的过渡与桥梁。没有这个过渡与桥梁，就不可能有抽象思维和理性认识。
（二）概括定义，建立模型
1. 初步感知 的特征。
（1）实物图片演示：把一个月饼平均分成两份，每份是这个月饼的二分之一。
（2）学生自选正方形、长方形或三角形，折一折，再给它的 涂上颜色。
（3）同桌讨论交流：同学们选择的图形不同，折的方式不同，为什么涂色部分都可以用 表示呢？
（4）初步建立 的数学模型：只要把图形平均分成两份，每份都是这个图形的二分之一。
2. 辨析正误，完善定义。
（1）出示第一个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（因为把这个图形平均分成了两份，涂色部分是其中的一份，就是这个图形的二分之一）
（2）出示第二个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（因为这个图形没有平均分，所以其中的一份不是这个图形的二分之一）
（3）出示第三个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（把一条线段平均分成两份，其中的一份是这条线段的二分之一）
（4）出示第四个图形：涂色部分是这个图形的二分之一吗？（把一个图形平均分成了四份，每份不是它的二分之一，应该是它的四分之一）
（5）建立 的数学模型：只要把一个物体或一个图形平均分成两份，其中的一份就是这个物体或图形的二分之一。
学生充分感知概念表象，再通过对大量直观表象进行分析、比较、综合、抽象、概括，使学生对数学模型有本质的认识，从而使数学原型升华为数学模型，即将感性认识上升为理性认识。在此环节中，利用反例及线段的图形变式等方式，凸现数学概念的本质属性，帮助学生建立正确的数学模型。
3. 分类对比，完善模型。
从上面判断题第四个图形得到：把一个圆形平均分成4份，每份是这个圆形的四分之一。老师准备了下面这些图形，请同学们按要求分一分类。
通过分类得到下面的结果：
（1）为什么这样分？（找到同一类分数的本质属性）
（2）这些分数什么地方是相同的，还有什么地方不同？（得出几分之一的数学模型：这些图形，无论平均分成几份，涂色的部分都是其中的一份，都可以用几分之一表示）
数学中的分类思想就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成不同的种类。学生在分类过程中需要对事物进行分析、比较，并抽象概括出事物的一般特点和本质属性，为明晰概念的外延与内涵，深入理解和建立数学模型奠定基础。
（三）灵活运用，深化理解
能用建立的数学模型解决实际问题，并能在解决问题中用语言表述思维过程，这也是强化认知的必要途径。
1. 练习：用分数表示下面各图形中涂色的部分。
2. 画图：□是一个图形的 ，这个图形可能是什么形状？
此题目给出一个图形的 的形状，让学生在想象、建构原图形的过程中，加深对分数含义的理解，同时为理解多个物体作为一个整体时分数的含义作准备。
二、小学数学概念教学中培养模型思想的一般策略
小学数学概念表现形式有很多，有些用语言描述说明概念，有些用图表揭示概念的本质，有些用定义方式概括概念的本质属性……无论是哪种方式，我们都追求在概念教学中培养模型思想的有效策略。我们的策略主要有以下几个。
1. 创设情境，激发学生的探究欲望。
兴趣是最好的老师，良好的情境创设，可以激发学生积极的情感反应，主动参与建构知识的全过程。
2. 精选原型，丰富模型的表征系统。
一个生活中的数学问题即一个数学原模，將生活情境中的一个问题数学化的过程就是数学建模过程。在这个过程中，我们需要给学生提供正向的、丰富的感性素材，为学生建立概念表象提供帮助；在充分建立表象的基础上，通过观察、操作、用语言描述等学习方式对概念进行表征，从而揭示概念的本质属性，将数学原模提升为数学模型。
3. 关注抽象，发展学生的数学思维能力。
在概念教学活动中，我们通常采用观察、分类、比较、归纳、概括等数学方法，使学生通过一系列的数学思维活动，将具体的生活情景中的数学原型，抽象为数学模型，即将概念从感性认识上升为理性认识，从而培养学生良好的观察能力、分析问题能力与概括表达能力，进而发展学生的数学思维能力。
4. 重视检验，培养学生辨析、修正的思想。
概念初步形成后，利用判断题，对所学概念进行及时巩固。正例可以加深学生对概念的正向认识；反例能对学生的智力活动起到定向纠错的作用，使他们提炼、升华对概念的理解。利用所学概念能检验题目的正误、丰富概念的外延、明确概念的内涵、加深概念本质属性的理解，从而培养学生的辨析、修正思想。
5. 强调应用，深化对模型的理解与认知。
教师应引导学生运用概念解决实际问题，将概念模型回归到现实生活的实际问题中，并能解释和灵活运用概念，从而加深对数学模型的理解和认知，提升数学学习能力。
实践表明，在小学数学概念教学中，重视概念的建模过程，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的建模意识及知识的应用意识，从而拓展学生的视野，发展学生的思维。
参考文献：
[1]王子兴.数学方法论[M].长沙：中南大学出版社，2003.
[2]姜启源.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
〔本文是广州市教育科学规划课题“小学生数学模型思想培养策略研究”成果之一（课题编号：1201532696）〕