论文部分内容阅读
【摘要】数学公式是数学基础知识的核心内容。数学公式的高度抽象性常常成为教学的“疑难杂症”。在教学中，有的教师只注重数学公式的运用而忽略对数学公式特征的多元理解，这是造成学生难以深度理解数学公式的重要原因之一。因此，如何优化数学公式类微课或创课等问题亟待探究。承接前面的创课设计，研究者基于数学多元表征学习理论，以“平方差公式的解释”的教学片段为例，尝试探讨优化数学公式类创课的设计。
【关键词】数学公式；创课；平方差公式；多元表征
数学公式是用数学符号记录数量关系和空间形式的表达方法，具有数量关系的确定性和符号的抽象性，是揭示数学规律的重要工具，也是数学基础知识的核心内容。数学公式因其高度抽象性而成为数学教学的难点。在教学过程中，有的教师只注重数学公式的运用而忽略对数学公式特征的多元理解，这是造成学生难以深度理解数学公式的重要原因之一。因此，如何优化数学公式类微课或创课等问题亟待探究。承接前面的创课设计，笔者基于数学多元表征学习理论，以“平方差公式的解释”的教学片段为例，尝试探讨优化数学公式类创课的设计。首先，概述数学多元表征学习理论；接着，以初中数学中的“平方差公式的解释”教学设计的“复习回顾”“多元理解”“小结反思”三个环节为例，对比优化版和原版的教学实录，并进行片段评析；最后，深入反思原版创课中存在的问题，在对比分析中提炼数学公式类创课设计的优化策略。
一、数学多元表征学习理论概述
数学多元表征是指同一数学学习对象的多种外在表征形式。与单一表征相比，多元表征具有角色互补、限制解释、建构深度理解三大认知功能。从数学多元表征中学习数学是理解数学本质的有效策略。数学教学中的数形结合思想就是数学多元表征学习的典型案例。数学多元表征学习的有效性主要取决于学习者发生表征系统内的转换和表征系统间的转译。但这种转换和转译需要良好的教学设计支持。研究表明，有效促进学习者发生转换和转译的教学设计需要遵循信息打包原则、空间邻近原则、时间临近原则、一致性原则、双通道原则和增强深度学习原则[1-2]。
二、优化数学公式类创课设计与案例分析
（一）设计背景
“平方差公式”是人教版数学七年级下册的内容，是学生在初中阶段接触到的第一个乘法公式，也是后续学习因式分解、分式的运算和化简、解一元二次方程等内容的基础。学习“平方差公式”可以通过不同的表征形式来探究其结构特征，其不同表征形式之间的转换和转译，对后面的完全平方公式的学习具有借鉴和指导意义。承接整式乘法的学习，本文主要探讨平方差公式的多元解释。
（二）案例分析
1.复习回顾
此环节主要是通过复习回顾平方差公式，激活学生已有的平方差公式知识。对这个环节的创课设计，原版教学设计为：首先，教师呈现问题情境；其次，教师提出问题，通过问题导入，复习回顾平方差公式；最后，师生共同进入新课的学习。原版教学设计如图1所示。
通過小故事来导入新课虽然能引起学生的学习兴趣，但是故事中的问题解决对学生来说有一定的难度，这反而会降低学生的学习积极性，也很难激活学生已有的平方差公式知识。
基于数学多元表征学习理论，优化版教学设计为：首先，教师列出有平方差公式特点的3个多项式相乘的例子；其次，教师引导学生复习回顾平方差公式的文字语言和符号语言，尝试从文学表征和符号表征两种不同的表征形式激活学生的认知起点。优化版教学设计如图2所示。
【比较分析】原版教学设计中的复习回顾环节，试图通过设置小故事引起学生的学习兴趣，但是小故事中创设的问题情境不够生动有趣，设置的问题解答也有一定的难度，反而会适得其反，降低学生的学习兴趣。优化版教学设计中通过具体的3个多项式相乘的例子来激活学生已有的知识，进而通过文字表征和符号表征两种不同的表征形式来呈现要学习的“平方差公式”。相比之下，优化版教学设计中的“复习回顾”更易于学生接受，也更能有效地激活学生的认知起点，为对平方差公式进行多元理解奠定良好的基础。
2.多元理解
