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【内容摘要】模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，本文阐述了在聋校渗透方程模型思想的意义，并结合自己的教学经验具体讨论了如何在聋校数学课堂渗透方程模型思想。
【关键词】数学建模 方程模型思想 聋生
引言
《数学课程标准》在课程内容部分明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。
方程在数学中处于一个核心的地位，它有着悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且在各个领域都具有极其广泛的应用价值。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。方程是中学数学的重要内容，也是数学中的基本运算工具。它对培养学生分析问题解决问题的能力都有重要的作用，用方程描述实际问题中的等量关系，使学生体会方程建模的思想，感悟用方程解决一般问题的步骤，方程模型的建立更是建立不等式、函数等数学模型的基础。
一、理论概述
1.数学模型
数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象作出抽象或模拟而形成的一种数学结构。数学模型可作广义理解和狭义理解，按广义理解，凡一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可称为数学模型；按狭义理解，只有反映特定问题或特定的具体事物系统数学关系结构，才叫做数学模型。在现代应用数学中，数学模型都作狭义的解释，构造数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题。
2.方程模型思想
方程是刻画现实世界中数量相等关系的数学模型。它可以帮助人们更准确清晰地认识、描述和把握现实世界。它从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程（组）模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。而通过构造方程模型来解决有关问题的方法则称为方程模型思想。
二、方程模型思想的渗透
1.在聋校渗透方程模型思想的意义
多年来，无数的聋校数学教育工作者一直在不断地探索积极有效的教学方法。并意识到，从发展的角度来看，教学中要让聋生经历分析、比较、抽象、概括、综合、归纳、总结等思维过程，逐渐脱离单纯的直观学习方式和直观经验获得方式。这意味着聋生数学学习的过程，是一个逐渐走向抽象的过程，数学建模是使聋生的思维方式由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡和发展的过程。对培养聋生的观察分析能力，逻辑思维能力有十分重要的意义。使聋生在学习中更灵活地运用所学的数学知识。方程（组）是中学代数的重要内容之一，是中学数学的一条主线，也是数学世界中的一个基本模型。它要求聋生能将语言描述、图像、表格等转换成数学语言，最终抽象成数学模型。对于聋生来说，方程模型思想的渗透不仅有利于培养他们分析问题解决问题的能力，更能为他们可持续性学习打下良好的基础。
2.如何在聋校教学中渗透方程模型思想
数学建模是一种全新的数学思想，在聋校渗透方程模型思想，是一个循序渐进的、持久的过程。
（1）提高聋生解方程的运算技能
解方程的能力是聋生运用方程模型思想解决实际问题的基础。针对聋生数学学习的特点，聋校的数学教学中，一定要注重对聋生运算能力的培养。在培养聋生的运算能力时，一定要让聋生养成正确的运算习惯和书写格式。首先，教师要做到在黑板上书写规范，做好示范作用。其次，教师应要求聋生独立并按规范步骤解题，还要让聋生养成检查、验算的习惯。聋生由于的逻辑思维和语言能力的障碍，在解题的时候，表达往往词不达意。有些教师为了图省事，只让聋生用算式表达解题过程，殊不知，这样不仅不能提高聋生的能力，还造成聋生在解方程时对于求解过程只知其然而不知其所以然，更会给聋生后面的学习留下障碍。
例1：解分式方程：
解：两边同乘以（x 3）（x-3），约去分母得：
4（x-3） x（x 3）=（x 3）（x-3）-2x
去括号得：
4x-12 x2 3x=x2-9-2x
移项、合并同类项得：
9x=3
系数化为1得：
x=1/3
经检验，x=1/3是原方程的解，所以，原方程的根为x=1/3。
这样完整的解题过程，使聋生不仅仅学会了计算，更能让他们理解这每一步运算的依据，做到知其然也知其所以然。
（2）加强聋生数学阅读能力的培养
