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摘要：从应用型人才培养的要求和线性代数课程的特点出发，提出在线性代数教学中要强调应用性，在教学中注重知识背景的介绍；结合专业特点设计典型案例；渗透数学建模的思想，强化应用能力的培养；调整考核方式等，不仅有利于提高线性代数的教学效果，也有利于学生应用、实踐能力的培养。
关键词：应用型；知识背景；典型案例；数学建模
中图分类号：G623.5
高等院校线性代数课程是理、工、农、医、经管等学科的一门非常重要的基础课程。该课程具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性。然而，由于种种原因，该课程的应用特色未能在教学中得到很好的体现，许多学生感受不到这门课程的重要性和应用价值。学生在学习中也经常感到困惑，原因在于大多数高校的线性代数课程学时偏紧，教学倾向于数学知识的灌输，轻视线性代数理论的产生背景，缺乏与实践相结合，这使课程成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程。应用型大学重在培养学生应用能力，在教学中应重视知识的应用背景介绍，重视用实际的问题引发学生思考，重视学生对知识的应用。本文结合线性代数课程教学的实际，探讨如何通过强化应用特色来提高线性代数的教学质量。
一、在线性代数教学中强调应用的必要性
（一）线性代数教学目的的变化
计算机的广泛应用和计算技术的飞速发展，使科学计算和数值模拟已成为各个学科的必要工具和常用手段。这不但对大学生的数学建模、科学计算和信息处理能力提出了新的要求，而且也将使大学数学的课程内容和教学手段带来变化。线性代数教学的目的，不仅要使学生掌握必要的知识，更重要的是使学生了解它的概念、模型、思维方式及解决问题的思想方法，掌握其精髓，形成解决实际问题的能力。这就要求线性代数的教学不能只停留在理论层面上，要着眼于学生的后续发展，将线性代数和学生的专业背景紧密联系起来，逐步培养在其专业内使用这一数学工具的习惯。
（二）应用型人才培养的要求
应用型本科院校其培养目标和培养模式与研究型大学是不同的，研究型大学的学生数学基础好、能力强，他们对人培养的目标要求较高，因此强调理论性，加强数学素养的培养，教授更多的数学理论。而应用型本科院校，在使学生掌握基础知识之上，重在应用知识，因此需要结合人才培养的实际需要选择教学内容和教学方式。有些学校已经做出了改革尝试[1]，有的侧重于借助数学软件平台，将数学知识应用于解决实际问题；有的侧重于介绍课程相关理论知识，介绍了基础数学知识在某相关领域的一些应用。
（三）线性代数改革的需要
学生们普遍觉得“线性代数”课程抽象、枯燥、难学并且和以前的数学知识基本没有联系，从而学习起来比较困难。许多学生感到无从着手，从而失去了学习线性代数的兴趣，更缺乏进一步深入研究的愿望。这就更难希望他们把线性代数知识应用到他们以后的工作学习中。如何激励学生学习线性代数，并能创造性地应用于工程等各相关专业的问题，是一个亟待研究和解决的重要任务。对于非数学专业的学生来说，学习数学的目的在于实际应用。如何恰到好处地结合一些例子让学生明白抽象概念的实际意义，掌握理论和方法，培养其分析问题，解决问题的能力，是线性代数教学改革的关键。
二、在线性代数教学中强调应用性的途径
（一）重视知识的应用背景介绍，使学生了解知识的来龙去脉
线性代数概念较为抽象，许多学生在学习线性代数时，就只会一味的解题，对这门课程的主要内容、相关背景不做了解。这样很容易使学生一味的为了做题而做题。为了避免这种现象，有必要在介绍理论知识的同时，适当的增加线性代数相关的历史、背景及发展现状的介绍，讲述一些具有想象力、创造力的故事。这样有助于学生在轻松的环境下了解知识点的来龙去脉，在对概念进行
理解的同时，还有利于拓广他们知识面，提高他们的数学修养。
在课堂教学中，要尽可能的以应用实例来引入矩阵、行列式、特征值等数学概念。如，通过考虑运动会成绩记录和奖金计算问题引入矩阵的概念和矩阵运算；通过计算机图形学中的图形变换引入矩阵乘法运算；通过行星轨道计算问题和化学方程式配平问题引入线性方程组的求解问题；通过信息编码和解码问题引入逆矩阵概念和矩阵求逆方法；通过几何向量关系和化学成分结构讨论向量的线性关系；通过传染病问题和生物种群的发展趋势引入特征值与特征向量概念，讨论特征值和特征向量相关的理论；通过行星椭圆轨道的半轴计算和化工机械冷却过程中温度分布问题引入相似矩阵和矩阵对角化概念等。