该环节主要引导学生通过多元表征的方式来深刻理解平方差公式。在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现平方差公式的文字语言表述以及它的符号语言描述；其次，教师提出问题，引导学生对平方差公式中的“数”的含义进行思考；接着，教师通过举例让学生理解平方差公式文字语言中的“数”的含义；最后，教师呈现平方差公式的几何图形，引导学生理解图形的含义。原版教学设计的讲解方式过于单调，学生参与度较低，很难调动学生的学习积极性，也不符合新课标提出的“教师为主导，学生为主体”的要求。基于数学多元表征学习理论，优化版教学设计为：首先，教师通过问题驱动，让学生自主思考解决问题；其次，教师通过展示多媒体课件中学生小圆的错解，并对其解法进行剖析，师生共同归纳总结平方差公式的特点，让学生从符号语言对平方差公式进行深刻理解；最后，教师设计动手操作环节，让学生通过操作结果的分享，以及动态数学技术的展示，从几何的角度认识平方差公式。
（1）原版教学设计及片段评析
师：如何理解平方差公式中的“数”？说出你们的看法。
（教师引导学生思考并举例说明。原版教学设计如图3所示。）
师：请同学们认真观察下列图形，你能用它来解释平方差公式吗？
（教师引导学生观察思考，讲解平方差公式的几何意义。原版教学设计如图4所示。）
（2）优化版教学设计及片段评析
师：前面我们已经复习了平方差公式，如何理解平方差公式中的字母a、b？a、b可以代表什么？请同学们动手算一算下面这几道题，并思考老师提出的问题。
（学生动手计算。优化版教学设计如图5所示。）
师：想必有些同学已经计算出答案了，哪位同学来跟大家分享自己的计算结果？ 小圆：第（1）小题我得到的结果是a2-1。我是这样想的，在第（1）小题中，可以把“a”看成平方差公式中的“a”，把“1”看成平方差公式中的“b”，再运用平方差公式得到结果“a2-1”。
师：很好！小圆用的是代入法，她将问题中的“a”“1”分别代入到平方差公式的“a”“b”中，代入后运用平方差公式就得到结果，第（1）小题的答案是正确的。第（2）小题你又是怎么计算的？
小圆：在第（2）小题中，把“-a”看成平方差公式中的“a”，把“1”看成平方差公式中的“b”，运用平方差公式就得到结果（-a）2-1。
师：小圆用的还是代入法，但小圆的代入过程是否正确？如果把“-a”看成平方差公式中的“a”，把“1”看成平方差公式中的“b”，第一个括号里面的“-a-1”是平方差公式中的“a-b”的形式，但第二个括号里面的“a-1”显然不满足平方差公式中“a+b”的形式。因此小圆的代入过程是不正确的。这就说明，我们在运用平方差公式的时候，不能盲目地代入，要注意观察题目的条件和特征，只有符合平方差公式特征和条件的才能運用平方差公式进行运算。
小静：我想到了，可以把第（2）小题中的项调整一下位置，（-a-1）（a-1）=（-1+a）（-1-a），很显然，“-1”可以看成平方差公式中的“a”，“a”看成平方差公式中的“b”，所以答案是（-1）2-a2。
师：小静很善于观察和思考，她指出了这道题的关键所在，这道题的本质与特征是符合平方差公式的，只是对应平方差公式中的“a”“b”位置改变了。只要我们调整式子中项的位置，就可以直接套用平方差公式。小静你来说一说你是怎么想到的。
小静：我发现平方差公式中“（a+b）（a-b）”前后两个括号中项数要相同，前括号和后括号要有相等的项，并且前括号里余下的项和后括号里余下的项互为相反数。我观察式子后发现，“（-a-1）（a-1）”前后两个括号中项数相同，都为两项，并且前括号和后括号相等的项是“-1”，它们余下的项“-a”和“a”互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可以套用平方差公式。
师：小静观察得很认真，她说出了平方差公式的特征和条件，平方差公式左边的两个括号里多项式的项数要相同，其中前后括号里有一部分是相等的，余下的部分则互为相反数。
（PPT展示计算结果，教师具体分析学生解题的错漏。）
师：我们回到一开始提出的问题，平方差公式中的“a”“b”各代表什么？
小圆：从第（1）、第（2）、第（3）小题中可以看出，“a”“b”可以是具体的数，也可以是单项式。
小方：还有在第（4）小题中，平方差公式中的“a”是多项式，所以“a”“b”也可以是多项式。
