一个不定积分题的解法探究

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  [摘要]不定积分是高等数学教学中的一个重点内容,如何解积分题是教学中的难点。通过我在高等数学教学中对不定积分的解题研究,给出了一个不定积分的多种解法,这些解法对于解其他积分题也有很大的帮助作用,值得与读者、同行交流探讨。
  [关键词]高等数学,不定积分,类型,解法
  [基金项目]高职院校数学教学中学生创新能力的培养探究(编号XTZY15J15)
  一、引 言
  求不定积分的方法有:直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法。求积分的难易程度取决于对这些方法运用的灵活程度,在教学中常遇到一些典型的积分,例如∫sinxsinx cosxdx,通过对不定积分的解题方法进行研究,以这个积分为例给出它的多种解法,这些解题方法对求其他积分题也有很大的帮助。
  二、解法探究
  解法1 一般地,对于∫f(sinx,cosx)dx类型的积分,采用万能代换令tanx2=t,化为分式有理函数积分,用部分分式法分解为若干个真分式的代数和,可以求出该积分,但是方法非常繁琐,一般不用这种解法(略)。
  解法2 I=∫sinxsinx cosxdx=∫(sinx cosx)-cosxsinx cosxdx
  =∫dx-∫(cosx-sinx) sinxsinx cosxdx=x-∫1sinx cosxd(sinx cosx)-I=x-ln|sinx cosx|-I。
  移项除以2,得:I=12(x-ln|sinx cosx|) C。
  解法3 分子分母同乘以 cosx-sinx。
  ∫sinxsinx cosxdx=∫sinx(cosx-sinx)cos2x-sin2xdx=∫sinxcosxcos2xdx-∫sin2xcos2xdx
  =-14∫1cos2xd(cos2x)-12∫1-cos2xcos2xdx
  =-14ln|cos2x|-14∫sec2xd(2x) 12∫dx
  =-14ln|cos2x|-14lnsec2x tan2x 12x C
  =-14ln1 sin2x 12x C。
  解法4 分子分母同乘以 sinx cosx。
  ∫sinxsinx cosxdx=∫sinx(sinx cosx)(sinx cosx)2dx=∫sin2x1 sin2xdx ∫sinxcosx1 sin2xdx=12∫1-cos2x1 sin2xdx 12∫sin2x1 sin2xdx
  =12∫11 sin2xdx-14∫11 sin2xd(1 sin2x) 12∫dx-12∫11 sin2xdx=-14ln1 sin2x 12x C。
  解法5 ∫sinxsinx cosxdx=∫sin(x π4-π4)2sinx π4dx
  =∫22sinx π4-22cosx π42sinx π4dx=12∫dx-12∫1sinx π4dsinx π4
  =12x-12lnsinx π4 C。
  解法6 ∫sinxsinx cosxdx=∫cos(x-π4-π4)2cosx-π4dx
  =∫22cosx-π4 22sinx-π42cosx-π4dx=12∫dx-12∫1cosx-π4dcosx-π4=12x-12lncosx-π4 C。
  解法7 将原积分化为∫11 cotxdx,只要求出这个积分即可。
  因为21 cotx=(csc2x-cot2x) 11 cotx=csc2x1 cotx 1-cotx。
  ∫11 cotxdx=12∫11 cotxd1 cotx 12∫dx-12∫cotxdx
  =-12ln1 cotx 12x-12lnsinx C=12x-12ln|sinx cosx| C。
  三、结 语
  从不定积分的不同解法中,不断领悟解题要领,在高等数学教学中坚持下去,就可以做到“举一反三、触类旁通”之效,本文给出的解法权作抛砖引玉,与同行交流学习。
  [参考文献]
  [1]同济大学数学教研室。高等数学(上册,第四版)[M]。北京:高等教育出版社。1996。12。
  [2]西北工业大学高等数学教研室。高等数学(上册)同步学习辅导[M]。西安:西北工业大学出版社。2001。08。
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