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摘要：数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。本文从数学知识的学习到数学应用的数学素养发展过程出发，以2020年高考数学全国Ⅱ卷为例，分析试卷对数学学科核心素养的考查情况，并且针对考查情况提出教学建议。
关键词：数学核心素养;2020年高考;试题分析;教学建议
《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）提出要求：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。并且《课标》清晰明确地指出数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养相互独立又相互交融，构成一個有机的整体[1]。宁锐构建的数学学科核心素养的结构将6大核心素养分别归为了3个功能性的组：数学思维素养（包含直观想象、数学抽象）、数学方法素养（包含数学运算、逻辑推理）、数学工具素养（包含数据分析、数学建模）[2]。2020年高考数学全国Ⅱ卷（理科）中处处都考查了学生的数学核心素养，因此本文将根据数学核心素养的功能性结构分层地分析2020年数学全国Ⅱ卷所考查的核心素养，并提出教学建议。
1高考题中的数学核心素养的分析
1.1对数学思维素养的考查
数学思维素养是按照数学方式来认识事物和理解数学的思维品质，体现了“会用数学的眼光来观察世界”的思维性目标[2]，包含数学抽象、直观想象素养。
1.1.1对数学抽象素养的考查
数学抽象素养是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养[1]。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，抽象是数学的特性之一，数学的推理与应用都离不开抽象。试卷中有多题考察了数学抽象素养，主要有：第4、6、9、11、14、16、18、21、23题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第9题为例解析试题并分析数学抽象素养在高考题中的渗透。
例1 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种。
本题以“垃圾分类宣传”为背景，巧妙地将计数原理的综合应用以及分步乘法融入其中。题目插入了积极向上的实践劳动实例，落实了立德树人的要求，帮助学生形成正确的人生观、价值观和世界观。题目既到达了对垃圾分类的宣传效果，又合理地考查了考生的数学抽象、数据分析和数学运算能力。
1.1.2对数学直观素养的考查
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，发现数学结论、理解和解决数学问题的重要素养[1]。通过直观想象，学生利用图形进行问题的描述和分析，并且通过与外界环境的接触直接感知，得到对二维、三维空间图形及其性质的理解。试卷中有多题考察了数学直观素养，主要有：第2、5、7、8、10、15、16、19、20、22题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第16题为例解析试题并分析数学直观素养在高考题中的渗透。
例2 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内;
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面;
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行;
p4：若直线l∩平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l。
则下述命题中所有真命题的序号是
本题是一道有难度的填空题，题目涉及空间中线面关系、复合命题判断的考试内容，主要是考查了学生对线线平行、面面垂直、线面角的判断。该题中考查了直观想象、逻辑推理、数学抽象，而解题判断过程中的关键是清楚分辨空间中的线、面、角的相互关系，对平面以及空间的直观想象。利用几何直观和空间想象推导线、面位置，具体体会三线共面、三点共线等的满足条件。
1.2对数学方法素养的考查
数学方法素养是在数学思维素养基础上构建和推演数学，以及运用数学知识来解决问题的素养，体现出“用数学思维来思考世界”的方法性目标[2]，包含了数学推理、数学运算素养。
1.2.1对数学逻辑推理素养的考查
数学具有严谨逻辑性的特点，逻辑推理能力是学生必须具有的基本数学能力之一。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[1]。数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律和形式对数学对象的属性或数学问题进行分析综合、推理证明的能力。试卷中有大量的题都着重考察了数学抽象素养，主要有：第4、5、6、8、9、10、11、12、13、16、17、19、20、21、22、23题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第6题为例解析试题并分析数学逻辑推理素养在高考题中的渗透。
本题考查等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式。题目中全是数学符号，需要学生具有一定的数学分析、猜测、洞察、演绎等能力。在解题过程中首先必须根据已知的数学等式特殊化并推理构造出含通项的递推关系，然后运用等比数列的基本知识对公式进行运算。题目中通过综合分析、演绎推理深刻地对数学逻辑推理进行了考查。
1.2.2对数学运算素养的考查