师：同学们都观察得很认真。我们来做个归纳总结，根据同学们的发现，平方差公式中的“a”“b”可以是任意的数、单项式或多项式。
（教师用PPT展示发现结果。优化版教学设计如图6所示。）
师：数形结合思想很关键，前面我们已经从代数的角度对平方差公式有了认识，那么从形的角度我们该如何认识平方差公式呢？
师：同学们看到平方，容易联想到什么？
生：正方形的面积。
师：对了，正方形的面积等于它的边长的平方，a2可以看成边长为a的正方形面积，b2可以看成边长为b的正方形的面积。那么平方差公式中的“a2-b2”就可以看成一个边长为a的大正方形面积减去一个边长为b的小正方形的面积。下面，请同学们拿出一张正方形纸片（设边长为a），将该纸片剪掉一个小正方形（设边长为b），通过面积的方式，自己动手拼出不同的图形来认识平方差公式。
（学生动手操作。）
师：哪位同学来跟大家分享自己的拼图结果，并向大家讲讲自己的拼图思路？
小圆：我觉得“（a+b）（a-b）”可以看成长为a+b、宽为a-b的矩形面积，所以我以小正方形的边为宽剪下一个小矩形，最后拼成长为a+b、宽为a-b的矩形。
师：很不错，小圆通过观察，由两个多项式相乘想到了转化为我们熟悉的矩形面积来认识平方差公式。
（教师用动态数学技术展示拼图过程，启发学生思维。）
师：除了矩形，其他同学还有没有其他的想法？
小静：我利用的是梯形的面积。我把图形剪成两个直角梯形，然后再拼成一个等腰梯形，拼成的等腰梯形上底的长是2b，下底的长是2a，高为a-b，再利用梯形的面积公式就得到（a+b）（a-b）。
师：小静的想法很独特，将图形拼成一个梯形，根据梯形面积公式最后得到平方差公式的另一种几何表示。
（教师用动态数学软件展示小静的拼图过程。优化版教学设计如图7所示。）
【比较分析】原版教学设计更注重教师的讲解，虽有提出问题，但也是教师告知学生答案，没有留给学生太多思考的空间，也就很难让学生真正地认识平方差公式。为了解决原版创课中存在的问题，可以从如下几个方面进行优化。
① 问题驱动思考。教师通过问题链，启发学生深入思考，通过课堂生成性资源的呈现，促进学生之间的交流与分享；教师通过恰当的点评与追问，引导学生对错漏点逐步进行分析，培养学生细心作答、认真思考的良好习惯。
② 多元表征结合。教师通过设置教学活动，展示学生知识易错点、知识盲点，让学生经历动手操作、主动分享、纠错改错的过程，揭示平方差公式的本质特征，收获学习方法；教师引导学生从符号表征向图形表征转换，让学生自主探究平方差公式的几何意义，并建立平方差公式的几何图形模型，从而增强学生的认知操作，发散学生的数学思维，让学生从中领悟数学思想与方法。
③ 动态突显本质。教师利用动态数学软件，向学生呈现动态平方差公式几何图形的变化过程，相当于学生动手操作过程的再现，通过将学生的操作表征与视觉化表征在时间上的临近呈现，更易于学生对平方差公式符号表征向图形表征的转译，充分调动学生的学习积极性，提高学生的学习兴趣。
3.小结反思
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，呈现如图8的内容；其次，教师引导学生简单回顾知识要点。这种设计使学生难以养成小结反思的良好习惯。基于数学多元表征学习理论的信息打包原则、双通道原则，教师应尽量将抽象性的言语信息视觉化，将具体性的言语信息听觉化，降低学生的认知负荷，促进学生对平方差公式多元表征的转换与转译，实现深化理解。
（1）原版教学设计（如图8所示）
（2）优化版教学设计（如图9所示）
【比较分析】原版教学设计的“小结反思”仅简单罗列出平方差公式的文字语言表述和符号语言表述，试图帮助学生加强知识的理解与记忆，但是抽象性的语言表征增加了学生的认知负荷，学生难以实现表征间有效的转换与转译。在优化版教学设计中，通过视觉化构建思维导图的方式，组建知识“信息包”，有利于学生的记忆，帮助学生在语言、符号、图形三种不同的表征形式间实现有效的转换和转译；最后通过设置“如何快速计算19.2×20.8？”的问题，促进学生深入思考，激发学生进一步求知的欲望。
参考文献：
[1]唐剑岚.数学多元表征学习的认知模型及教学研究[D].南京：南京师范大学，2008.
