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学生在学习椭圆和双曲线，在解决动点的轨迹或者轨迹方程中遇到了一个较明显的困难就是不知道怎么去分类讨论，以及如何考虑全面.本文结合曲线方程课的实例做了简要介绍.
数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历.教师应从数学研究和数学实验的过程中进行设计，学生的思维不一定真实的重演了人类对数学概念探索的全过程，但确确实实可以通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中学习数学，因此教师需要去掉教材冰冷的外表，打开学生火热的思考，注意平时课堂上学生的积淀，提高引导的有效性，从而使学生产生数学学习的乐趣，培养一定的数学思维品质和能力.
一、案例的展示
例1 （人教版选修2-1习题2.2 A组第7题） 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线？
课堂练习：
1.（2011广东理）设圆C与两圆
（x+5）2+y2=4，（x-5）2+y2=4
中的一个内切，另一个外切.求C的圆心轨迹L的方程.
题1讲解完以后，让学生做练习题1，我原本以为习题1大部分学生通过模仿应该可以很好的做出答案，可事实令人吃惊，习题1只有少部分学生可以做出来完整答案，大部分学生书写的过程只有一个差为定值，得到的结果只是双曲线一支.
图1
例2 （人教版选修2-1习题2.2 B组第2题）如图1，圆O的半径为定长r， A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线m和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
师：通过分析只要连接QA，通过中垂线的性质很容易得到QA=QP，这样就能得到
QO+QA=QO+QP=OP=r，再利用椭圆定义，很快得到Q点的轨迹是椭圆.
课堂上一学生突然举手问我：“老师，若把A是圆O内的一个定点改写成A是圆O所在平面的一个动点，半径OP改成直线OP，那么点Q的轨迹是什么？为什么？”
师：这个问题提得很好，下面请同学们分小组，先自己思考一下，探讨一下.三分钟后……
学生：我们都会了，但这个题我们三个人得出的结论都不同，我得的是双曲线，他得的是椭圆，还有答案是双曲线一支，还有是圆，到底谁的对呢，应当怎么样考虑？
师：你们的结果为什么不同呢？还有其他结果没有？什么原因产生的？
生：可我们如何才能知道，什么情况下要讨论，什么情况下不讨论呀？如何去伪存真？
另外一个班的反馈记录：
学生A：今天的课，用几何画版直观的演示，挺难的题也感觉很容易懂，很美妙！
学生B：想不到，在一次次的探讨过程中，能得出这么多的结论，学到这么多东西，挺有成就感的！
学生C：这样学起来，又轻松，又容易懂，自己发现的结论，就不易忘记了.
二、案例的反思
1.从学生对圆锥曲线的定义理解的“不踏实”，可以看出，学生的学习是被动的.究其原因是由于过去教师在教学中只注意新概念强制性地注入学生脑中，置学生于被动地位，使思维呈依赖性，因而学生只能消极被动地接受这个定义而未能内化这个新知识，无法达到有意义的理解和灵活运用.
2.从问题结论的不确定性可以看出，学生的分类讨论与考虑问题的全面性等数学思维还欠缺.如，由于各种条件限制，很多的时候老师教授圆锥曲线时，很少去使用多媒体，无法让学生直观发现动点变化的情况，或者上课时没有那么多的探究活动与实验，学生就会难以理解结论产生的原因.即使是教师在教学过程中反复强调，或引导学生思考，学生也仅仅只能记住教师所讲的结论，没有自己的探究和思考，知其然而不知其所以然.用几何画板演示点Q的轨迹后，效果明显要好.
3.“学贵质疑”，两个班其中有一个班有学生提问题，而另外一个班就没有人提出来，为什么课堂上的学生的有效提问总是那么少，是不是平时我们提问太多了，讲太多了，就没有多少时间给学生去思考，慢慢地学生也就没有了思考和质疑的习惯.遇到难些的题自己就不会分析和思考了.
三、案例的启示
1.在新课程实施过程中，高三的复习课很难像高一，高二那样，因此有时候在一轮复习基础时，一些重要的概念，知识点也是老师直接注入到学生脑子的，反复强调.那这样的做法到底能有多大的效果呢？从考试中可以看出来，为什么一些老师反复强调的知识点，学生仍是老在同一个地方犯错.作为老师我们经常强调学生要注意学习的积累，反过来看看，我们是不是也要注意平时课堂的积累.尤其是一些重要的内容，如，圆锥曲线的定义及标准方程的讲解就应该落到实处，努力去掉课本冰冷的外表，打开学生火热的思考.
2.虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程.教师的工作是把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，侧重于学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力.
3.教师的地位应由主导者转变为引导者.在教学过程中，把学习的主动权交给学生，在时间和空间上保证学生在教师的指导下，学生自己独立自主的探究学习，在教学方法上，充分注意学生的差异性，加强课堂调控，使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，使每一个学生通过自己的努力，在自己原有的基础上都有所获，都有提高， 使教学活动充满师生交流互动的气氛.总之，教海茫茫，新的问题还在不断出现，我将在今后的进一步研究和学习中继续探究.