数学运算是指明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养[1]。数学运算即是能够根据概念、公式、法则和运算律，进行数、式、方程的正确运算和变形;能够根据要求对数据进行估计，并能进行近似的运算。数学运算是解决数学问题的基本手段，是学生学习数学必备的品格和关键能力之一，试卷中（除了第7、16题外）几乎所有题都考察了数学抽象素养。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第1题为例解析试题并分析数学运算素养在高考题中的渗透。
本题是一道简单的集合的并集、补集混合运算的选择题。该题考查的核心素养是数学运算，要求学生能够理解集合的基本概念、掌握集合运算的基本法则，并能够在解题过程中体会数学运算的意义。 1.3对数学工具素养的考查
数学工具素养是运用数学知识和方法向外解决问题的素养，体现了“用数学语言来表达世界”的工具性目标[2]，包含数学建模、数据分析素养。
1.3.1对数学建模素养的考查
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1]。数学建模是很接近生活的数学素养，是学生对数学应用的重要形式。试卷中对数学建模素养的考查的试题有第4、12、18题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第4题为例解析试题并分析数学建模素养在高考题中的渗透。
例5北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块。已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（如图1）
A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块
本题以“北京天坛的圜丘坛”为背景，巧妙地将数列知识融入情景之中，体现了对中国传统建筑的所展示的数学美，让考生们感受数学艺术之美，隐性的对学生进行了人文底蕴的熏陶。题目涉及数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养，而主要考查得是等差数列前n项和有关建模和计算问题。
1.3.2对数据分析素养的考查
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养[1]。数据分析是研究随机现象的重要数学技术，随着大数据时代的到来、“互联网+”的不断发展，数据分析能力也就显得更为重要。试卷中就有第3、14、18题对数据分析素养进行了查考。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第3题为例解析试题并分析数据分析素养在高考题中的渗透。
例6 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.5。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
该题结合时事，以“新冠疫情防控”“志愿者参加配货工作”为背景，巧妙地引导学生要“德智体美劳”全面发展，也展现了数学可以解决生活中的实际问题。题目涉及数学运算、数据分析核心素养，考查了简单的概率与统计知识。本题也是文字较多，考生需将文字快速分析、提炼出所需数据，最终分析解出结果。
2试题考查情况数据汇总及教学建议
2.1数据分析及数学核心素养考查分析
下表是2020年高考数学全国Ⅱ卷（理科）试题对于数学核心素养考查的数据汇总情况表：
根据上表可知：
（1）试卷综合考查了数学核心素养。数学高考试卷中各题往往涉及了多个数学核心素养的考查，体现了数学学科核心素养相互交融、不可分割，是一个有机的整体。这样看来基于数学核心素养的数学高考对于考生的综合能力的测试呈必然的趋势。
（2）试卷考查数学方法素养最多。数学方法素养的考查几乎涵盖了所有数学高考试题，足以证明数学方法的重要性，是解决数学问题所必不可少的素养。
（3）试卷较少考查数学工具素养。对于数学工具素养的考查主要集中在解决实际问题的试题。数学工具素养是针对数学应用的素养，解决问题的素养，虽然数学工具素养考查较少，但是数学工具素养却在解决实际问题、引导学生运用数学知识方面起着至关重要的作用。
（4）试卷考查数学思维素养较多。数学思维素养的查考则主要体现在几何与代数、函数等数学知识当中。
2.2教学建议
（1）将数学核心素养的培养贯穿整个教学活动。
数学核心素养是课堂教学需要落实的重要内容，因此要求教师将数学学科核心素养综合的培养贯穿于整个教学活动，在数学教学过程中重视学生的综合能力训练，促进学生更好地发展数学综合核心素养，获得数学学习能力，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。
（2）在解题教学中提升数学方法素养。
推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”。在实际教学中，教师应注重对学生的解题训练，通过解题，让学生在运算过程中明确运算对象，深入理解、运用运算法则。并且教学中可通过几何与代数解题来训练学生的数学逻辑思维，培养学生数学思维的灵活性和创造性。理性思维是数学素养的灵魂，因此数学育人要用数学的方式，善于使学生学会有逻辑地、创造性地思考。
（3）在活动教学中培养数学工具素养。
在教学过程中可围绕某个数学问题，开展趣味数学、自主探究、小组合作等活动，在教师的帮助下解决问题。在教学中多以现实生活为例，让学生明白数学贴近生活、数学学习的作用，帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法。
（4）在课堂教学中发展数学思维素养。
数学思维素养主要体现在概念、基本定理、几何图形的考查，因此在教学中要善于启发学生，要帮助学生从“事实”到“概念”，以“概念”形成“方法”，注重对基础知识的教授、强化以及图形的观察，促进学生思维能力、空间想象能力的发展，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，去发现、探索、研究有意义的数学问题。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2020.
[2] 寧锐，李昌勇，罗宗绪. 数学学科核心素养的结构及其教学意义[J]. 数学教育学报. 2019， 28（02）： 24-29.
