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【摘要】 柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是我们研究解析函数各种局部性质的重要工具，是联系函数及其积分的桥梁.本文主要研究被积函数在有界区域内有2个及其以上奇点的情形，得到了相应的共轭解析函数的积分公式.
【关键词】 共轭解析函数；奇点；积分公式
【中图分类号】 O174.5 【文献标识码】 A
【基金项目】 国家自然科学青年基金资助项目（No. 61304146），贵州省高校优秀科技创新人才支持计划资助项目（黔教合KY字[2012]101号），贵州省科技厅、安顺市政府、安顺学院三方联合基金（黔科合J字LKA[2013]19号）
1.引 言
柯西积分公式是复变函数中十分重要的一个公式，既有理论价值，又有实际应用，它的重要性在于一个解析函数在区域内部的值可以用它的边界上的值通过积分来表示，正由于这一点，柯西积分公式提供了计算复积分的重要方法，它把沿闭曲线的积分转化为求函数的函数值，从而简单巧妙地解决了大量复积分的计算问题.同时也为一些实积分的计算提供帮助，比如被积函数是非初等函数的实积分问题，只能借助复积分的方法去解决.已有很多学者对解析函数的柯西积分公式进行了研究.特别地，文[1]给出了函数在区域内只有一个奇点时的柯西积分公式，文[2]讨论了有界区域内不同奇点个数时的柯西积分公式的推广形式.
解析函数虽然能解决平面无源无旋场的问题，但对于有源场和有旋场就无能为力了.1988年，王见定提出了共轭解析函数，共轭解析函数可以用来解决解析函数所能解决的几乎所有问题，并且比解析函数更直观，方便.王见定研究了函数在有界区域只有一个奇点时的共轭解析函数的积分公式：
引理1 若Γ为区域D的边界周线，F（z）= f（z） z-z0 ，f（z）在D内共轭解析，z0∈D，D - =D Γ，则
∫Γ f（z） z-z0 dz =-2πif（z0）.
引理2 若Γ为区域D的边界周线，F（z）= f（z） （z-z0）n ，f（z）在D内共轭解析，z0∈D，D - =D Γ，则
∫Γ f（z） （z-z0）n dz =- 2πi （n-1）！ f（n-1）（z0）
引理1、引理2中的z0是被积函数在周线Γ所围区域内唯一的奇点.如果给定的被积函数在周线Γ所围区域内有2个及以上奇点时就不可直接用它们，本文针对被积函数在有界区域内有2个及以上奇点的情况，推广了共轭解析函数的积分公式.
2.主要结果
定理1 若Γ为简单闭曲线，F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q ，f（z）是Γ内的共轭解析函数，且z1，z2在Γ的内部，则
∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .
其中φ（z）= f（z） （z-z1）p ，ψ（z）= f（z） （z-z1）q .
证明 在Γ内作以z1，z2为圆心，r1，r2为半径的两个互不相交的圆，分别为c1，c2.由[7，定理4]，得
∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz ∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz . （1）
由于ψ（z）= f（z） （z-z2）q 在c1内共轭解析，所以由引理1得
∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z2）q （z-z1）p dz =∫c1 ψ（z） （z-z1）p dz =- 2πi （p-1）！ ψ（p-1）（z1）. （2）
同理，由于φ（z）= f（z） （z-z1）q 在c2内共轭解析，则
∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c2 f（z） （z-z1）p （z-z2）q dz =∫c2 φ（z） （z-z2）q dz =- 2πi （q-1）！ φ（q-1）（z2）. （3）
把（2）、（3）代入（1），得
∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .
证完.
特别地，当F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q 中p=1，q=0时，即为引理1；当q=0时即为引理2.
推论1 设f（z）在以z为圆心，R为半径的区域C内共轭解析，在C内有互不相交的以z1，z2为圆心，r1，r2为半径的圆形区域c1，c2.设M=max z =R f（z） ，则
1 （p-1）！ φ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） ≤ MR r1pr2q
证明 由定理1，得
1 （p-1）！ φ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） = - 1 2πi ∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz ≤ 1 2π ∫ z =R f（z） z-z1 p z-z2 q dz ≤ 1 2π · M r1pr2q ·2πR= MR r1pr2q .
证完.
定理1给出了被积函数在周线Γ所围区域内有2个奇点时的共轭解析函数的积分公式.下面我们将定理1的结果推广到被积函数在周线Γ所围区域内有2个以上奇点时的情形.
定理2 若Γ为简单的闭曲线，设F（z）= f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni ，其中zi在Γ的内部且f（z）共轭解析，则
∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz ==-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.
其中 φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk ，k∈ N *.
证明 在Γ内作以zi为圆心，ri为半径的n个互不相交的圆，分别为ci，i=1，…，n.由于φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk 在ci内共轭解析，所以由引理2得
∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ci f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ ci φk（z） （z-zi）ni dz =-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.
证完.
类似于推论1，由定理2，我们也可以得到下面的推论.
推论2 设f（z）在以z为圆心、R为半径的圆C内共轭解析，在C内有以zi为圆心，ri为半径的圆形区域ci.设M=max z =R f（z） ，则
∑ n k=1 1 （nk-1）！ φk（n-1）（zk） ≤ MR ∏ n i=1 rini
应用上面的定理，计算积分区域内有多个奇点时的共轭积分是很方便的，下面试举一例.
例1 计算积分∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz .
解 显然f（z）= 5z-2 z（z-1）2 在 z =2内有两个奇点z=0，z=1，令
φ（z）= 5z-2 z - ， ψ（z）= 5z-2 （z-1）2 .
