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一、实践背景
新授课和复习课，作为初中数学的常态化教学课型，如何高效地实现其教学效益，是每一位初中数学从教者都必须直面的问题。之所以如此强调，是因为在现实教学中，低效甚至无效的状况较为普遍地存在着：有的新授课如“蜻蜓点水”——新授知识点学生还没领会理解，就呈现大量习题，进行“大练兵”“大检阅”，流程式地突击内容，深层次学习远远不够；有的新授课如“太婆唠叨”——一句话就能说清楚、点到位的问题，却费了许多口舌也说不清，显得杂乱无序；有的复习课如“热烫剩饭”——平淡无味，缺乏吸引力，不能达到“辞旧迎新”；有的复习课如“依单上菜”——按照例1、例2、例3的顺序逐题讲解，缺乏衔接连贯，更缺乏韵味……
为了能够有效克服上述课堂教学思路不够清晰、课堂预设与生成不成比例、课堂节奏不能张弛有度、教学效果不甚理想以及教师苦于教不得法等不良状况，笔者通过多年来对初中数学课堂教学方法及模式的实践探索，概括、总结出了“点线面教学法”。该教学法旨在围绕教学内容“主题”，通过设计清晰的教学实施“主线”，重点研究“主问”（即一节课中教师提出的主要问题、核心问题）的突破方法，最终促使学生实现“点线延伸、知识重构”。可以说，“点线面教学法”的最大特点和优势，就是以学科特点和学生的认知特征为依据，以学生已有的基础知识和基本经验为起点，开展问题链式的线性教学。“点线面教学法”特别关注促进教师、教材、学生实现“三点共线”，特别关注促成知识、过程、能力实现“三线共点”，所以，在教师的“教”和学生的“学”两方面，都特别注重和有效实现了学生的学习能力和数学素养呈平行递增态势。
二、内容要义
“点线面教学法”是指一个教学过程中的三个教学环节，它是在给学生传授知识时，首先传授知识点，然后将各个知识点联系起来，形成知识线，最后把有关知识渗透，融会贯通，形成知识面。
“点”，即教学中的数学知识点，亦指数学概念、规律、性质、定理等。“点”是引出问题的切入点，是展开问题的原点，所以也是教学的基础环节。
“线”，即将新旧知识点前后联系，进一步将知识点条理化和系统化。在具体教学操作中，它就是通过“点”的变化与延伸，将知识点串成线，构造成线状、线性的问题链，让学生自主发现问题、提出问题。其中知识点的变化和发展为教学中的明线，数学思想方法的提炼为暗线，所以这里的“线”既包括“知识线”“方法线”，更包含“思想线”。
“面”，即将所学知识进行纵向联系和横向联系，形成知识网。在具体教学操作中，就是将分散在各章节、各板块的知识“点”重新整合，形成学生对数学知识、数学方法和数学思想的“整体印象”。所以，这里的“面”不仅包括知识体系、数学方法系列，还包括数学思想系统、能力发展架构等。由此可以看出，“面”既是教学的高难度环节，也是教学的最高目标和最终目标。
在笔者的“点线面教学法”中，将“点”串成“线”，最终达成和实现“面”，“点线式问题”设计是关键。这里的问题设计包含两层意思：一是问题的纵向剖析与设计。对于一个问题或一个研究对象的本身，要能向纵深方面挖掘，将其加以分解和细化，然后再研究其各部分的功能、作用及相互关系。二是问题的横向关联与变式。将已经解决的或熟悉的问题进行分类、串联和同类变式，用以提高和升华学生的分析问题、解决问题的能力。
三、教学原则
1.主动学习原则。
学习的最好途径是亲自去发现。“点线面教学法”就是教师通过有序地提供问题情境，让学生提出问题和自主解决问题，方法让学生总结，结论让学生提炼，教师在其中只起到“助产”的作用。
2.循序渐进原则。
波利亚将学习过程区分为三个阶段：（1）探索阶段；（2）形式化阶段；（3）同化阶段。“点线面教学法”就是通过创设相同或相似的数学情境，让学生主动提出问题、主动解决问题，总结解题方法，转化为学生自身的体验及收获。
3.知识重构原则。
