【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)08-0093-02
　　
　　由函数在某区间上的单调性,利用导数求参数的取值范围历来是导数学习的难点,更是高考的考点。笔者根据自己的教学体会,归纳总结出以下几种常用方法,期望对导数教学有所帮助。
　　1 分离参数法
　　一般地,根据函数在某一区间上的单调性,可以得到一个区间上的不等式。若能从这个不等式中比较容易的解得参数的话,下一步只需求一个最值就可以了。若参数ag(x),则求出g(x)在区间上的最小值,若参数ag(x)则求出g(x)在区间上的最大值。
　　例1:已知函数f(x)=2ax-1x2在区间[1,3]上是减函数,求a的取值范围。
　　解:第一步:求导数 f′(x)=2a+2x3
　　第二步:写不等式因为f(x)在区间[1,3]上是减函数,
　　所以2a+2x30在区间[1,3]上恒成立
　　第三步:分离参数 a-1x3
　　第四步:求-1x3在区间[1,3]上的最小值,得a的取值范围
　　 因为-1x3在区间[1,3]上的最小值是-1,所以a-1
　　例2:已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间(-23,-13)内是增函数,求a的取值范围.
　　解:第一步:求导数 f′(x)=3x2+2ax+1
　　第二步:写不等式 因为f(x)在区间(-23,-13)内是增函数,
　　所以3x2+2ax+10在区间(-23,-13)内恒成立
　　第三步:分离参数2ax-3x2-1 因为x<0 所以2a-3x-1x
　　第四步:求最值得a的取值范围
　　设g(x)=-3x-1x 易知当x=-33时,g(x)有最小值23.所以a3
　　本题虽然给出的是开区间,解题时仍可参照闭区间的解法,并不影响结果。
　　2 不等式组法
　　若从单调性得出的不等式中很难分离出参数,在下列几种情况中,可用解不等式组的方法求出参数的范围。
　　(1)若f(x)是一次函数,由f(x)在区间[m,n]上大于(小于)等于0,可得不等式组f(m)0f(n)0(f(m)0f(n)0)
　　(2)若f(x)是二次函数,其二次项系数为正(负),由f(x)在区间[m,n]上小于(大于)等于0,可得不等式组
　　f(m)0f(n)0(f(m)0f(n)0)
　　例3:已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,求实数k的取值范围。
　　解:第一步:求导数f′(x)=3kx2+6(k-1)x
　　第二步:写不等式 因为f(x)在区间(0,4)内是减函数,
　　 所以3kx2+6(k-1)x0在区间(0,4)内恒成立,又因为x>0所以kx+2(k-1)0
　　第三步:写不等式组 设g(x)=kx+2(k-1)
　　则g(0)0g(4)0,即2(k-1)04k+2(k-1)0
　　第四步:解不等式组,求k的范围 可以求得k13
　　例4:已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+6x+1(m<0)在区间(-1,1)上是增函数,求实数m的取值范围。
　　解:第一步:求导数 f′(x)=3mx2-6(m+1)x+6
　　第二步:写不等式 因为f(x)在区间(-1,1)上是增函数,
　　所以3mx2-6(m+1)x+60在区间(-1,1)内恒成立,
　　又因为m<0,所以x2-2(1+1m)x+2m0
　　第三步:写不等式组 设g(x)=x2-2(1+1mx+3m
　　g(-1)0g(1)0,即3+4m0-10
　　 第四步:解不等式组,求出参数的范围
　　不等式组的解为m-43,又因为m<0,所以-43m<0
　　3 分类讨论法
　　若前面两种方法都不能或不易求解的话,则可以用分类讨论的方法。
　　例5:已知函数f(x)=12x2-ax+4a+54ln x是定义域上的增函数,求实数a的取值范围。
　　解:第一步:求导数 f′(x)=x-a+4a+54x
　　第二步:写不等式 因为f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
　　所以x-a+4a+54x0在区间(0,+∞)上恒成立,
　　又因为x>0,所以x2-ax+4a+540
　　第三步:分类讨论 设g(x)=x2-ax+4a+54
　　因为g(x)的图像的对称轴为x=a2
　　1)若a2<0,即a<0时,g(x)的最小值为g(0)=4a+54
　　所以4a+540即a-54,从而得出-54a<0
　　2)若a20,即a0时,g(x)的最小值为g(a2)=-a24+4a+54
　　所以-a24+4a+540即a2-4a0,所以-1a5从而得出0a5
　　 综上所述-54a5
　　利用上面三种方法,基本可以解决教材参考书中的常见的由单调性求参数范围的问题,当然,具体解题时还应灵活运用,融会贯通。