美国学者柯尔（C. G. Corle）归纳出的数学阅读理论指出：“数学阅读能力是一种重要的数学能力，是数学思维的基础，对于解决问题具有重要作用。”但对于聋生，有调查表明，刚入学的聋生，语言能力甚至不到一周岁的孩子。可想而知语言是他们学习上最大的障碍，要提高聋生分析问题、解决问题的能力，必须对聋生加强阅读理解的训练。在培养聋生的阅读数学题时，尽量能从以下几步入手。第一步，从头到尾逐字逐句地仔细通读一遍，明确条件和问题。第二部，把实际问题中给出的概念、条件、数量转化为数学中有关的语言、符号、概念、公式、定理、方法等等。并将相关语言翻译为数学语言，进而确定相关量之间的数量关系，最终建立方程模型。
（3）创设情境，让聋生体会方程模型是刻画现实世界的一个有效的数学模型
《数学课程》标准特别提出“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型：能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。”
培养聋生构建方程模型的能力，要从以下几方面入手。第一步，能正确分析题目中的等量关系，它是列方程的依据，这就要求聋生能将一些常见的数量关系概括成关系式，如：单价×数量=总价、速度×时间=路程、工作效率×工作时间=工作总量、亩产量×亩数=总产量、利润=售价-成本价等，应使聋生在理解的基础上熟记，这对聋生掌握数量关系及寻找解题线索都是有好处的。第二步，学会巧设未知数，设未知数建立方程模型基础，它直接关系到建立方程的难易程度，必要的时候也可以借助图象、表格等整理信息。第三步，验证解在现实情境中的合理性。 例3：一组学生组织春游，预计共需费用120元。后来又有2人参加进来，费用不变，这样，每人可少分摊3元。问原来这组学生的人数是多少？
分析：本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用加人后该组学生每人分摊的费用=3元。
设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表：
解：设原来这组学生的人数是x人，那么每人分摊的费用是120/x元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是120/（x 2）元。根据题意得：
方程两边同乘以x（x 2），整理得：
x2 2x-80=0
解这个方程，得：
x1=-10，x2=8
经检验，x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x=-10不合题意，所以取x=8。
因而，这组学生原来有8人。
例4：有一张长方形的桌子，长2米，宽1米，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的两倍。求桌布的长和宽各式多少？
分析：本题的等量关系是：桌布面积=桌面面积的两倍，但是由于桌布本身的长宽之间的关系并不知道，所以直接设桌布的长和宽为未知数都增加了列方程的难度。因此，我们不妨抓住“各边垂下的长度相等”这句话，设各边垂下的长度为x米。
解：设各边都垂下x米，由桌子长2米，宽1米，可知桌布的长为2 2x米，宽为1 2x米，则桌布的面积为（2 2x）（1 2x），根据题意得：
（2 2x）（1 2x）=2×2×1
整理得：4x2 5x-2=0
解得：
显然，x2不符合题意，取x1，从而求出桌布的长与宽。
通过丰富的实际问题，引导学生正确理解实际问题情境，在分析问题、解决问题的过程中感受数学建模思想，增强用数学的思维方式思考问题、解决问题的能力。既体现方程模型的思想的内涵，也体现了方程是刻画现实世界的有效模型。它的基本思路是“实际问题——分析抽象——建立模型——实际问题”。这也正是体现了数学建模的实用价值。
（4）教学多以聋生的生活经验为背景，提高聋生学习的积极性
《数学课程标准》明确指出：“要重视从学生的生活实践和已有的知识中学习数学和理解数学。”这就是说，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。对聋生来说，生活中的体验是他们的直接经验。因此，在数学教学中，应多从聋生的生活经验和已有的生活背景出发，联系生活讲数学，把生活问题数学化，数学问题生活化。对于聋生来说，如果聋生头脑中的数学模型，是现实生活中他们熟悉的事物，让他们体会到数学就在身边，将会调动他们学习的积极性。因此，聋校的数学课堂想要渗透模型思想，教师要多从生活中的事例入手，这样，既能激发学生的学习热情，也进一步体现了数学模型的应用价值。
（5）拓展应用，使聋生的数学学习有可延续性