从学生的认知角度分析，数学学习必须经历一个建构、解构，再重新建构的过程。在螺旋上升中，学生的认知结构会逐步趋于完善，其思维也会由浅表向纵深发展。“点线面教学法”有助于深化“重构”环节，促使认知活动进行承接、转化和合成，引导思维走向深入。
四、课堂实践
在课堂实践中，“点线面教学法”倡导“知识系统化、系统能力化”和“知识问题化、问题线性化”，通过“教师围绕知识点设计问题，学生围绕知识点解决问题、发现问题”，着力实现“教师沿线性螺旋上升式展开教学，学生沿螺旋上升式形成知识体系，培养数学能力”。为此，在实施“点线面教学法”的过程中，笔者是严格按照一条主线（即新授课中知识生成——知识提炼——知识强化——知识回归；或复习课中知识再现——知识综合拓展——知识方法思维提炼——知识辐射延伸）来进行教学设计的。
1.新授课中的“点线面教学”。
新授课的主要任务，是学生能够发现问题、提取知识、学习新知，获取解决问题的数学方法、数学思想，并能应用所学新知解决实际问题。一节新授课要抓住核心知识点，设计出一条完整的新知发现与探究、新知提炼与论证、新知应用与提升、新知延伸与拓展的问题线，通过这条“线”，不断让学生将核心知识点内“熔”化、条理化和体系化。
具体教学设计包括：①新知的发现和提出——有助于引起学生关注，养成思考和提出问题的习惯；②新知的探究和提炼——有助于培养学生的探究精神，培养学生多角度分析问题的能力和归纳能力，让学生关注数学知识，发现数学规律，具备良好数学素养；③新知的论证与再现——有助于形成学生良好的数学思维；④新知的应用与提升——有助于知识内化的转化，凸显数学特色，突出数学思想；⑤新知的延伸与拓展——有助于体现知识升华，展示数学魅力，实现数学发展。
2.复习课中的“点线面教学”。
复习课的主要学习任务是使学生将已学知识形成知识网络，提高基本技能，增强解决数学问题的能力。复习课的教学设计，是把平时相对独立的若干个相对较小的知识板块重新整合，加以再现、整理、归纳，以某条线为主线，跨章节、跨年级，构建一个与之相对应的知识体系，让学生的认知结构得到拓展、升华，最终全面提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
具体教学设计包括：①基础知识点训练——立足“四基”，引导学生回忆所学知识；②知识类比训练——整理同类型知识，引发学生共识，找到解决问题的方法；③知识拓展训练——深化知识应用，解决疑难问题，提升学生解决问题的能力；④数学方法、数学思想感悟——学中找方法，学中找思路，从特殊到一般，学习一道题解决一类题，从有限向无限发展思维；⑤知识多项应用——从点向面拓展，凸显数学本质，展示数学魅力。
五、实践反思
笔者探索和实践“点线面教学法”的初衷，就是通过促成学生没有“陡坡”和“峭壁”感的学习，注重其体验和参与度，引导他们走向自主探究式学习。那么，如何实现这一切呢？
1.提供情境。
教师基于教学内容、数学思想方法、学情等设计数学情境，这个情境是有弹性、可生长、富于不断变化的，可以是由点少到点多、由单一到综合、由简单到复杂、由一般到特殊、由集中到发散等多种模式。
2.提出问题。
教师要让学生感受到主动提问的必要性和重要性，鼓励学生敢于提出不同意见。
3.提取方法。
教师从知识的重构、问题的拓展中，总结出线性问题的通解通法，实现探究一个知识，掌握一种办法，解决一类问题，即解一题，学一法，通一类，悟一片。
4.提炼思想。
数学思想的教学是数学教学的核心，是数学学习的价值所在。学生要理解学习过程中涉及的数学思想，掌握思考问题、解决问题进而发现问题的基本途径。教师设计问题时，要注意由浅入深，注意数学知识的纵横联系，做到深入浅出，使学生能在分析问题和解决问题的过程中，抽象出数学模型并加以归纳概括，提炼数学思想，揭示数学本真。
5.提升能力。