数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历.教师应从数学研究和数学实验的过程中进行设计，学生的思维不一定真实的重演了人类对数学概念探索的全过程，但确确实实可以通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中学习数学，因此教师需要去掉教材冰冷的外表，打开学生火热的思考，注意平时课堂上学生的积淀，提高引导的有效性，从而使学生产生数学学习的乐趣，培养一定的数学思维品质和能力.
一、案例的展示
例1 （人教版选修2-1习题2.2 A组第7题） 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线？
课堂练习：
1.（2011广东理）设圆C与两圆
（x+5）2+y2=4，（x-5）2+y2=4
中的一个内切，另一个外切.求C的圆心轨迹L的方程.
题1讲解完以后，让学生做练习题1，我原本以为习题1大部分学生通过模仿应该可以很好的做出答案，可事实令人吃惊，习题1只有少部分学生可以做出来完整答案，大部分学生书写的过程只有一个差为定值，得到的结果只是双曲线一支.
图1
例2 （人教版选修2-1习题2.2 B组第2题）如图1，圆O的半径为定长r， A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线m和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
师：通过分析只要连接QA，通过中垂线的性质很容易得到QA=QP，这样就能得到
QO+QA=QO+QP=OP=r，再利用椭圆定义，很快得到Q点的轨迹是椭圆.
课堂上一学生突然举手问我：“老师，若把A是圆O内的一个定点改写成A是圆O所在平面的一个动点，半径OP改成直线OP，那么点Q的轨迹是什么？为什么？”
师：这个问题提得很好，下面请同学们分小组，先自己思考一下，探讨一下.三分钟后……
学生：我们都会了，但这个题我们三个人得出的结论都不同，我得的是双曲线，他得的是椭圆，还有答案是双曲线一支，还有是圆，到底谁的对呢，应当怎么样考虑？
师：你们的结果为什么不同呢？还有其他结果没有？什么原因产生的？
生：可我们如何才能知道，什么情况下要讨论，什么情况下不讨论呀？如何去伪存真？
另外一个班的反馈记录：
学生A：今天的课，用几何画版直观的演示，挺难的题也感觉很容易懂，很美妙！
学生B：想不到，在一次次的探讨过程中，能得出这么多的结论，学到这么多东西，挺有成就感的！
学生C：这样学起来，又轻松，又容易懂，自己发现的结论，就不易忘记了.
二、案例的反思
1.从学生对圆锥曲线的定义理解的“不踏实”，可以看出，学生的学习是被动的.究其原因是由于过去教师在教学中只注意新概念强制性地注入学生脑中，置学生于被动地位，使思维呈依赖性，因而学生只能消极被动地接受这个定义而未能内化这个新知识，无法达到有意义的理解和灵活运用.
2.从问题结论的不确定性可以看出，学生的分类讨论与考虑问题的全面性等数学思维还欠缺.如，由于各种条件限制，很多的时候老师教授圆锥曲线时，很少去使用多媒体，无法让学生直观发现动点变化的情况，或者上课时没有那么多的探究活动与实验，学生就会难以理解结论产生的原因.即使是教师在教学过程中反复强调，或引导学生思考，学生也仅仅只能记住教师所讲的结论，没有自己的探究和思考，知其然而不知其所以然.用几何画板演示点Q的轨迹后，效果明显要好.
3.“学贵质疑”，两个班其中有一个班有学生提问题，而另外一个班就没有人提出来，为什么课堂上的学生的有效提问总是那么少，是不是平时我们提问太多了，讲太多了，就没有多少时间给学生去思考，慢慢地学生也就没有了思考和质疑的习惯.遇到难些的题自己就不会分析和思考了.
三、案例的启示
1.在新课程实施过程中，高三的复习课很难像高一，高二那样，因此有时候在一轮复习基础时，一些重要的概念，知识点也是老师直接注入到学生脑子的，反复强调.那这样的做法到底能有多大的效果呢？从考试中可以看出来，为什么一些老师反复强调的知识点，学生仍是老在同一个地方犯错.作为老师我们经常强调学生要注意学习的积累，反过来看看，我们是不是也要注意平时课堂的积累.尤其是一些重要的内容，如，圆锥曲线的定义及标准方程的讲解就应该落到实处，努力去掉课本冰冷的外表，打开学生火热的思考.
2.虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程.教师的工作是把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，侧重于学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力.
3.教师的地位应由主导者转变为引导者.在教学过程中，把学习的主动权交给学生，在时间和空间上保证学生在教师的指导下，学生自己独立自主的探究学习，在教学方法上，充分注意学生的差异性，加强课堂调控，使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，使每一个学生通过自己的努力，在自己原有的基础上都有所获，都有提高， 使教学活动充满师生交流互动的气氛.总之，教海茫茫，新的问题还在不断出现，我将在今后的进一步研究和学习中继续探究.