新的课程标准提出，数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，这不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习发展的规律，还要为学生可持续性学习打下基础。聋校课堂想要完成这一目标，更应在现有的知识基础上进行拓展。
例5：某班举行趣味数学主题班会，辅导员王老师第一个发言，他说：“我出生年份的数字之和恰巧等于我2000年的年龄”。请问王老师出生在哪一年？2000年王老师几岁？
分析：本题的等量关系是：王老师出生年份的数字之和=王老师2000年的年龄，因为王老师出生年份的数字之和，需要用到个位和十位两个未知数。
解：设王老师出生年份的十位数字为x，个位数字为y，则王老师出生年份的数字之和是1 9 x y，王老师2000年的年龄是：
2000-（1000 900 10x y）
根据题意可得：
2000-（1000 900 10x y）
=1 9 x y
化简得11x 2y=90
如果按照常规思维，一个方程含有两个未知数，方程有无数组解，无法确定方程的解。可是根据问题的实际情景和方程式本身来看：出生年份的十位数字和个位数数字均为小于10的非负正整数，且x为偶数。
取x=0，2，4，6，8代入，可得解为x=8，y=1。
因此可知王老师出生于1981年，2000年王老师19岁。
拓展应用是学习数学知识，运用数学知识的核心。可以增强聋生用数学的思维方式思考问题、解决问题的能力，也可以增强他们的自信心，是聋生进一步学习数学、体验数学建模的垫脚石。
建立方程模型是一种重要的数学思想，它不是单一的为了解决某一类问题，而是要我们学会用这种思想去统串具体知识、具体问题的解法，培养和发展学生的数学能力。教学中，我们应适当拓展学生的视野，增强学生用方程模型解决问题的意识和能力，丰富学生解决问题的策略，帮助聋生体会建立数学模型的意义，使聋生的数学素养得到更好的发展。
【参考文献】
[1] 王仲春. 数学思维与数学方法论[M]. 北京：高等教育出版社，1999.
[2] 刘林青. 初中数学方程思想应用例谈[J]. 青海教育，2005（12）.
[3] 赵振威. 中学数学教材教法[M].上海：华东师范大学出版社，2006.
[4] 张思明. 中学数学建模教学的实践与探索[M]. 北京教育出版社，1998.
[5] 侯亚林. 数学建模在中学数学中的应用[J]. 湖北成人教育学院学报，2009.
[6] 文庆城. 现代化学教学论[M]. 北京：科学出版社，2009：184～193.
（作者单位：安徽省合肥市特殊教育中心）
【关键词】数学建模 方程模型思想 聋生
引言
《数学课程标准》在课程内容部分明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。
方程在数学中处于一个核心的地位，它有着悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且在各个领域都具有极其广泛的应用价值。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。方程是中学数学的重要内容，也是数学中的基本运算工具。它对培养学生分析问题解决问题的能力都有重要的作用，用方程描述实际问题中的等量关系，使学生体会方程建模的思想，感悟用方程解决一般问题的步骤，方程模型的建立更是建立不等式、函数等数学模型的基础。
一、理论概述
1.数学模型
数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象作出抽象或模拟而形成的一种数学结构。数学模型可作广义理解和狭义理解，按广义理解，凡一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可称为数学模型；按狭义理解，只有反映特定问题或特定的具体事物系统数学关系结构，才叫做数学模型。在现代应用数学中，数学模型都作狭义的解释，构造数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题。
2.方程模型思想
方程是刻画现实世界中数量相等关系的数学模型。它可以帮助人们更准确清晰地认识、描述和把握现实世界。它从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程（组）模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。而通过构造方程模型来解决有关问题的方法则称为方程模型思想。
二、方程模型思想的渗透
1.在聋校渗透方程模型思想的意义