则由定理1得
∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz =-2πi 1 （1-1）！ ψ（1-1）（0） 1 （2-1）！ φ（2-1）（1） =-2πi（-2 2）=0.
【关键词】 共轭解析函数；奇点；积分公式
【中图分类号】 O174.5 【文献标识码】 A
【基金项目】 国家自然科学青年基金资助项目（No. 61304146），贵州省高校优秀科技创新人才支持计划资助项目（黔教合KY字[2012]101号），贵州省科技厅、安顺市政府、安顺学院三方联合基金（黔科合J字LKA[2013]19号）
1.引 言
柯西积分公式是复变函数中十分重要的一个公式，既有理论价值，又有实际应用，它的重要性在于一个解析函数在区域内部的值可以用它的边界上的值通过积分来表示，正由于这一点，柯西积分公式提供了计算复积分的重要方法，它把沿闭曲线的积分转化为求函数的函数值，从而简单巧妙地解决了大量复积分的计算问题.同时也为一些实积分的计算提供帮助，比如被积函数是非初等函数的实积分问题，只能借助复积分的方法去解决.已有很多学者对解析函数的柯西积分公式进行了研究.特别地，文[1]给出了函数在区域内只有一个奇点时的柯西积分公式，文[2]讨论了有界区域内不同奇点个数时的柯西积分公式的推广形式.
解析函数虽然能解决平面无源无旋场的问题，但对于有源场和有旋场就无能为力了.1988年，王见定提出了共轭解析函数，共轭解析函数可以用来解决解析函数所能解决的几乎所有问题，并且比解析函数更直观，方便.王见定研究了函数在有界区域只有一个奇点时的共轭解析函数的积分公式：
引理1 若Γ为区域D的边界周线，F（z）= f（z） z-z0 ，f（z）在D内共轭解析，z0∈D，D - =D Γ，则
∫Γ f（z） z-z0 dz =-2πif（z0）.
引理2 若Γ为区域D的边界周线，F（z）= f（z） （z-z0）n ，f（z）在D内共轭解析，z0∈D，D - =D Γ，则
∫Γ f（z） （z-z0）n dz =- 2πi （n-1）！ f（n-1）（z0）
引理1、引理2中的z0是被积函数在周线Γ所围区域内唯一的奇点.如果给定的被积函数在周线Γ所围区域内有2个及以上奇点时就不可直接用它们，本文针对被积函数在有界区域内有2个及以上奇点的情况，推广了共轭解析函数的积分公式.
2.主要结果
定理1 若Γ为简单闭曲线，F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q ，f（z）是Γ内的共轭解析函数，且z1，z2在Γ的内部，则
∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .
其中φ（z）= f（z） （z-z1）p ，ψ（z）= f（z） （z-z1）q .
证明 在Γ内作以z1，z2为圆心，r1，r2为半径的两个互不相交的圆，分别为c1，c2.由[7，定理4]，得
∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz ∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz . （1）
由于ψ（z）= f（z） （z-z2）q 在c1内共轭解析，所以由引理1得
∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z2）q （z-z1）p dz =∫c1 ψ（z） （z-z1）p dz =- 2πi （p-1）！ ψ（p-1）（z1）. （2）
同理，由于φ（z）= f（z） （z-z1）q 在c2内共轭解析，则
∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c2 f（z） （z-z1）p （z-z2）q dz =∫c2 φ（z） （z-z2）q dz =- 2πi （q-1）！ φ（q-1）（z2）. （3）
把（2）、（3）代入（1），得
∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .
证完.
特别地，当F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q 中p=1，q=0时，即为引理1；当q=0时即为引理2.
推论1 设f（z）在以z为圆心，R为半径的区域C内共轭解析，在C内有互不相交的以z1，z2为圆心，r1，r2为半径的圆形区域c1，c2.设M=max z =R f（z） ，则
1 （p-1）！ φ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） ≤ MR r1pr2q
证明 由定理1，得
1 （p-1）！ φ（p-1）（z1） 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） = - 1 2πi ∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz ≤ 1 2π ∫ z =R f（z） z-z1 p z-z2 q dz ≤ 1 2π · M r1pr2q ·2πR= MR r1pr2q .
证完.
定理1给出了被积函数在周线Γ所围区域内有2个奇点时的共轭解析函数的积分公式.下面我们将定理1的结果推广到被积函数在周线Γ所围区域内有2个以上奇点时的情形.
定理2 若Γ为简单的闭曲线，设F（z）= f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni ，其中zi在Γ的内部且f（z）共轭解析，则
∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz ==-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.
其中 φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk ，k∈ N *.
证明 在Γ内作以zi为圆心，ri为半径的n个互不相交的圆，分别为ci，i=1，…，n.由于φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk 在ci内共轭解析，所以由引理2得
∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ci f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ ci φk（z） （z-zi）ni dz =-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.
证完.
类似于推论1，由定理2，我们也可以得到下面的推论.
推论2 设f（z）在以z为圆心、R为半径的圆C内共轭解析，在C内有以zi为圆心，ri为半径的圆形区域ci.设M=max z =R f（z） ，则
∑ n k=1 1 （nk-1）！ φk（n-1）（zk） ≤ MR ∏ n i=1 rini
应用上面的定理，计算积分区域内有多个奇点时的共轭积分是很方便的，下面试举一例.
例1 计算积分∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz .
解 显然f（z）= 5z-2 z（z-1）2 在 z =2内有两个奇点z=0，z=1，令
φ（z）= 5z-2 z - ， ψ（z）= 5z-2 （z-1）2 .
则由定理1得
∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz =-2πi 1 （1-1）！ ψ（1-1）（0） 1 （2-1）！ φ（2-1）（1） =-2πi（-2 2）=0.