摘要： 求二面角是空间几何中的一类重要问题，也是高考命题的热点，向量——解决几何问题的利器，把不少复杂的几何问题转变为纯代数运算，实现了“数”与“形”的有机统一。用向量法求角避免了因添加辅助线而造成的视角干扰和复杂的逻辑推理，且向量法解题对开阔学生解题思路，激发解题兴趣，培养创新意识，大有裨益。
　　关键词： 空间几何 向量法 求二面角
　　
　　一、 向量法求二面角的理论依据
　　
　　定义1：如图1，图2，设m，n分别为平面α和β的法向量，则m和n的夹角θ与二面角α-l-β的平面角相等或互补。
　　
　　定义2：设空间中两个非零向量为ａ{x ，y ，z }，ｂ{x ，y ，z }，那么它们的夹角余弦是cosθ= = 。
　　定理1：空间中任一平面的方程是三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，反之三元一次方程Ax+By+Cz+D=0必表示平面。
　　定理2：在平面方程Ax+By+Cz+D=0中，可取平面的一个非零法向量n={A，B，C}。
　　
　　二、用向量法求二面角应用举例
　　
　　例1.如图3，正方体ABCD—A B C D 中，求二面角B-A C-A。
　　分析：如图3，二面角的一个半平面ACA 的法向量为 ，另一个半平面BCA 的法向量为 ，则法向量 ， 所成角大小即为二面角B-A C-A的大小或其补角。
　　解：建立如图所示空间坐标系，设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），B （1，1，1），二面角的一个半平面ACA 的法向量为 =（1，1，0），另一个半平面BCA 的法向量为 =（0，-1，-1），得cos＜ ， ＞= =- ，由图知，法向量 ， 所成二面角为二面角B-A C-A的补角，即二面角B-A C-A的大小为 。
　　
　　例2. 如图4，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC= ，求二面角A-PB-C的大小。
　　分析：将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角求解。
　　解：作CD⊥AB于D，作AE⊥PC于E，易证：CD⊥平面APB，AE⊥平面PBC，所以， ， 分别是平面APB和平面PBC的一个法向量，建立如图所示空间坐标系，则B（0，，0），A（1，0，0），E（ ，0， ），C（0，0，0）， = = ，即D分 的比是 ，可以求出D点的坐标是（ ， ，0）， =（ ，0，- ）， =（ ， ，0），| |= ，| |= ，所以，cos＜ ， ＞= = = ，故二面角的大小为arccos 。
　　例3. 如图5，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，求面APB与面CPB所成的二面角。
　　分析：先证 ⊥ ， ⊥ ，从而 ， 的夹角等于所求二面角的平面角。
　　
　　解： 建立如图5所示直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA，则P(0，0， )，B(0， ，0)，PB中点G的坐标为(0， ， )，连接AG，又知A（1， ，0），C（-2， ，0），因此得 =（1，- ， ）， =（0， ，- ）， =（-2，0，0）,于是 • =0， • =0，所以， ⊥ ， ⊥ ， ， 的夹角等于所求二面角的平面角，于是cos＜ ， ＞= =- ，所以，所求二面角的大小为π-arccos 。
　　例4. 如图6，三棱柱OAB-O A B ，平面OBB O ⊥平面OAB，∠O OB =60°，∠AOB=90°且OB=OO =2，OA= 。求：二面角O -AB-O的大小。
　　分析：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用三角形的知识求解。
　　解：取OB的中点D，连结O D，则O D⊥OB，
　　∵平面OBB O ⊥平面OAB
　　∴O D⊥平面OAB
　　过点D作AB的垂线，垂足为E，连结O E，则O E⊥AB，
　　∴∠DEO 为二面角O -AB-O的平面角，
　　由题设得O D= ，sin∠OAB= = ，
　　∴DE=DB•sin∠OBA= ，
　　∵在Rt△O DE中，tan∠DEO = = ，
　　∴∠DEO =arctan ，
　　即二面角O -AB-O的大小为arctan 。
　　小结
　　用此法计算二面角不需要作出二面角的平面角，从而避免了空间图形的视角干扰，使较难的几何问题巧妙得解（把几何问题转变成了纯代数计算），思路明确，学生容易接受。
　　
　　参考文献：
　　［１］空间解析几何.北京师范大学出版社.
　　［２］解析几何.高等教育出版社.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”