[2]唐剑岚，潘春娥.基于数学多元表征学习理论的数学创课设计：以“直线与平面垂直的判定定理”的初步认识为例[J].中小学课堂教学研究，2017（11）：13-20.
【关键词】数学公式；创课；平方差公式；多元表征
数学公式是用数学符号记录数量关系和空间形式的表达方法，具有数量关系的确定性和符号的抽象性，是揭示数学规律的重要工具，也是数学基础知识的核心内容。数学公式因其高度抽象性而成为数学教学的难点。在教学过程中，有的教师只注重数学公式的运用而忽略对数学公式特征的多元理解，这是造成学生难以深度理解数学公式的重要原因之一。因此，如何优化数学公式类微课或创课等问题亟待探究。承接前面的创课设计，笔者基于数学多元表征学习理论，以“平方差公式的解释”的教学片段为例，尝试探讨优化数学公式类创课的设计。首先，概述数学多元表征学习理论；接着，以初中数学中的“平方差公式的解释”教学设计的“复习回顾”“多元理解”“小结反思”三个环节为例，对比优化版和原版的教学实录，并进行片段评析；最后，深入反思原版创课中存在的问题，在对比分析中提炼数学公式类创课设计的优化策略。
一、数学多元表征学习理论概述
数学多元表征是指同一数学学习对象的多种外在表征形式。与单一表征相比，多元表征具有角色互补、限制解释、建构深度理解三大认知功能。从数学多元表征中学习数学是理解数学本质的有效策略。数学教学中的数形结合思想就是数学多元表征学习的典型案例。数学多元表征学习的有效性主要取决于学习者发生表征系统内的转换和表征系统间的转译。但这种转换和转译需要良好的教学设计支持。研究表明，有效促进学习者发生转换和转译的教学设计需要遵循信息打包原则、空间邻近原则、时间临近原则、一致性原则、双通道原则和增强深度学习原则[1-2]。
二、优化数学公式类创课设计与案例分析
（一）设计背景
“平方差公式”是人教版数学七年级下册的内容，是学生在初中阶段接触到的第一个乘法公式，也是后续学习因式分解、分式的运算和化简、解一元二次方程等内容的基础。学习“平方差公式”可以通过不同的表征形式来探究其结构特征，其不同表征形式之间的转换和转译，对后面的完全平方公式的学习具有借鉴和指导意义。承接整式乘法的学习，本文主要探讨平方差公式的多元解释。
（二）案例分析
1.复习回顾
此环节主要是通过复习回顾平方差公式，激活学生已有的平方差公式知识。对这个环节的创课设计，原版教学设计为：首先，教师呈现问题情境；其次，教师提出问题，通过问题导入，复习回顾平方差公式；最后，师生共同进入新课的学习。原版教学设计如图1所示。
通過小故事来导入新课虽然能引起学生的学习兴趣，但是故事中的问题解决对学生来说有一定的难度，这反而会降低学生的学习积极性，也很难激活学生已有的平方差公式知识。
基于数学多元表征学习理论，优化版教学设计为：首先，教师列出有平方差公式特点的3个多项式相乘的例子；其次，教师引导学生复习回顾平方差公式的文字语言和符号语言，尝试从文学表征和符号表征两种不同的表征形式激活学生的认知起点。优化版教学设计如图2所示。
【比较分析】原版教学设计中的复习回顾环节，试图通过设置小故事引起学生的学习兴趣，但是小故事中创设的问题情境不够生动有趣，设置的问题解答也有一定的难度，反而会适得其反，降低学生的学习兴趣。优化版教学设计中通过具体的3个多项式相乘的例子来激活学生已有的知识，进而通过文字表征和符号表征两种不同的表征形式来呈现要学习的“平方差公式”。相比之下，优化版教学设计中的“复习回顾”更易于学生接受，也更能有效地激活学生的认知起点，为对平方差公式进行多元理解奠定良好的基础。
2.多元理解