而且，要尽可能寻找与学生的生活息息相关案例来引入线性代数的概念。例如，可以通过这样的例子来引入数学建模中的层次分析法以及矩阵特征值的概念和计算：一位大四学生正从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素是发展前景，经济收入、单位信誉、地理位置等。试建立模型给他提出决策建议。通过这样的实例，学生的理解就是，线性代数与自己的生活密切相关，而解决生活中这些问题的办法就是数学建模：将现实生活中的问题先转化为数学问题，再将数学问题转为能够应用自己的数学知识能够解决的数学问题，针对该问题求解，再将数学问题中的解反馈到实际问题中。这些实际问题的提出，引起了学生浓厚的兴趣，使他们看到了实际问题是如何和数学概念、理论联系起来的，看到了实际问题的数学表述的简洁，从而对数学的基本概念形成和应用有一定的了解，培养学生的创新意识。
（二）结合专业特点设计典型案例，激发学生应用知识的欲望
针对特定专业的学生，在教学中尽可能选择与专业相关的事例，展现如何从中提炼出数学概念，建立相关数学理论，如何用这些理论去解决实际问题，体现出用数学方法处理实际问题的优势。例如讲解线性方程组的例子时，面对经管专业的学生，从经济学上的“投入产出模型”引入线性方程组的概念；面对电子专业的学生，将电路中的基尔霍夫定律引入案例；而对生化专业，可以从化学方程式的配平的引入。这样可以让学生感觉到线性代数与自己的专业有关，很有用；其次建立方程组的过程，可以培养学生数学的建模能力。 下面是在给电工电子类专业的学生讲解线性方程组时，可以结合电路系统课程引入一个图-1的电路网络，根据已知电压和电阻值确定支路中未知电流。首先介绍基尔霍夫定律[2]：⑴ 每一个节点上流入的电流等于流出的电流；⑵ 每一个闭合回路中各元件電压的代数和为零。然后根据基尔霍夫定律进行建模。
图1 电路网络
建立并求解如上的方程组后可以引出一般线性方程组的概念，介绍方程组解的判定法则，解的结构等理论，针对学生的多元方程如何求解的疑问，适当地介绍适合于计算机运算的Seidel迭代法、Jacobi迭代法等近似的数值计算方法。
再如，对于经济、管理专业的学生，选择他们熟悉有用的案例。在工农业生产，经济管理以及交通运输等方面，经常要涉及使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使费用最小、利润最大就是规划问题，而用方程组来解线性规划，就是解决这类问题的常用方法。
如：某企业生产两种产品，要用三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一种产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一种产品乙，分别需要三种原料1，2，1单位；每天三种原料供应能力为6，8，3单位。又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入为300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元。企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？
通过以上的实例，可以使学生充分认识到，线性代数在后续的专业课程学习中确实有许多重要的应用，从而激发学习的兴趣，一定程度上克服畏难情绪，引导学生将来在专业课程学习中主动应用所学的线性代数理论知识解决问题。
（三）渗透数学建模的思想，强化应用能力的培养
将数学建模引入线性代数教学可以激发学生学习的兴趣，调动学生运用知识分析、解决实际问题的主观能动性，使学生真正认识线性代数的实用价值。
完整的数学建模的过程包括模型准备，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析，模型检验，以及模型应用。但线性代数课程毕竟不是专门的数学建模课，因此我们在介绍一些应用案例的时候不求面面俱到，重点放在模型假设，模型建立和模型求解上，侧重点在于体现数学建模的思想，加深学生对抽象概念及相关理论的理解，从而增强教学效果，实现科学性、实用性、趣味性的有机统一。[3]
例如，在讲授矩阵的逆矩阵时，可以通过密码的编译及破译问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题；在讲授矩阵的特征值与特征向量时，可以通过Google搜索网页的排列顺序问题作为引入；在讲授正交矩阵时，可以通过结构化学中原子轨道的杂化问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题；在化二次型为标准形时，可以通过空间曲面（球面、椭圆抛物面及马鞍面等等）作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
