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【摘要】就数学教学而言,素质教育提倡的是为理解而教,所以为了让学生更好的理解微积分学中的几个概念,我们给学生讲解了它们之间的关系,并进一步拓展知识链,用“高阶无穷小”对它们进行了统一表示.
【关键词】连续 可导 带皮亚诺型余项的泰勒公式 高阶无穷小 统一表示
【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)03(a)-0204-01
认知结构是个人将已认识的知识组织起来的心理系统.从某个角度看,它可以分为概念结构和关系结构.在形式上,它是由节点和连线构成的线性、树型或网络结构.美国教育心理学家布鲁纳曾指出(见[1]):“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起,那是一个多半会被遗忘的知识.一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命.”另外,建构主义也认为(见[2]-[5]):学生的学习是一个不断建构的过程,只有学生主动建构,调整自己的心理认知结构,或者改造外部的认知结构,使得主客观彼此一致,才能建立新的认知结构。事实上,认知结构除了有助于信息的储存、恢复外,还有促进理解的功能.它是一种推动人的认识活动,加强实际思维能力的工具.建构思维的培养有助于培养学生的创新精神,促进学生对数学知识的理解.建构思维包括外源建构思维、内源建构思维和辩证建构思维.
为了有效地提取信息,我们可以利用认知结构,有准备地将新学得的知识与原有知识有序地组织起来,并通过进一步学习不断调整,陆续增加知识点之间的连线,使得认知结构获得优化,便于迅速准确无误地提取运用.
数学学科的研究对象是思维材料.数学概念的高度概括、形式化的表示方法、公理化的思想体系、严密的演义推理等等,使得数学内部之间有更加紧密的联系.数学概念不是孤立存在的,许多数学概念之间或这些概念的要素之间有广泛的联系,形成了一个概念域.学习数学概念,往往必须掌握一定范围内的一大套概念.
就数学教学而言,素质教育提倡的是为理解而教.所以综上所述,按照认知的观点,所谓数学上的“理解”,就是个人能针对特定的概念情景,通过新旧知识之间的相互作用,在心理上组织起适当的概念结构,并且设法使其成为个人内部的知识网络即认知结构中的一部分.为此,所需要做的工作,主要就是寻找并建立新旧知识的联系,让概念的表象建构得比较准确,它与其他概念的联系比较合理.所以作为一名数学教师,在教学中为了让学生更好的理解一个新的概念,需要在教学中刻意追求新概念与相关周围概念间的联系,把概念周围和内部的各种联系都弄清楚后,才能让学生真正掌握概念的意义、目的、作用和结果,以及它和其他概念的联系.另外,也尽可能为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件,并鼓励他们对所学的数学概念构造自己的理解。
因而在教《数学分析》(见[6])这门课时,我也时刻坚持这种教学理念,及时地分析、总结已学概念间的联系与区别,例如在数学分析中,我们讲了一元函数连续的定义、一元函数可导、可微的定义、一元函数高阶导数的定义以及一元函数带皮亚诺型余项的泰勒公式、高阶无穷小等定义后,我们要给学生分析这些定义间的联系,比如我们可引导学生总结出如下的一些联系:
(1)函数在某点可导则函数在该点一定连续;函数在某点连续但函数在该点不一定可导;
函数在某点不连续则函数在该点一定不可导;
(2)函数在某点可导的充要条件是函数在该点可微;
(3)由函数在某点连续的定义知:
所以由无穷小的表示有:
或等价地叙述为
(4)由函数在某点可导的定义知:
从而由无穷小的表示有:
或等价地叙述为:
(5)由带皮亚诺型余项的泰勒公式, 我们知: 如果f(x)在xo点有直到n阶的导数,则:
或等价地叙述为:
另外,由上述分析,我们还可以引导学生更深入地挖掘它们之间的内在联系:
(1)函数在某点连续、可导都可以用x-xo或的无穷小量统一的表示出来,如(1),(2),(3)式或(1`),(2`),(3`)式;
(2)并且由此统一表示,可发现:可导是连续的推广,带皮亚诺型余项的泰勒公式是函数在某点可导的推广;或者说,函数在某点连续是函数在某点可导的特殊情况,函数在某点可导是带皮亚诺型余项的泰勒公式当n=1时的特殊情况.
总之,有了上述这些定义之间关系的分析,就可以使学生在大脑中储存一个知识链,并且可以使学生更深刻地理解上述定义,以及它们之间的联系;这样,等学生们再学了新的知识后,他们也就逐渐的学会将内部提取的旧知识与新概念中的新信息进行组织,构造出它自身的意义和表象.经过对自身认知结构的不断协调与再组织,从而能够对所学知识融汇贯通.
参考文献
[1] 张奠宙,李士琦,李俊.数学教育学导论[M].北京高等教育出版社,2003.
[2] 郑毓信,梁贯成.认知科学,建构主义与数学教育[M].上海教育出版社,1998.
[3] 李士琦.PME: 数学教育心理[M].上海华东师范大学出版社,2001.
[4] 谢明初,朱新明.认知心理学视角下的数学教育[J].数学教育学报,1(2007):16-20.
