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【摘要】“圆的认识”课案旨在从追根溯源中探寻圆的本质属性，在问题引领下让学习向深度发展。本课案通过“什么是圆”“圆里有什么”“怎样画圆”三个核心问题引领全课，借助“用细绳和皮筋拴着的两个小球”的对比实验，并辅之以课件，建立圆的模型，进而使学生形成对圆的本质属性丰富而深刻的认识。
【关键词】圆的认识;问题引领;教学策略
对于“圆的认识”该如何教学，一线名师都有自己独特的阐述。然而，把他们的教学设计加以对比分析，我们会惊奇地发现，这些名师的设计都指向了一个共同的地方，即努力使学生明白“什么是圆”。那么，如何在符合学生认知的前提下，引导学生“追根溯圆”，探寻圆的本质，真正理解“什么是圆”，让学习向更深处漫溯呢？下面，笔者结合教学实践中的几个片段来谈一些体会。
一、导入的艺术：问题引领，本质为纲
教师在黑板上用圆形饼干盒描画一个圆后提问：圆真的像我们看到的这样简单吗？对此你有什么疑问或想法？学生交流后提出：（1）除了用圆形物体描画圆，還可以怎样画圆，怎样画大小不同的圆？（2）圆里有没有藏着什么秘密？（3）圆的周长和面积怎么计算？（4）圆这个图形是怎么来的？
教师根据学生的回答整理并记录：（1）什么是圆？（2）圆里有什么？（3）怎样画圆？（见图1）
【分析】对于本课的导入，笔者一般的做法是先出示生活中的物体，揭示课题，再有序开展认知活动，但这节课不同，其高明之处在于：用问题引领，目标明确，快速高效。“提出一个问题比解决一个问题更重要。”数学学习实际上就是不断地发现、提出、分析并解决问题，以此获取知识的增长。因此，在教学过程中，教师用“问题”引领课堂，能更加有效地提升教学效果。本节课用三个核心问题“什么是圆”“圆里有什么”“怎样画圆”引领全课，将“大问题”作为核心，以“新问题”为纽带，层层递进，能加深学生对知识的理解。
二、概念的形成：巧设模型，抽象本质
究竟什么是圆呢？
【实验一】
（1）动手操作：学生分小组操作，用细绳拴住两个小球（见图2），尝试用它形成一个圆。
（2）讨论交流：怎么才能形成圆？形成圆的过程中哪个球在旋转？谁绕着谁旋转？ 谁在动，谁没动？
（3）反思：为什么有的小组没有变出圆来？（旋转过程中要让中心球保持不动。）
（4）小结：用细绳拴着的两个小球，只要让一个小球固定不动，另一个小球绕着它不停地旋转，就能形成圆。
【实验二】
（1）动手操作：学生分小组操作用橡皮筋拴着的两个小球（见图3）。
（2）讨论交流：这次与第一次有什么不同？不能形成圆的原因是什么？（橡皮筋有弹性，旋转时两个小球之间的距离会发生变化。）
（3）小结：要形成圆，不仅要让一个小球固定不动，还要让两个小球之间的距离保持不变。
【课件演示】（见图4）
（1）从数学角度看，拴着两个小球的细绳就是一条线段。两个小球就可以看成线段的两个端点。
（2）大球绕着小球旋转，在此过程中两点之间的距离保持不变，形成的无数个点集合在一起围成了一条封闭的曲线，这条曲线就是圆。
（3）请学生看着线段结合自己的体会说说什么是圆。
【分析】要使学生真正理解和掌握圆的基本特征就要让其知道圆的本质，即圆的定义。因此，在教学时，教师就不能绕开“什么是圆”这个核心问题。然而，对于“在平面内，到定点距离等于定长的点的集合叫作圆”这样的数学语言，学生很难理解。怎样在科学性的前提下，用学生可以理解的形式和语言，表达出圆的本质属性，使学生真正理解“什么是圆”，就需要教师进行教学法的创新[1]。因此，教师选择了图2和图3中的两种教具。通过对比实验，学生对“定点”“定长”有了初步的了解，再结合课件抽象出这一过程，逐渐理解了圆的本质属性，建立了数学模型，实现了知识的建构，同时感悟了极限思想和集合思想。