教师要让学生通过自主探究、合作学习，形成良好的问题意识和思考习惯，促进学生各方面能力的提升。
新授课和复习课，作为初中数学的常态化教学课型，如何高效地实现其教学效益，是每一位初中数学从教者都必须直面的问题。之所以如此强调，是因为在现实教学中，低效甚至无效的状况较为普遍地存在着：有的新授课如“蜻蜓点水”——新授知识点学生还没领会理解，就呈现大量习题，进行“大练兵”“大检阅”，流程式地突击内容，深层次学习远远不够；有的新授课如“太婆唠叨”——一句话就能说清楚、点到位的问题，却费了许多口舌也说不清，显得杂乱无序；有的复习课如“热烫剩饭”——平淡无味，缺乏吸引力，不能达到“辞旧迎新”；有的复习课如“依单上菜”——按照例1、例2、例3的顺序逐题讲解，缺乏衔接连贯，更缺乏韵味……
为了能够有效克服上述课堂教学思路不够清晰、课堂预设与生成不成比例、课堂节奏不能张弛有度、教学效果不甚理想以及教师苦于教不得法等不良状况，笔者通过多年来对初中数学课堂教学方法及模式的实践探索，概括、总结出了“点线面教学法”。该教学法旨在围绕教学内容“主题”，通过设计清晰的教学实施“主线”，重点研究“主问”（即一节课中教师提出的主要问题、核心问题）的突破方法，最终促使学生实现“点线延伸、知识重构”。可以说，“点线面教学法”的最大特点和优势，就是以学科特点和学生的认知特征为依据，以学生已有的基础知识和基本经验为起点，开展问题链式的线性教学。“点线面教学法”特别关注促进教师、教材、学生实现“三点共线”，特别关注促成知识、过程、能力实现“三线共点”，所以，在教师的“教”和学生的“学”两方面，都特别注重和有效实现了学生的学习能力和数学素养呈平行递增态势。
二、内容要义
“点线面教学法”是指一个教学过程中的三个教学环节，它是在给学生传授知识时，首先传授知识点，然后将各个知识点联系起来，形成知识线，最后把有关知识渗透，融会贯通，形成知识面。
“点”，即教学中的数学知识点，亦指数学概念、规律、性质、定理等。“点”是引出问题的切入点，是展开问题的原点，所以也是教学的基础环节。
“线”，即将新旧知识点前后联系，进一步将知识点条理化和系统化。在具体教学操作中，它就是通过“点”的变化与延伸，将知识点串成线，构造成线状、线性的问题链，让学生自主发现问题、提出问题。其中知识点的变化和发展为教学中的明线，数学思想方法的提炼为暗线，所以这里的“线”既包括“知识线”“方法线”，更包含“思想线”。
“面”，即将所学知识进行纵向联系和横向联系，形成知识网。在具体教学操作中，就是将分散在各章节、各板块的知识“点”重新整合，形成学生对数学知识、数学方法和数学思想的“整体印象”。所以，这里的“面”不仅包括知识体系、数学方法系列，还包括数学思想系统、能力发展架构等。由此可以看出，“面”既是教学的高难度环节，也是教学的最高目标和最终目标。
在笔者的“点线面教学法”中，将“点”串成“线”，最终达成和实现“面”，“点线式问题”设计是关键。这里的问题设计包含两层意思：一是问题的纵向剖析与设计。对于一个问题或一个研究对象的本身，要能向纵深方面挖掘，将其加以分解和细化，然后再研究其各部分的功能、作用及相互关系。二是问题的横向关联与变式。将已经解决的或熟悉的问题进行分类、串联和同类变式，用以提高和升华学生的分析问题、解决问题的能力。
三、教学原则
1.主动学习原则。
学习的最好途径是亲自去发现。“点线面教学法”就是教师通过有序地提供问题情境，让学生提出问题和自主解决问题，方法让学生总结，结论让学生提炼，教师在其中只起到“助产”的作用。
2.循序渐进原则。
波利亚将学习过程区分为三个阶段：（1）探索阶段；（2）形式化阶段；（3）同化阶段。“点线面教学法”就是通过创设相同或相似的数学情境，让学生主动提出问题、主动解决问题，总结解题方法，转化为学生自身的体验及收获。
3.知识重构原则。