多年来，无数的聋校数学教育工作者一直在不断地探索积极有效的教学方法。并意识到，从发展的角度来看，教学中要让聋生经历分析、比较、抽象、概括、综合、归纳、总结等思维过程，逐渐脱离单纯的直观学习方式和直观经验获得方式。这意味着聋生数学学习的过程，是一个逐渐走向抽象的过程，数学建模是使聋生的思维方式由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡和发展的过程。对培养聋生的观察分析能力，逻辑思维能力有十分重要的意义。使聋生在学习中更灵活地运用所学的数学知识。方程（组）是中学代数的重要内容之一，是中学数学的一条主线，也是数学世界中的一个基本模型。它要求聋生能将语言描述、图像、表格等转换成数学语言，最终抽象成数学模型。对于聋生来说，方程模型思想的渗透不仅有利于培养他们分析问题解决问题的能力，更能为他们可持续性学习打下良好的基础。
2.如何在聋校教学中渗透方程模型思想
数学建模是一种全新的数学思想，在聋校渗透方程模型思想，是一个循序渐进的、持久的过程。
（1）提高聋生解方程的运算技能
解方程的能力是聋生运用方程模型思想解决实际问题的基础。针对聋生数学学习的特点，聋校的数学教学中，一定要注重对聋生运算能力的培养。在培养聋生的运算能力时，一定要让聋生养成正确的运算习惯和书写格式。首先，教师要做到在黑板上书写规范，做好示范作用。其次，教师应要求聋生独立并按规范步骤解题，还要让聋生养成检查、验算的习惯。聋生由于的逻辑思维和语言能力的障碍，在解题的时候，表达往往词不达意。有些教师为了图省事，只让聋生用算式表达解题过程，殊不知，这样不仅不能提高聋生的能力，还造成聋生在解方程时对于求解过程只知其然而不知其所以然，更会给聋生后面的学习留下障碍。
例1：解分式方程：
解：两边同乘以（x 3）（x-3），约去分母得：
4（x-3） x（x 3）=（x 3）（x-3）-2x
去括号得：
4x-12 x2 3x=x2-9-2x
移项、合并同类项得：
9x=3
系数化为1得：
x=1/3
经检验，x=1/3是原方程的解，所以，原方程的根为x=1/3。
这样完整的解题过程，使聋生不仅仅学会了计算，更能让他们理解这每一步运算的依据，做到知其然也知其所以然。
（2）加强聋生数学阅读能力的培养
美国学者柯尔（C. G. Corle）归纳出的数学阅读理论指出：“数学阅读能力是一种重要的数学能力，是数学思维的基础，对于解决问题具有重要作用。”但对于聋生，有调查表明，刚入学的聋生，语言能力甚至不到一周岁的孩子。可想而知语言是他们学习上最大的障碍，要提高聋生分析问题、解决问题的能力，必须对聋生加强阅读理解的训练。在培养聋生的阅读数学题时，尽量能从以下几步入手。第一步，从头到尾逐字逐句地仔细通读一遍，明确条件和问题。第二部，把实际问题中给出的概念、条件、数量转化为数学中有关的语言、符号、概念、公式、定理、方法等等。并将相关语言翻译为数学语言，进而确定相关量之间的数量关系，最终建立方程模型。
（3）创设情境，让聋生体会方程模型是刻画现实世界的一个有效的数学模型
《数学课程》标准特别提出“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型：能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。”
培养聋生构建方程模型的能力，要从以下几方面入手。第一步，能正确分析题目中的等量关系，它是列方程的依据，这就要求聋生能将一些常见的数量关系概括成关系式，如：单价×数量=总价、速度×时间=路程、工作效率×工作时间=工作总量、亩产量×亩数=总产量、利润=售价-成本价等，应使聋生在理解的基础上熟记，这对聋生掌握数量关系及寻找解题线索都是有好处的。第二步，学会巧设未知数，设未知数建立方程模型基础，它直接关系到建立方程的难易程度，必要的时候也可以借助图象、表格等整理信息。第三步，验证解在现实情境中的合理性。 例3：一组学生组织春游，预计共需费用120元。后来又有2人参加进来，费用不变，这样，每人可少分摊3元。问原来这组学生的人数是多少？
分析：本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用加人后该组学生每人分摊的费用=3元。
设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表：
解：设原来这组学生的人数是x人，那么每人分摊的费用是120/x元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是120/（x 2）元。根据题意得：
方程两边同乘以x（x 2），整理得：
x2 2x-80=0
解这个方程，得：
x1=-10，x2=8
