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摘要:本文论述的数学思想:恒等变形思想,数形结合思想,分类讨论的思想方法,方程思想、函数思想、不等式的思想,等价转化思想和先猜后证的思想. 方法有逆向思维法、图象法、类比法、配方法和倒序相加法,还多次用到分马策略.
关键词:数学思想;恒等变形;增函数;减函数;倒序相加法
指数与对数函数互为反函数,它们的图象关于第一、三象限(y=x)是轴对称图形,即若(a,b)在原函数的图象上的点,则(b,a)就是它的反函数图象上的点. 指数式与对数式的互相转化是解决问题的基础,它们结合的标志是恒等式alogaN=N,它既有指数运算又有对数运算;从类比观点上看,下面两道题是类比的.
恒等变形思想
例1已知3a=2,3b=5,则92a+3b= .
解(32)2a+3b=34a+6b=34a×36b=(3a)4×(3b)6=(2)4×(5)6=(2×5)4×52=250000.
可以看出五次用公式的逆向思维,第一次用32=9的逆向思维,第二次用幂的乘方的逆向思维,第三次用同底幂相乘指数相加的逆向思维,第四次又用幂的乘方的逆向思维,第五次用积的乘方的逆向思维. 经验指出,运算中逆向思维运用的次数越多,这个数学题的难度就越大.
例2化简lg5(lg8+lg1000)+(lg2)2+log(3+2)+•lg-2.
解析首先,log(2+3)=log(-1)-2=-2;其次,•lg-2=;第三,lg5(lg8+lg1000)+(lg2)2=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3. 分解成三小题, 其结果是3-2+=.
在恒等变形的过程中,化简•lg-2是我们对于原对数式的数学思维达到“山重水复疑无路”的境地时, 由于使用了分马策略——乘2且除以2,才能出现“柳暗花明又一村”的新境界.
数形结合思想
数学家拉格朗日说:“只要代数与几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当两门科学结合成伴侣,它们就互相吸取新鲜活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善.” 华罗庚教授说:“数缺形时少直觉,形少数时难入微. 数形结合百般好,割裂分家万事非. 切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离. ”
例3 设c>b>a>0,求证:>>.
证明如图1,构造对数函数f(x)=ln(1+x),三个斜率有下列关系kOA>kOB>kOC?圯>>.
图1
若不用数形结合的方法思考对数问题,则可对比例3′.
例3′ 若a=,b=,c=,则()
A. a C. c 解析表面上看,上面两题相似,实质上有差异,必须认真对待.
先比较a与b,3ln2=ln23=ln8<2ln3=ln32=ln9?圯a2ln5=ln52=ln25?圯c 以上两例的差异要用数形结合才能说清楚,道明白:首先,用构造函数的观点看,f(x)=lnx与f(x)=ln(1+x),前者不过原点,而后者过原点,用平移的“左加右减”方能理解;其次,两个函数都是[0,∞)上的增函数,后者用斜率好理解,前者不用斜率而直接比较,单纯从数的角度来计算.
分类讨论的思想方法
例4函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.
解析(1)若a>1,f(x)是增函数,推出f(2)-f(1)=a2-a=?圯a=.
(2)若0 综上,a=或a=.
例5(2004天津)若函数f(x)=logax(0 A. B.
C. - D.
(答案是A)
将此高考题改为可分类讨论的类比题如下.
例5′若函数f(x)=logax在区间[a,2a]的最大值是最小值的3倍,则a的值是.
解析当0 当a>1,函数f(x)=logax是增函数,loga2a=3logaa?圯2a=a3?圯2=a2?圯a=±,去掉负根,得a=.
方程、函数、不等式的思想
例6已知函数f(x)=ax+a-x(a>0,a≠1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)= .
解析因为f(1)=a1+a-1=a+=3,f(2)=a2+2+-2=a+2-2=7,
所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.
从以上计算可清楚地看出,这种求值过程两次使用了“分马策略”:第一次用于加2与减2上;第二次用于配方法.
例7已知函数f(x)=loga(k2-k-2ax)(0 解析因为函数k2-k-2ax>0的解集为(0,+∞),由方程、函数、不等式的思想及x=0是方程k2-k-2ax=0的解,推出k2-k-2=0的解是k=-1或k=2……
例7′ 解方程log3x+=.