[5] 王继成.建构思维及其培养[J].数学教育学报,1(2008):15-17.
[6] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京高等教育出版社,2002.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】连续 可导 带皮亚诺型余项的泰勒公式 高阶无穷小 统一表示
【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)03(a)-0204-01
认知结构是个人将已认识的知识组织起来的心理系统.从某个角度看,它可以分为概念结构和关系结构.在形式上,它是由节点和连线构成的线性、树型或网络结构.美国教育心理学家布鲁纳曾指出(见[1]):“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起,那是一个多半会被遗忘的知识.一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命.”另外,建构主义也认为(见[2]-[5]):学生的学习是一个不断建构的过程,只有学生主动建构,调整自己的心理认知结构,或者改造外部的认知结构,使得主客观彼此一致,才能建立新的认知结构。事实上,认知结构除了有助于信息的储存、恢复外,还有促进理解的功能.它是一种推动人的认识活动,加强实际思维能力的工具.建构思维的培养有助于培养学生的创新精神,促进学生对数学知识的理解.建构思维包括外源建构思维、内源建构思维和辩证建构思维.
为了有效地提取信息,我们可以利用认知结构,有准备地将新学得的知识与原有知识有序地组织起来,并通过进一步学习不断调整,陆续增加知识点之间的连线,使得认知结构获得优化,便于迅速准确无误地提取运用.
数学学科的研究对象是思维材料.数学概念的高度概括、形式化的表示方法、公理化的思想体系、严密的演义推理等等,使得数学内部之间有更加紧密的联系.数学概念不是孤立存在的,许多数学概念之间或这些概念的要素之间有广泛的联系,形成了一个概念域.学习数学概念,往往必须掌握一定范围内的一大套概念.
就数学教学而言,素质教育提倡的是为理解而教.所以综上所述,按照认知的观点,所谓数学上的“理解”,就是个人能针对特定的概念情景,通过新旧知识之间的相互作用,在心理上组织起适当的概念结构,并且设法使其成为个人内部的知识网络即认知结构中的一部分.为此,所需要做的工作,主要就是寻找并建立新旧知识的联系,让概念的表象建构得比较准确,它与其他概念的联系比较合理.所以作为一名数学教师,在教学中为了让学生更好的理解一个新的概念,需要在教学中刻意追求新概念与相关周围概念间的联系,把概念周围和内部的各种联系都弄清楚后,才能让学生真正掌握概念的意义、目的、作用和结果,以及它和其他概念的联系.另外,也尽可能为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件,并鼓励他们对所学的数学概念构造自己的理解。
因而在教《数学分析》(见[6])这门课时,我也时刻坚持这种教学理念,及时地分析、总结已学概念间的联系与区别,例如在数学分析中,我们讲了一元函数连续的定义、一元函数可导、可微的定义、一元函数高阶导数的定义以及一元函数带皮亚诺型余项的泰勒公式、高阶无穷小等定义后,我们要给学生分析这些定义间的联系,比如我们可引导学生总结出如下的一些联系:
(1)函数在某点可导则函数在该点一定连续;函数在某点连续但函数在该点不一定可导;
函数在某点不连续则函数在该点一定不可导;
(2)函数在某点可导的充要条件是函数在该点可微;
(3)由函数在某点连续的定义知:
所以由无穷小的表示有:
或等价地叙述为
(4)由函数在某点可导的定义知:
从而由无穷小的表示有:
或等价地叙述为:
(5)由带皮亚诺型余项的泰勒公式, 我们知: 如果f(x)在xo点有直到n阶的导数,则:
或等价地叙述为:
另外,由上述分析,我们还可以引导学生更深入地挖掘它们之间的内在联系:
(1)函数在某点连续、可导都可以用x-xo或的无穷小量统一的表示出来,如(1),(2),(3)式或(1`),(2`),(3`)式;
(2)并且由此统一表示,可发现:可导是连续的推广,带皮亚诺型余项的泰勒公式是函数在某点可导的推广;或者说,函数在某点连续是函数在某点可导的特殊情况,函数在某点可导是带皮亚诺型余项的泰勒公式当n=1时的特殊情况.
总之,有了上述这些定义之间关系的分析,就可以使学生在大脑中储存一个知识链,并且可以使学生更深刻地理解上述定义,以及它们之间的联系;这样,等学生们再学了新的知识后,他们也就逐渐的学会将内部提取的旧知识与新概念中的新信息进行组织,构造出它自身的意义和表象.经过对自身认知结构的不断协调与再组织,从而能够对所学知识融汇贯通.
参考文献
[1] 张奠宙,李士琦,李俊.数学教育学导论[M].北京高等教育出版社,2003.
[2] 郑毓信,梁贯成.认知科学,建构主义与数学教育[M].上海教育出版社,1998.
[3] 李士琦.PME: 数学教育心理[M].上海华东师范大学出版社,2001.
[4] 谢明初,朱新明.认知心理学视角下的数学教育[J].数学教育学报,1(2007):16-20.
[5] 王继成.建构思维及其培养[J].数学教育学报,1(2008):15-17.
[6] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京高等教育出版社,2002.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”