从学生的认知角度分析，数学学习必须经历一个建构、解构，再重新建构的过程。在螺旋上升中，学生的认知结构会逐步趋于完善，其思维也会由浅表向纵深发展。“点线面教学法”有助于深化“重构”环节，促使认知活动进行承接、转化和合成，引导思维走向深入。
四、课堂实践
在课堂实践中，“点线面教学法”倡导“知识系统化、系统能力化”和“知识问题化、问题线性化”，通过“教师围绕知识点设计问题，学生围绕知识点解决问题、发现问题”，着力实现“教师沿线性螺旋上升式展开教学，学生沿螺旋上升式形成知识体系，培养数学能力”。为此，在实施“点线面教学法”的过程中，笔者是严格按照一条主线（即新授课中知识生成——知识提炼——知识强化——知识回归；或复习课中知识再现——知识综合拓展——知识方法思维提炼——知识辐射延伸）来进行教学设计的。
1.新授课中的“点线面教学”。
新授课的主要任务，是学生能够发现问题、提取知识、学习新知，获取解决问题的数学方法、数学思想，并能应用所学新知解决实际问题。一节新授课要抓住核心知识点，设计出一条完整的新知发现与探究、新知提炼与论证、新知应用与提升、新知延伸与拓展的问题线，通过这条“线”，不断让学生将核心知识点内“熔”化、条理化和体系化。
具体教学设计包括：①新知的发现和提出——有助于引起学生关注，养成思考和提出问题的习惯；②新知的探究和提炼——有助于培养学生的探究精神，培养学生多角度分析问题的能力和归纳能力，让学生关注数学知识，发现数学规律，具备良好数学素养；③新知的论证与再现——有助于形成学生良好的数学思维；④新知的应用与提升——有助于知识内化的转化，凸显数学特色，突出数学思想；⑤新知的延伸与拓展——有助于体现知识升华，展示数学魅力，实现数学发展。
2.复习课中的“点线面教学”。
复习课的主要学习任务是使学生将已学知识形成知识网络，提高基本技能，增强解决数学问题的能力。复习课的教学设计，是把平时相对独立的若干个相对较小的知识板块重新整合，加以再现、整理、归纳，以某条线为主线，跨章节、跨年级，构建一个与之相对应的知识体系，让学生的认知结构得到拓展、升华，最终全面提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
具体教学设计包括：①基础知识点训练——立足“四基”，引导学生回忆所学知识；②知识类比训练——整理同类型知识，引发学生共识，找到解决问题的方法；③知识拓展训练——深化知识应用，解决疑难问题，提升学生解决问题的能力；④数学方法、数学思想感悟——学中找方法，学中找思路，从特殊到一般，学习一道题解决一类题，从有限向无限发展思维；⑤知识多项应用——从点向面拓展，凸显数学本质，展示数学魅力。
五、实践反思
笔者探索和实践“点线面教学法”的初衷，就是通过促成学生没有“陡坡”和“峭壁”感的学习，注重其体验和参与度，引导他们走向自主探究式学习。那么，如何实现这一切呢？
1.提供情境。
教师基于教学内容、数学思想方法、学情等设计数学情境，这个情境是有弹性、可生长、富于不断变化的，可以是由点少到点多、由单一到综合、由简单到复杂、由一般到特殊、由集中到发散等多种模式。
2.提出问题。
教师要让学生感受到主动提问的必要性和重要性，鼓励学生敢于提出不同意见。
3.提取方法。
教师从知识的重构、问题的拓展中，总结出线性问题的通解通法，实现探究一个知识，掌握一种办法，解决一类问题，即解一题，学一法，通一类，悟一片。
4.提炼思想。
数学思想的教学是数学教学的核心，是数学学习的价值所在。学生要理解学习过程中涉及的数学思想，掌握思考问题、解决问题进而发现问题的基本途径。教师设计问题时，要注意由浅入深，注意数学知识的纵横联系，做到深入浅出，使学生能在分析问题和解决问题的过程中，抽象出数学模型并加以归纳概括，提炼数学思想，揭示数学本真。
5.提升能力。
教师要让学生通过自主探究、合作学习，形成良好的问题意识和思考习惯，促进学生各方面能力的提升。