解析log3x-1+=-1?圳y+=2+?圯log3x-1=2?圯log3x=3?圯x=27;y+=2+?圯log3x-1=?圯log3x=?圯x=.
用类似的解题方法求解指数方程3x-2-32-x=(提示:3x-2-32-x=9-?圯3x-2=32?圯…)
等价转化思想
例8已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a),它在[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
解析设g(x)=x2-ax+3a,由于函数f(x)=log0.5M在[2,+∞)上是减函数,它等价于g(x)=x2-ax+3a在[2,+∞)上是增函数,且g(x)在[2,+∞)上恒正,于是g(2)>0,-≤2 ?圯4-2a+3a=4+a>0,a≤4?圯-4
先猜后证思想
先猜后证是一种数学思想方法. “猜”不是瞎猜、胡猜、乱猜,而是要在探索中去猜,要以直觉为先导,以联想为手段,以逻辑为根据,以观察为向导,以思维为核心地去猜. 牛顿说:“没有大胆的猜想,就没有伟大的发现.”
例9已知函数f(x)=(m>0),x1,x2∈R,当x1+x2=1时,f(x2)+f(x2)=.
(1)求m的值;
(2)数列{an｝,已知an=f(0)+f+f+…+f+f(1),求an .
解析(1)由f(x1)+f(x2)=?圯+=?圯4x1+4x2+2m=[4x1+x1+m(4x1+4x2)+m2].
因为x1+x2=1,所以(2-m)(4x1+4x2)=(m-2)2?圯4x1+4x2=2-m或2-m=0. 用均值不等式4x1+4x2≥2=2=4,而m>0,2-m<2?圯4x1+4x2≠2-m,所以m=2.
(2)当x1=,x2=?圯f(x1)+f(x2)=+=. 由合情推理
f(0)+f(1)=,f+f=,…?圯当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=,由倒序相加法得
an=f(0)+f +f +…+f +f(1),
an=f(1)+f+…+f+f+f(0),
所以2an=[f(0)+f(1)]+f+f+…+[f(1)+f(0)].
所以2an=[f(0)+f(1)]+f+f+…+[f(1)+f(0)],推出an=.
综上所述,布鲁纳说:“探索是数学教学的生命线.”而探索真理的方法在数学教学中有归纳猜想和类比猜想,有时也用直觉猜想.爱因斯坦说:“探索真理要比占有真理更可贵.” 如何才能更好地探索真理呢?除了要观察问题,还要提出问题. 正如李政道教授所说:“最重要的是要会提出问题,否则将来就做不了第一流的工作.”
关键词:数学思想;恒等变形;增函数;减函数;倒序相加法
指数与对数函数互为反函数,它们的图象关于第一、三象限(y=x)是轴对称图形,即若(a,b)在原函数的图象上的点,则(b,a)就是它的反函数图象上的点. 指数式与对数式的互相转化是解决问题的基础,它们结合的标志是恒等式alogaN=N,它既有指数运算又有对数运算;从类比观点上看,下面两道题是类比的.
恒等变形思想
例1已知3a=2,3b=5,则92a+3b= .
解(32)2a+3b=34a+6b=34a×36b=(3a)4×(3b)6=(2)4×(5)6=(2×5)4×52=250000.
可以看出五次用公式的逆向思维,第一次用32=9的逆向思维,第二次用幂的乘方的逆向思维,第三次用同底幂相乘指数相加的逆向思维,第四次又用幂的乘方的逆向思维,第五次用积的乘方的逆向思维. 经验指出,运算中逆向思维运用的次数越多,这个数学题的难度就越大.
例2化简lg5(lg8+lg1000)+(lg2)2+log(3+2)+•lg-2.
解析首先,log(2+3)=log(-1)-2=-2;其次,•lg-2=;第三,lg5(lg8+lg1000)+(lg2)2=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3. 分解成三小题, 其结果是3-2+=.
在恒等变形的过程中,化简•lg-2是我们对于原对数式的数学思维达到“山重水复疑无路”的境地时, 由于使用了分马策略——乘2且除以2,才能出现“柳暗花明又一村”的新境界.