经检验，x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x=-10不合题意，所以取x=8。
因而，这组学生原来有8人。
例4：有一张长方形的桌子，长2米，宽1米，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的两倍。求桌布的长和宽各式多少？
分析：本题的等量关系是：桌布面积=桌面面积的两倍，但是由于桌布本身的长宽之间的关系并不知道，所以直接设桌布的长和宽为未知数都增加了列方程的难度。因此，我们不妨抓住“各边垂下的长度相等”这句话，设各边垂下的长度为x米。
解：设各边都垂下x米，由桌子长2米，宽1米，可知桌布的长为2 2x米，宽为1 2x米，则桌布的面积为（2 2x）（1 2x），根据题意得：
（2 2x）（1 2x）=2×2×1
整理得：4x2 5x-2=0
解得：
显然，x2不符合题意，取x1，从而求出桌布的长与宽。
通过丰富的实际问题，引导学生正确理解实际问题情境，在分析问题、解决问题的过程中感受数学建模思想，增强用数学的思维方式思考问题、解决问题的能力。既体现方程模型的思想的内涵，也体现了方程是刻画现实世界的有效模型。它的基本思路是“实际问题——分析抽象——建立模型——实际问题”。这也正是体现了数学建模的实用价值。
（4）教学多以聋生的生活经验为背景，提高聋生学习的积极性
《数学课程标准》明确指出：“要重视从学生的生活实践和已有的知识中学习数学和理解数学。”这就是说，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。对聋生来说，生活中的体验是他们的直接经验。因此，在数学教学中，应多从聋生的生活经验和已有的生活背景出发，联系生活讲数学，把生活问题数学化，数学问题生活化。对于聋生来说，如果聋生头脑中的数学模型，是现实生活中他们熟悉的事物，让他们体会到数学就在身边，将会调动他们学习的积极性。因此，聋校的数学课堂想要渗透模型思想，教师要多从生活中的事例入手，这样，既能激发学生的学习热情，也进一步体现了数学模型的应用价值。
（5）拓展应用，使聋生的数学学习有可延续性
新的课程标准提出，数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，这不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习发展的规律，还要为学生可持续性学习打下基础。聋校课堂想要完成这一目标，更应在现有的知识基础上进行拓展。
例5：某班举行趣味数学主题班会，辅导员王老师第一个发言，他说：“我出生年份的数字之和恰巧等于我2000年的年龄”。请问王老师出生在哪一年？2000年王老师几岁？
分析：本题的等量关系是：王老师出生年份的数字之和=王老师2000年的年龄，因为王老师出生年份的数字之和，需要用到个位和十位两个未知数。
解：设王老师出生年份的十位数字为x，个位数字为y，则王老师出生年份的数字之和是1 9 x y，王老师2000年的年龄是：
2000-（1000 900 10x y）
根据题意可得：
2000-（1000 900 10x y）
=1 9 x y
化简得11x 2y=90
如果按照常规思维，一个方程含有两个未知数，方程有无数组解，无法确定方程的解。可是根据问题的实际情景和方程式本身来看：出生年份的十位数字和个位数数字均为小于10的非负正整数，且x为偶数。
取x=0，2，4，6，8代入，可得解为x=8，y=1。
因此可知王老师出生于1981年，2000年王老师19岁。
拓展应用是学习数学知识，运用数学知识的核心。可以增强聋生用数学的思维方式思考问题、解决问题的能力，也可以增强他们的自信心，是聋生进一步学习数学、体验数学建模的垫脚石。
建立方程模型是一种重要的数学思想，它不是单一的为了解决某一类问题，而是要我们学会用这种思想去统串具体知识、具体问题的解法，培养和发展学生的数学能力。教学中，我们应适当拓展学生的视野，增强学生用方程模型解决问题的意识和能力，丰富学生解决问题的策略，帮助聋生体会建立数学模型的意义，使聋生的数学素养得到更好的发展。
【参考文献】
[1] 王仲春. 数学思维与数学方法论[M]. 北京：高等教育出版社，1999.
[2] 刘林青. 初中数学方程思想应用例谈[J]. 青海教育，2005（12）.
[3] 赵振威. 中学数学教材教法[M].上海：华东师范大学出版社，2006.
[4] 张思明. 中学数学建模教学的实践与探索[M]. 北京教育出版社，1998.
[5] 侯亚林. 数学建模在中学数学中的应用[J]. 湖北成人教育学院学报，2009.
[6] 文庆城. 现代化学教学论[M]. 北京：科学出版社，2009：184～193.
（作者单位：安徽省合肥市特殊教育中心）