课中的两层抽象也很成功，先是从生活现象向几何数学的抽象，从球的旋转抽象出几何图形;再是从孤立点到点集，再到曲线的抽象，两级抽象，递进提升。
三、概念的校准：正反修正，多维观察
师：你能徒手画出一个圆吗？谁能说一说老师是怎样徒手画出圆的？
……
师：要想画出一个标准的圆，还需要借助一种工具。请你用圆规在作业纸上试着画一个圆。这里有一位同学的作品（图略），谁能结合自己画圆的体会，分析一下他画圆失败的原因？
生：可能是针尖动了。
生：可能是两脚距离动了。
师：这幅作品（见图5）很有意思，看到这些圆，你联想到生活中的哪些画面？
生：飞镖靶子、棒棒糖、催眠用的图案、雷达扫描、树的年轮、石子掉进水里荡起的涟漪……
图5
【分析】经过活动与抽象，学生知道了什么是圆，正向观察标准确立了。但还有个问题需要注意：为什么有的不是圆？对此，教师安排了反向观察，抓住“画圆不准”来分析，即针尖松动了就不符合定点的要求，两脚距离动了也不符合定长的要求。
【商榷】让学生联想生活画面，有助于将数学知识和生活联系起来。学生联想到“飞镖靶子”“棒棒糖”等，活跃了思维。但这里需要概括语：“同学们联想到的有些是圆形，有些是近似圆形的生活画面。”因为其中“树的年轮”“催眠图”等不一定为准确的圆，需要科学表述。如果课堂时机合适，教师可以继续拓展：“和上面联想的内容相似，我们发现，生活中的容器如碗、碟等，自然界植物的茎、花、果等往往与圆的形状有关，这说明圆形在生活中有独特的优势。对于其中的秘密，同学们可以课外借助互联网来研究。”几何现象的本质是生活现象，这一思维模式的建立对思维品质的提升具有重要意义。
四、理解的深化：无中生有，放飞思维
（1）猜一猜：半径15厘米的圆形物品。
生：方向盘、电风扇、时钟、转盘……
（2）猜一猜：直径6米的圆形物体。
生：飞机的螺旋桨、学校的水池、足球场中心的那个圆。
【备注】此处播放的是中央电视台《挑战不可能》上的一段视频，多人骑摩托车在直径6米的球里飞速做圆周运动。视频中可以清晰地看到摩托车的运行轨迹，并伴有主持人的解说和字幕，画面最后定格在摩托车在最大的圆周上飞速运动。
【分析】本环节的教学没有通过呈现生活中与圆有关的图片引导学生去发现和找寻其中的“圆”，而只是给了学生作品中的同心圆和教师提供的线索r=15cm和d=6m的圆，正是这一“无”生出了“有”。因为没有了生活中的圆可供观察，学生的想象力和思维能力被激活。正是这个“无”，激活了潜藏在学生思维深处的生活经验，打开了学生思维与想象的空间，学生的空间思考、空间转换等能力在这一过程中得到了前所未有的释放。教师更是利用“d=6m”的设计，巧妙地渗透了“圆与球、面与体”的关系，使学生的学习又进一步向纵深发展。
钟南山教授曾说：“所有的疾病都只是个名字，但我们往往不知道它的本质。其实，疾病是人类最好的朋友之一，它的本质是对人的提醒。一个人怎么处世，如何生活，身体就会怎么去表现。比如，受了风寒，身体就会用咳嗽或者鼻涕告诉你，找到了风寒这个本质才是关键。”
联系钟教授的话，笔者认为，关注教学内容的本质属性，不仅仅是数学教育的问题，而是生活科学和生存哲理的问题。教师应在数学教学中，让学生有关注生活的意识、研究生活的技能、探究的经验和乐趣及更多的学习收获。
【参考文献】
朱乐平.圆的认识教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.