数形结合思想
数学家拉格朗日说:“只要代数与几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当两门科学结合成伴侣,它们就互相吸取新鲜活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善.” 华罗庚教授说:“数缺形时少直觉,形少数时难入微. 数形结合百般好,割裂分家万事非. 切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离. ”
例3 设c>b>a>0,求证:>>.
证明如图1,构造对数函数f(x)=ln(1+x),三个斜率有下列关系kOA>kOB>kOC?圯>>.
图1
若不用数形结合的方法思考对数问题,则可对比例3′.
例3′ 若a=,b=,c=,则()
A. a
先比较a与b,3ln2=ln23=ln8<2ln3=ln32=ln9?圯a
分类讨论的思想方法
例4函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.
解析(1)若a>1,f(x)是增函数,推出f(2)-f(1)=a2-a=?圯a=.
(2)若0
例5(2004天津)若函数f(x)=logax(0
C. - D.
(答案是A)
将此高考题改为可分类讨论的类比题如下.
例5′若函数f(x)=logax在区间[a,2a]的最大值是最小值的3倍,则a的值是.
解析当0
方程、函数、不等式的思想
例6已知函数f(x)=ax+a-x(a>0,a≠1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)= .
解析因为f(1)=a1+a-1=a+=3,f(2)=a2+2+-2=a+2-2=7,
所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.
从以上计算可清楚地看出,这种求值过程两次使用了“分马策略”:第一次用于加2与减2上;第二次用于配方法.
例7已知函数f(x)=loga(k2-k-2ax)(0
例7′ 解方程log3x+=.
解析log3x-1+=-1?圳y+=2+?圯log3x-1=2?圯log3x=3?圯x=27;y+=2+?圯log3x-1=?圯log3x=?圯x=.
用类似的解题方法求解指数方程3x-2-32-x=(提示:3x-2-32-x=9-?圯3x-2=32?圯…)
等价转化思想
例8已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a),它在[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
解析设g(x)=x2-ax+3a,由于函数f(x)=log0.5M在[2,+∞)上是减函数,它等价于g(x)=x2-ax+3a在[2,+∞)上是增函数,且g(x)在[2,+∞)上恒正,于是g(2)>0,-≤2 ?圯4-2a+3a=4+a>0,a≤4?圯-4
先猜后证思想
先猜后证是一种数学思想方法. “猜”不是瞎猜、胡猜、乱猜,而是要在探索中去猜,要以直觉为先导,以联想为手段,以逻辑为根据,以观察为向导,以思维为核心地去猜. 牛顿说:“没有大胆的猜想,就没有伟大的发现.”
例9已知函数f(x)=(m>0),x1,x2∈R,当x1+x2=1时,f(x2)+f(x2)=.
(1)求m的值;
(2)数列{an｝,已知an=f(0)+f+f+…+f+f(1),求an .
解析(1)由f(x1)+f(x2)=?圯+=?圯4x1+4x2+2m=[4x1+x1+m(4x1+4x2)+m2].
因为x1+x2=1,所以(2-m)(4x1+4x2)=(m-2)2?圯4x1+4x2=2-m或2-m=0. 用均值不等式4x1+4x2≥2=2=4,而m>0,2-m<2?圯4x1+4x2≠2-m,所以m=2.
(2)当x1=,x2=?圯f(x1)+f(x2)=+=. 由合情推理
f(0)+f(1)=,f+f=,…?圯当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=,由倒序相加法得
an=f(0)+f +f +…+f +f(1),
an=f(1)+f+…+f+f+f(0),
所以2an=[f(0)+f(1)]+f+f+…+[f(1)+f(0)].
所以2an=[f(0)+f(1)]+f+f+…+[f(1)+f(0)],推出an=.
综上所述,布鲁纳说:“探索是数学教学的生命线.”而探索真理的方法在数学教学中有归纳猜想和类比猜想,有时也用直觉猜想.爱因斯坦说:“探索真理要比占有真理更可贵.” 如何才能更好地探索真理呢?除了要观察问题,还要提出问题. 正如李政道教授所说:“最重要的是要会提出问题,否则将来就做不了第一流的工作.”