把课堂教学和计算机操作结合起来，将复杂的线性代数问题简单化、具体化和形象化，培养学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识和解决实际问题的能力，同时也能保证了教学质量。借助数学实验课，培养学生用线性代数课程知识解决实际问题的能力。因此在课程中适当地引入Matlab实验教学可为学生今后应用该软件在工程、信息等领域进行计算、模拟等打下良好的基础。让学生在感觉到学有所用的同时，强化学生的应用意识，培养学生的实践动手能力，进而加深学生对知识的掌握和理解，增强学生的学习兴趣。[4]
（四）进一步完善网络教学平台，调整考核方式
目前，线性代数的考核方式是在规定时间内闭卷的方式进行的。考试对学生计算能力要求较高，但是实际中应用不大，学生对抽象知识难以理解，机械性计算，大部分学生是为了考试而死记硬背公式定理，过一段时间后，会很快忘记。这种方式是不易反映学生的创造能力和综合能力的。并且平时成绩占期末的10%～30%，所以很难反映学生的真实学习情况。因此，在考试类型上，应该再加入一些和专业相关的有利于学生发挥的试题，或者是通过上机模式，允许查阅资料，模拟实际问题环境，考查学生动手，自学能力，从而从客观上真实反映学生学习情况。
三、结束语
面向大众化教育时代，按不同的层次培养人才，提高人才素质是目前高等教育改革的重要趋势。应用型本科院校以培养高素质应用型本科人才为目标，必须进行“线性代数”课程的教学方法的改革。在线性代数的教学过程中注重改革教学方法，有意识地培养学生的应用意识、应用能力，注重知识的背景介绍，融入数学建模思想，将代数理论与实际问题和计算机等有机结合，才能真正体现传授知识、培养能力和提高教学效率的有机统一。
参考文献：
[1] 江新华，姜广峰，姜冬青，郭玲，李秋姝.实际问题驱动下的线性代数课程教学探索[J].：78-82.
[2] Steven J.Leon. Linear Algebra with Applications，Sixth Edition[M].Pearson Education， Inc， 2002：22-23.
[3] 张小向.线性代数课程教学中怎样体现数学建模思想[OL]. 中国科技论文在线. http：//www.paper.edu.cn.
[4] 高淑萍.线性代数课程MATLAB实验内容的教学与研究[J].中国电子教育，2007（4）：59—62.
关键词：应用型；知识背景；典型案例；数学建模
中图分类号：G623.5
高等院校线性代数课程是理、工、农、医、经管等学科的一门非常重要的基础课程。该课程具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性。然而，由于种种原因，该课程的应用特色未能在教学中得到很好的体现，许多学生感受不到这门课程的重要性和应用价值。学生在学习中也经常感到困惑，原因在于大多数高校的线性代数课程学时偏紧，教学倾向于数学知识的灌输，轻视线性代数理论的产生背景，缺乏与实践相结合，这使课程成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程。应用型大学重在培养学生应用能力，在教学中应重视知识的应用背景介绍，重视用实际的问题引发学生思考，重视学生对知识的应用。本文结合线性代数课程教学的实际，探讨如何通过强化应用特色来提高线性代数的教学质量。
一、在线性代数教学中强调应用的必要性
（一）线性代数教学目的的变化
计算机的广泛应用和计算技术的飞速发展，使科学计算和数值模拟已成为各个学科的必要工具和常用手段。这不但对大学生的数学建模、科学计算和信息处理能力提出了新的要求，而且也将使大学数学的课程内容和教学手段带来变化。线性代数教学的目的，不仅要使学生掌握必要的知识，更重要的是使学生了解它的概念、模型、思维方式及解决问题的思想方法，掌握其精髓，形成解决实际问题的能力。这就要求线性代数的教学不能只停留在理论层面上，要着眼于学生的后续发展，将线性代数和学生的专业背景紧密联系起来，逐步培养在其专业内使用这一数学工具的习惯。
（二）应用型人才培养的要求
应用型本科院校其培养目标和培养模式与研究型大学是不同的，研究型大学的学生数学基础好、能力强，他们对人培养的目标要求较高，因此强调理论性，加强数学素养的培养，教授更多的数学理论。而应用型本科院校，在使学生掌握基础知识之上，重在应用知识，因此需要结合人才培养的实际需要选择教学内容和教学方式。有些学校已经做出了改革尝试[1]，有的侧重于借助数学软件平台，将数学知识应用于解决实际问题；有的侧重于介绍课程相关理论知识，介绍了基础数学知识在某相关领域的一些应用。