【关键词】圆的认识;问题引领;教学策略
对于“圆的认识”该如何教学，一线名师都有自己独特的阐述。然而，把他们的教学设计加以对比分析，我们会惊奇地发现，这些名师的设计都指向了一个共同的地方，即努力使学生明白“什么是圆”。那么，如何在符合学生认知的前提下，引导学生“追根溯圆”，探寻圆的本质，真正理解“什么是圆”，让学习向更深处漫溯呢？下面，笔者结合教学实践中的几个片段来谈一些体会。
一、导入的艺术：问题引领，本质为纲
教师在黑板上用圆形饼干盒描画一个圆后提问：圆真的像我们看到的这样简单吗？对此你有什么疑问或想法？学生交流后提出：（1）除了用圆形物体描画圆，還可以怎样画圆，怎样画大小不同的圆？（2）圆里有没有藏着什么秘密？（3）圆的周长和面积怎么计算？（4）圆这个图形是怎么来的？
教师根据学生的回答整理并记录：（1）什么是圆？（2）圆里有什么？（3）怎样画圆？（见图1）
【分析】对于本课的导入，笔者一般的做法是先出示生活中的物体，揭示课题，再有序开展认知活动，但这节课不同，其高明之处在于：用问题引领，目标明确，快速高效。“提出一个问题比解决一个问题更重要。”数学学习实际上就是不断地发现、提出、分析并解决问题，以此获取知识的增长。因此，在教学过程中，教师用“问题”引领课堂，能更加有效地提升教学效果。本节课用三个核心问题“什么是圆”“圆里有什么”“怎样画圆”引领全课，将“大问题”作为核心，以“新问题”为纽带，层层递进，能加深学生对知识的理解。
二、概念的形成：巧设模型，抽象本质
究竟什么是圆呢？
【实验一】
（1）动手操作：学生分小组操作，用细绳拴住两个小球（见图2），尝试用它形成一个圆。
（2）讨论交流：怎么才能形成圆？形成圆的过程中哪个球在旋转？谁绕着谁旋转？ 谁在动，谁没动？
（3）反思：为什么有的小组没有变出圆来？（旋转过程中要让中心球保持不动。）
（4）小结：用细绳拴着的两个小球，只要让一个小球固定不动，另一个小球绕着它不停地旋转，就能形成圆。
【实验二】
（1）动手操作：学生分小组操作用橡皮筋拴着的两个小球（见图3）。
（2）讨论交流：这次与第一次有什么不同？不能形成圆的原因是什么？（橡皮筋有弹性，旋转时两个小球之间的距离会发生变化。）
（3）小结：要形成圆，不仅要让一个小球固定不动，还要让两个小球之间的距离保持不变。
【课件演示】（见图4）
（1）从数学角度看，拴着两个小球的细绳就是一条线段。两个小球就可以看成线段的两个端点。
（2）大球绕着小球旋转，在此过程中两点之间的距离保持不变，形成的无数个点集合在一起围成了一条封闭的曲线，这条曲线就是圆。
（3）请学生看着线段结合自己的体会说说什么是圆。
【分析】要使学生真正理解和掌握圆的基本特征就要让其知道圆的本质，即圆的定义。因此，在教学时，教师就不能绕开“什么是圆”这个核心问题。然而，对于“在平面内，到定点距离等于定长的点的集合叫作圆”这样的数学语言，学生很难理解。怎样在科学性的前提下，用学生可以理解的形式和语言，表达出圆的本质属性，使学生真正理解“什么是圆”，就需要教师进行教学法的创新[1]。因此，教师选择了图2和图3中的两种教具。通过对比实验，学生对“定点”“定长”有了初步的了解，再结合课件抽象出这一过程，逐渐理解了圆的本质属性，建立了数学模型，实现了知识的建构，同时感悟了极限思想和集合思想。