云南师范大学数学学院 云南 昆明 650500
关键词：数学核心素养;2020年高考;试题分析;教学建议
《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）提出要求：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。并且《课标》清晰明确地指出数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养相互独立又相互交融，构成一個有机的整体[1]。宁锐构建的数学学科核心素养的结构将6大核心素养分别归为了3个功能性的组：数学思维素养（包含直观想象、数学抽象）、数学方法素养（包含数学运算、逻辑推理）、数学工具素养（包含数据分析、数学建模）[2]。2020年高考数学全国Ⅱ卷（理科）中处处都考查了学生的数学核心素养，因此本文将根据数学核心素养的功能性结构分层地分析2020年数学全国Ⅱ卷所考查的核心素养，并提出教学建议。
1高考题中的数学核心素养的分析
1.1对数学思维素养的考查
数学思维素养是按照数学方式来认识事物和理解数学的思维品质，体现了“会用数学的眼光来观察世界”的思维性目标[2]，包含数学抽象、直观想象素养。
1.1.1对数学抽象素养的考查
数学抽象素养是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养[1]。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，抽象是数学的特性之一，数学的推理与应用都离不开抽象。试卷中有多题考察了数学抽象素养，主要有：第4、6、9、11、14、16、18、21、23题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第9题为例解析试题并分析数学抽象素养在高考题中的渗透。
例1 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种。
本题以“垃圾分类宣传”为背景，巧妙地将计数原理的综合应用以及分步乘法融入其中。题目插入了积极向上的实践劳动实例，落实了立德树人的要求，帮助学生形成正确的人生观、价值观和世界观。题目既到达了对垃圾分类的宣传效果，又合理地考查了考生的数学抽象、数据分析和数学运算能力。
1.1.2对数学直观素养的考查
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，发现数学结论、理解和解决数学问题的重要素养[1]。通过直观想象，学生利用图形进行问题的描述和分析，并且通过与外界环境的接触直接感知，得到对二维、三维空间图形及其性质的理解。试卷中有多题考察了数学直观素养，主要有：第2、5、7、8、10、15、16、19、20、22题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第16题为例解析试题并分析数学直观素养在高考题中的渗透。
例2 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内;
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面;
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行;
p4：若直线l∩平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l。
则下述命题中所有真命题的序号是
本题是一道有难度的填空题，题目涉及空间中线面关系、复合命题判断的考试内容，主要是考查了学生对线线平行、面面垂直、线面角的判断。该题中考查了直观想象、逻辑推理、数学抽象，而解题判断过程中的关键是清楚分辨空间中的线、面、角的相互关系，对平面以及空间的直观想象。利用几何直观和空间想象推导线、面位置，具体体会三线共面、三点共线等的满足条件。
1.2对数学方法素养的考查
数学方法素养是在数学思维素养基础上构建和推演数学，以及运用数学知识来解决问题的素养，体现出“用数学思维来思考世界”的方法性目标[2]，包含了数学推理、数学运算素养。
1.2.1对数学逻辑推理素养的考查
数学具有严谨逻辑性的特点，逻辑推理能力是学生必须具有的基本数学能力之一。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[1]。数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律和形式对数学对象的属性或数学问题进行分析综合、推理证明的能力。试卷中有大量的题都着重考察了数学抽象素养，主要有：第4、5、6、8、9、10、11、12、13、16、17、19、20、21、22、23题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第6题为例解析试题并分析数学逻辑推理素养在高考题中的渗透。
本题考查等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式。题目中全是数学符号，需要学生具有一定的数学分析、猜测、洞察、演绎等能力。在解题过程中首先必须根据已知的数学等式特殊化并推理构造出含通项的递推关系，然后运用等比数列的基本知识对公式进行运算。题目中通过综合分析、演绎推理深刻地对数学逻辑推理进行了考查。
1.2.2对数学运算素养的考查
数学运算是指明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养[1]。数学运算即是能够根据概念、公式、法则和运算律，进行数、式、方程的正确运算和变形;能够根据要求对数据进行估计，并能进行近似的运算。数学运算是解决数学问题的基本手段，是学生学习数学必备的品格和关键能力之一，试卷中（除了第7、16题外）几乎所有题都考察了数学抽象素养。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第1题为例解析试题并分析数学运算素养在高考题中的渗透。