（三）线性代数改革的需要
学生们普遍觉得“线性代数”课程抽象、枯燥、难学并且和以前的数学知识基本没有联系，从而学习起来比较困难。许多学生感到无从着手，从而失去了学习线性代数的兴趣，更缺乏进一步深入研究的愿望。这就更难希望他们把线性代数知识应用到他们以后的工作学习中。如何激励学生学习线性代数，并能创造性地应用于工程等各相关专业的问题，是一个亟待研究和解决的重要任务。对于非数学专业的学生来说，学习数学的目的在于实际应用。如何恰到好处地结合一些例子让学生明白抽象概念的实际意义，掌握理论和方法，培养其分析问题，解决问题的能力，是线性代数教学改革的关键。
二、在线性代数教学中强调应用性的途径
（一）重视知识的应用背景介绍，使学生了解知识的来龙去脉
线性代数概念较为抽象，许多学生在学习线性代数时，就只会一味的解题，对这门课程的主要内容、相关背景不做了解。这样很容易使学生一味的为了做题而做题。为了避免这种现象，有必要在介绍理论知识的同时，适当的增加线性代数相关的历史、背景及发展现状的介绍，讲述一些具有想象力、创造力的故事。这样有助于学生在轻松的环境下了解知识点的来龙去脉，在对概念进行
理解的同时，还有利于拓广他们知识面，提高他们的数学修养。
在课堂教学中，要尽可能的以应用实例来引入矩阵、行列式、特征值等数学概念。如，通过考虑运动会成绩记录和奖金计算问题引入矩阵的概念和矩阵运算；通过计算机图形学中的图形变换引入矩阵乘法运算；通过行星轨道计算问题和化学方程式配平问题引入线性方程组的求解问题；通过信息编码和解码问题引入逆矩阵概念和矩阵求逆方法；通过几何向量关系和化学成分结构讨论向量的线性关系；通过传染病问题和生物种群的发展趋势引入特征值与特征向量概念，讨论特征值和特征向量相关的理论；通过行星椭圆轨道的半轴计算和化工机械冷却过程中温度分布问题引入相似矩阵和矩阵对角化概念等。
而且，要尽可能寻找与学生的生活息息相关案例来引入线性代数的概念。例如，可以通过这样的例子来引入数学建模中的层次分析法以及矩阵特征值的概念和计算：一位大四学生正从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素是发展前景，经济收入、单位信誉、地理位置等。试建立模型给他提出决策建议。通过这样的实例，学生的理解就是，线性代数与自己的生活密切相关，而解决生活中这些问题的办法就是数学建模：将现实生活中的问题先转化为数学问题，再将数学问题转为能够应用自己的数学知识能够解决的数学问题，针对该问题求解，再将数学问题中的解反馈到实际问题中。这些实际问题的提出，引起了学生浓厚的兴趣，使他们看到了实际问题是如何和数学概念、理论联系起来的，看到了实际问题的数学表述的简洁，从而对数学的基本概念形成和应用有一定的了解，培养学生的创新意识。
（二）结合专业特点设计典型案例，激发学生应用知识的欲望
针对特定专业的学生，在教学中尽可能选择与专业相关的事例，展现如何从中提炼出数学概念，建立相关数学理论，如何用这些理论去解决实际问题，体现出用数学方法处理实际问题的优势。例如讲解线性方程组的例子时，面对经管专业的学生，从经济学上的“投入产出模型”引入线性方程组的概念；面对电子专业的学生，将电路中的基尔霍夫定律引入案例；而对生化专业，可以从化学方程式的配平的引入。这样可以让学生感觉到线性代数与自己的专业有关，很有用；其次建立方程组的过程，可以培养学生数学的建模能力。 下面是在给电工电子类专业的学生讲解线性方程组时，可以结合电路系统课程引入一个图-1的电路网络，根据已知电压和电阻值确定支路中未知电流。首先介绍基尔霍夫定律[2]：⑴ 每一个节点上流入的电流等于流出的电流；⑵ 每一个闭合回路中各元件電压的代数和为零。然后根据基尔霍夫定律进行建模。
图1 电路网络
建立并求解如上的方程组后可以引出一般线性方程组的概念，介绍方程组解的判定法则，解的结构等理论，针对学生的多元方程如何求解的疑问，适当地介绍适合于计算机运算的Seidel迭代法、Jacobi迭代法等近似的数值计算方法。
再如，对于经济、管理专业的学生，选择他们熟悉有用的案例。在工农业生产，经济管理以及交通运输等方面，经常要涉及使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使费用最小、利润最大就是规划问题，而用方程组来解线性规划，就是解决这类问题的常用方法。