该环节主要引导学生通过多元表征的方式来深刻理解平方差公式。在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，教师呈现平方差公式的文字语言表述以及它的符号语言描述；其次，教师提出问题，引导学生对平方差公式中的“数”的含义进行思考；接着，教师通过举例让学生理解平方差公式文字语言中的“数”的含义；最后，教师呈现平方差公式的几何图形，引导学生理解图形的含义。原版教学设计的讲解方式过于单调，学生参与度较低，很难调动学生的学习积极性，也不符合新课标提出的“教师为主导，学生为主体”的要求。基于数学多元表征学习理论，优化版教学设计为：首先，教师通过问题驱动，让学生自主思考解决问题；其次，教师通过展示多媒体课件中学生小圆的错解，并对其解法进行剖析，师生共同归纳总结平方差公式的特点，让学生从符号语言对平方差公式进行深刻理解；最后，教师设计动手操作环节，让学生通过操作结果的分享，以及动态数学技术的展示，从几何的角度认识平方差公式。
（1）原版教学设计及片段评析
师：如何理解平方差公式中的“数”？说出你们的看法。
（教师引导学生思考并举例说明。原版教学设计如图3所示。）
师：请同学们认真观察下列图形，你能用它来解释平方差公式吗？
（教师引导学生观察思考，讲解平方差公式的几何意义。原版教学设计如图4所示。）
（2）优化版教学设计及片段评析
师：前面我们已经复习了平方差公式，如何理解平方差公式中的字母a、b？a、b可以代表什么？请同学们动手算一算下面这几道题，并思考老师提出的问题。
（学生动手计算。优化版教学设计如图5所示。）
师：想必有些同学已经计算出答案了，哪位同学来跟大家分享自己的计算结果？ 小圆：第（1）小题我得到的结果是a2-1。我是这样想的，在第（1）小题中，可以把“a”看成平方差公式中的“a”，把“1”看成平方差公式中的“b”，再运用平方差公式得到结果“a2-1”。
师：很好！小圆用的是代入法，她将问题中的“a”“1”分别代入到平方差公式的“a”“b”中，代入后运用平方差公式就得到结果，第（1）小题的答案是正确的。第（2）小题你又是怎么计算的？
小圆：在第（2）小题中，把“-a”看成平方差公式中的“a”，把“1”看成平方差公式中的“b”，运用平方差公式就得到结果（-a）2-1。
师：小圆用的还是代入法，但小圆的代入过程是否正确？如果把“-a”看成平方差公式中的“a”，把“1”看成平方差公式中的“b”，第一个括号里面的“-a-1”是平方差公式中的“a-b”的形式，但第二个括号里面的“a-1”显然不满足平方差公式中“a+b”的形式。因此小圆的代入过程是不正确的。这就说明，我们在运用平方差公式的时候，不能盲目地代入，要注意观察题目的条件和特征，只有符合平方差公式特征和条件的才能運用平方差公式进行运算。
小静：我想到了，可以把第（2）小题中的项调整一下位置，（-a-1）（a-1）=（-1+a）（-1-a），很显然，“-1”可以看成平方差公式中的“a”，“a”看成平方差公式中的“b”，所以答案是（-1）2-a2。
师：小静很善于观察和思考，她指出了这道题的关键所在，这道题的本质与特征是符合平方差公式的，只是对应平方差公式中的“a”“b”位置改变了。只要我们调整式子中项的位置，就可以直接套用平方差公式。小静你来说一说你是怎么想到的。
小静：我发现平方差公式中“（a+b）（a-b）”前后两个括号中项数要相同，前括号和后括号要有相等的项，并且前括号里余下的项和后括号里余下的项互为相反数。我观察式子后发现，“（-a-1）（a-1）”前后两个括号中项数相同，都为两项，并且前括号和后括号相等的项是“-1”，它们余下的项“-a”和“a”互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可以套用平方差公式。
师：小静观察得很认真，她说出了平方差公式的特征和条件，平方差公式左边的两个括号里多项式的项数要相同，其中前后括号里有一部分是相等的，余下的部分则互为相反数。
（PPT展示计算结果，教师具体分析学生解题的错漏。）
师：我们回到一开始提出的问题，平方差公式中的“a”“b”各代表什么？
小圆：从第（1）、第（2）、第（3）小题中可以看出，“a”“b”可以是具体的数，也可以是单项式。
小方：还有在第（4）小题中，平方差公式中的“a”是多项式，所以“a”“b”也可以是多项式。
师：同学们都观察得很认真。我们来做个归纳总结，根据同学们的发现，平方差公式中的“a”“b”可以是任意的数、单项式或多项式。
（教师用PPT展示发现结果。优化版教学设计如图6所示。）