本题是一道简单的集合的并集、补集混合运算的选择题。该题考查的核心素养是数学运算，要求学生能够理解集合的基本概念、掌握集合运算的基本法则，并能够在解题过程中体会数学运算的意义。 1.3对数学工具素养的考查
数学工具素养是运用数学知识和方法向外解决问题的素养，体现了“用数学语言来表达世界”的工具性目标[2]，包含数学建模、数据分析素养。
1.3.1对数学建模素养的考查
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1]。数学建模是很接近生活的数学素养，是学生对数学应用的重要形式。试卷中对数学建模素养的考查的试题有第4、12、18题。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第4题为例解析试题并分析数学建模素养在高考题中的渗透。
例5北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块。已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（如图1）
A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块
本题以“北京天坛的圜丘坛”为背景，巧妙地将数列知识融入情景之中，体现了对中国传统建筑的所展示的数学美，让考生们感受数学艺术之美，隐性的对学生进行了人文底蕴的熏陶。题目涉及数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养，而主要考查得是等差数列前n项和有关建模和计算问题。
1.3.2对数据分析素养的考查
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养[1]。数据分析是研究随机现象的重要数学技术，随着大数据时代的到来、“互联网+”的不断发展，数据分析能力也就显得更为重要。试卷中就有第3、14、18题对数据分析素养进行了查考。
下面以2020年高考数学全国卷Ⅱ第3题为例解析试题并分析数据分析素养在高考题中的渗透。
例6 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.5。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
该题结合时事，以“新冠疫情防控”“志愿者参加配货工作”为背景，巧妙地引导学生要“德智体美劳”全面发展，也展现了数学可以解决生活中的实际问题。题目涉及数学运算、数据分析核心素养，考查了简单的概率与统计知识。本题也是文字较多，考生需将文字快速分析、提炼出所需数据，最终分析解出结果。
2试题考查情况数据汇总及教学建议
2.1数据分析及数学核心素养考查分析
下表是2020年高考数学全国Ⅱ卷（理科）试题对于数学核心素养考查的数据汇总情况表：
根据上表可知：
（1）试卷综合考查了数学核心素养。数学高考试卷中各题往往涉及了多个数学核心素养的考查，体现了数学学科核心素养相互交融、不可分割，是一个有机的整体。这样看来基于数学核心素养的数学高考对于考生的综合能力的测试呈必然的趋势。
（2）试卷考查数学方法素养最多。数学方法素养的考查几乎涵盖了所有数学高考试题，足以证明数学方法的重要性，是解决数学问题所必不可少的素养。
（3）试卷较少考查数学工具素养。对于数学工具素养的考查主要集中在解决实际问题的试题。数学工具素养是针对数学应用的素养，解决问题的素养，虽然数学工具素养考查较少，但是数学工具素养却在解决实际问题、引导学生运用数学知识方面起着至关重要的作用。
（4）试卷考查数学思维素养较多。数学思维素养的查考则主要体现在几何与代数、函数等数学知识当中。
2.2教学建议
（1）将数学核心素养的培养贯穿整个教学活动。
数学核心素养是课堂教学需要落实的重要内容，因此要求教师将数学学科核心素养综合的培养贯穿于整个教学活动，在数学教学过程中重视学生的综合能力训练，促进学生更好地发展数学综合核心素养，获得数学学习能力，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。
（2）在解题教学中提升数学方法素养。
推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”。在实际教学中，教师应注重对学生的解题训练，通过解题，让学生在运算过程中明确运算对象，深入理解、运用运算法则。并且教学中可通过几何与代数解题来训练学生的数学逻辑思维，培养学生数学思维的灵活性和创造性。理性思维是数学素养的灵魂，因此数学育人要用数学的方式，善于使学生学会有逻辑地、创造性地思考。
（3）在活动教学中培养数学工具素养。
在教学过程中可围绕某个数学问题，开展趣味数学、自主探究、小组合作等活动，在教师的帮助下解决问题。在教学中多以现实生活为例，让学生明白数学贴近生活、数学学习的作用，帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法。
（4）在课堂教学中发展数学思维素养。
数学思维素养主要体现在概念、基本定理、几何图形的考查，因此在教学中要善于启发学生，要帮助学生从“事实”到“概念”，以“概念”形成“方法”，注重对基础知识的教授、强化以及图形的观察，促进学生思维能力、空间想象能力的发展，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，去发现、探索、研究有意义的数学问题。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2020.
[2] 寧锐，李昌勇，罗宗绪. 数学学科核心素养的结构及其教学意义[J]. 数学教育学报. 2019， 28（02）： 24-29.
云南师范大学数学学院 云南 昆明 650500