课中的两层抽象也很成功，先是从生活现象向几何数学的抽象，从球的旋转抽象出几何图形;再是从孤立点到点集，再到曲线的抽象，两级抽象，递进提升。
三、概念的校准：正反修正，多维观察
师：你能徒手画出一个圆吗？谁能说一说老师是怎样徒手画出圆的？
……
师：要想画出一个标准的圆，还需要借助一种工具。请你用圆规在作业纸上试着画一个圆。这里有一位同学的作品（图略），谁能结合自己画圆的体会，分析一下他画圆失败的原因？
生：可能是针尖动了。
生：可能是两脚距离动了。
师：这幅作品（见图5）很有意思，看到这些圆，你联想到生活中的哪些画面？
生：飞镖靶子、棒棒糖、催眠用的图案、雷达扫描、树的年轮、石子掉进水里荡起的涟漪……
图5
【分析】经过活动与抽象，学生知道了什么是圆，正向观察标准确立了。但还有个问题需要注意：为什么有的不是圆？对此，教师安排了反向观察，抓住“画圆不准”来分析，即针尖松动了就不符合定点的要求，两脚距离动了也不符合定长的要求。
【商榷】让学生联想生活画面，有助于将数学知识和生活联系起来。学生联想到“飞镖靶子”“棒棒糖”等，活跃了思维。但这里需要概括语：“同学们联想到的有些是圆形，有些是近似圆形的生活画面。”因为其中“树的年轮”“催眠图”等不一定为准确的圆，需要科学表述。如果课堂时机合适，教师可以继续拓展：“和上面联想的内容相似，我们发现，生活中的容器如碗、碟等，自然界植物的茎、花、果等往往与圆的形状有关，这说明圆形在生活中有独特的优势。对于其中的秘密，同学们可以课外借助互联网来研究。”几何现象的本质是生活现象，这一思维模式的建立对思维品质的提升具有重要意义。
四、理解的深化：无中生有，放飞思维
（1）猜一猜：半径15厘米的圆形物品。
生：方向盘、电风扇、时钟、转盘……
（2）猜一猜：直径6米的圆形物体。
生：飞机的螺旋桨、学校的水池、足球场中心的那个圆。
【备注】此处播放的是中央电视台《挑战不可能》上的一段视频，多人骑摩托车在直径6米的球里飞速做圆周运动。视频中可以清晰地看到摩托车的运行轨迹，并伴有主持人的解说和字幕，画面最后定格在摩托车在最大的圆周上飞速运动。
【分析】本环节的教学没有通过呈现生活中与圆有关的图片引导学生去发现和找寻其中的“圆”，而只是给了学生作品中的同心圆和教师提供的线索r=15cm和d=6m的圆，正是这一“无”生出了“有”。因为没有了生活中的圆可供观察，学生的想象力和思维能力被激活。正是这个“无”，激活了潜藏在学生思维深处的生活经验，打开了学生思维与想象的空间，学生的空间思考、空间转换等能力在这一过程中得到了前所未有的释放。教师更是利用“d=6m”的设计，巧妙地渗透了“圆与球、面与体”的关系，使学生的学习又进一步向纵深发展。
钟南山教授曾说：“所有的疾病都只是个名字，但我们往往不知道它的本质。其实，疾病是人类最好的朋友之一，它的本质是对人的提醒。一个人怎么处世，如何生活，身体就会怎么去表现。比如，受了风寒，身体就会用咳嗽或者鼻涕告诉你，找到了风寒这个本质才是关键。”
联系钟教授的话，笔者认为，关注教学内容的本质属性，不仅仅是数学教育的问题，而是生活科学和生存哲理的问题。教师应在数学教学中，让学生有关注生活的意识、研究生活的技能、探究的经验和乐趣及更多的学习收获。
【参考文献】
朱乐平.圆的认识教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.