如：某企业生产两种产品，要用三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一种产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一种产品乙，分别需要三种原料1，2，1单位；每天三种原料供应能力为6，8，3单位。又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入为300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元。企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？
通过以上的实例，可以使学生充分认识到，线性代数在后续的专业课程学习中确实有许多重要的应用，从而激发学习的兴趣，一定程度上克服畏难情绪，引导学生将来在专业课程学习中主动应用所学的线性代数理论知识解决问题。
（三）渗透数学建模的思想，强化应用能力的培养
将数学建模引入线性代数教学可以激发学生学习的兴趣，调动学生运用知识分析、解决实际问题的主观能动性，使学生真正认识线性代数的实用价值。
完整的数学建模的过程包括模型准备，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析，模型检验，以及模型应用。但线性代数课程毕竟不是专门的数学建模课，因此我们在介绍一些应用案例的时候不求面面俱到，重点放在模型假设，模型建立和模型求解上，侧重点在于体现数学建模的思想，加深学生对抽象概念及相关理论的理解，从而增强教学效果，实现科学性、实用性、趣味性的有机统一。[3]
例如，在讲授矩阵的逆矩阵时，可以通过密码的编译及破译问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题；在讲授矩阵的特征值与特征向量时，可以通过Google搜索网页的排列顺序问题作为引入；在讲授正交矩阵时，可以通过结构化学中原子轨道的杂化问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题；在化二次型为标准形时，可以通过空间曲面（球面、椭圆抛物面及马鞍面等等）作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
把课堂教学和计算机操作结合起来，将复杂的线性代数问题简单化、具体化和形象化，培养学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识和解决实际问题的能力，同时也能保证了教学质量。借助数学实验课，培养学生用线性代数课程知识解决实际问题的能力。因此在课程中适当地引入Matlab实验教学可为学生今后应用该软件在工程、信息等领域进行计算、模拟等打下良好的基础。让学生在感觉到学有所用的同时，强化学生的应用意识，培养学生的实践动手能力，进而加深学生对知识的掌握和理解，增强学生的学习兴趣。[4]
（四）进一步完善网络教学平台，调整考核方式
目前，线性代数的考核方式是在规定时间内闭卷的方式进行的。考试对学生计算能力要求较高，但是实际中应用不大，学生对抽象知识难以理解，机械性计算，大部分学生是为了考试而死记硬背公式定理，过一段时间后，会很快忘记。这种方式是不易反映学生的创造能力和综合能力的。并且平时成绩占期末的10%～30%，所以很难反映学生的真实学习情况。因此，在考试类型上，应该再加入一些和专业相关的有利于学生发挥的试题，或者是通过上机模式，允许查阅资料，模拟实际问题环境，考查学生动手，自学能力，从而从客观上真实反映学生学习情况。
三、结束语
面向大众化教育时代，按不同的层次培养人才，提高人才素质是目前高等教育改革的重要趋势。应用型本科院校以培养高素质应用型本科人才为目标，必须进行“线性代数”课程的教学方法的改革。在线性代数的教学过程中注重改革教学方法，有意识地培养学生的应用意识、应用能力，注重知识的背景介绍，融入数学建模思想，将代数理论与实际问题和计算机等有机结合，才能真正体现传授知识、培养能力和提高教学效率的有机统一。
参考文献：
[1] 江新华，姜广峰，姜冬青，郭玲，李秋姝.实际问题驱动下的线性代数课程教学探索[J].：78-82.
[2] Steven J.Leon. Linear Algebra with Applications，Sixth Edition[M].Pearson Education， Inc， 2002：22-23.
[3] 张小向.线性代数课程教学中怎样体现数学建模思想[OL]. 中国科技论文在线. http：//www.paper.edu.cn.
[4] 高淑萍.线性代数课程MATLAB实验内容的教学与研究[J].中国电子教育，2007（4）：59—62.