师：数形结合思想很关键，前面我们已经从代数的角度对平方差公式有了认识，那么从形的角度我们该如何认识平方差公式呢？
师：同学们看到平方，容易联想到什么？
生：正方形的面积。
师：对了，正方形的面积等于它的边长的平方，a2可以看成边长为a的正方形面积，b2可以看成边长为b的正方形的面积。那么平方差公式中的“a2-b2”就可以看成一个边长为a的大正方形面积减去一个边长为b的小正方形的面积。下面，请同学们拿出一张正方形纸片（设边长为a），将该纸片剪掉一个小正方形（设边长为b），通过面积的方式，自己动手拼出不同的图形来认识平方差公式。
（学生动手操作。）
师：哪位同学来跟大家分享自己的拼图结果，并向大家讲讲自己的拼图思路？
小圆：我觉得“（a+b）（a-b）”可以看成长为a+b、宽为a-b的矩形面积，所以我以小正方形的边为宽剪下一个小矩形，最后拼成长为a+b、宽为a-b的矩形。
师：很不错，小圆通过观察，由两个多项式相乘想到了转化为我们熟悉的矩形面积来认识平方差公式。
（教师用动态数学技术展示拼图过程，启发学生思维。）
师：除了矩形，其他同学还有没有其他的想法？
小静：我利用的是梯形的面积。我把图形剪成两个直角梯形，然后再拼成一个等腰梯形，拼成的等腰梯形上底的长是2b，下底的长是2a，高为a-b，再利用梯形的面积公式就得到（a+b）（a-b）。
师：小静的想法很独特，将图形拼成一个梯形，根据梯形面积公式最后得到平方差公式的另一种几何表示。
（教师用动态数学软件展示小静的拼图过程。优化版教学设计如图7所示。）
【比较分析】原版教学设计更注重教师的讲解，虽有提出问题，但也是教师告知学生答案，没有留给学生太多思考的空间，也就很难让学生真正地认识平方差公式。为了解决原版创课中存在的问题，可以从如下几个方面进行优化。
① 问题驱动思考。教师通过问题链，启发学生深入思考，通过课堂生成性资源的呈现，促进学生之间的交流与分享；教师通过恰当的点评与追问，引导学生对错漏点逐步进行分析，培养学生细心作答、认真思考的良好习惯。
② 多元表征结合。教师通过设置教学活动，展示学生知识易错点、知识盲点，让学生经历动手操作、主动分享、纠错改错的过程，揭示平方差公式的本质特征，收获学习方法；教师引导学生从符号表征向图形表征转换，让学生自主探究平方差公式的几何意义，并建立平方差公式的几何图形模型，从而增强学生的认知操作，发散学生的数学思维，让学生从中领悟数学思想与方法。
③ 动态突显本质。教师利用动态数学软件，向学生呈现动态平方差公式几何图形的变化过程，相当于学生动手操作过程的再现，通过将学生的操作表征与视觉化表征在时间上的临近呈现，更易于学生对平方差公式符号表征向图形表征的转译，充分调动学生的学习积极性，提高学生的学习兴趣。
3.小结反思
在这个创课设计环节，原版教学设计为：首先，呈现如图8的内容；其次，教师引导学生简单回顾知识要点。这种设计使学生难以养成小结反思的良好习惯。基于数学多元表征学习理论的信息打包原则、双通道原则，教师应尽量将抽象性的言语信息视觉化，将具体性的言语信息听觉化，降低学生的认知负荷，促进学生对平方差公式多元表征的转换与转译，实现深化理解。
（1）原版教学设计（如图8所示）
（2）优化版教学设计（如图9所示）
【比较分析】原版教学设计的“小结反思”仅简单罗列出平方差公式的文字语言表述和符号语言表述，试图帮助学生加强知识的理解与记忆，但是抽象性的语言表征增加了学生的认知负荷，学生难以实现表征间有效的转换与转译。在优化版教学设计中，通过视觉化构建思维导图的方式，组建知识“信息包”，有利于学生的记忆，帮助学生在语言、符号、图形三种不同的表征形式间实现有效的转换和转译；最后通过设置“如何快速计算19.2×20.8？”的问题，促进学生深入思考，激发学生进一步求知的欲望。
参考文献：
[1]唐剑岚.数学多元表征学习的认知模型及教学研究[D].南京：南京师范大学，2008.
[2]唐剑岚，潘春娥.基于数学多元表征学习理论的数学创课设计：以“直线与平面垂直的判定定理”的初步认识为例[J].中小学课堂教学研究，2017（11）：13-20.