论文部分内容阅读
【摘 要】几何直观作为2011版课程标准新增的核心概念，教师应该尽可能强化几何直观教学、让学生经历几何直观图形的抽象过程，感悟这一过程中蕴涵的数量关系和基本的数学思想，从而充分利用几何直观来揭示研究对象的本质属性，使学生认识几何直观在数学学习中的深层次意义和作用。
【关键词】经历；几何直观；数形结合
《新课程标准》里提出几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
一、引导学生经历“情境再现——结构图示——图形表示”的过程
本节课真正重要的是借用几何直观教学，让学生深入体验“一一对应”的数学思想，从而用对应思想统领课堂。在教学时尝试通过以下几个环节帮助学生理解。
第一环节，模拟情境。“植树节到了，四（1）班的同学们植了一行10棵树，为了美化环境，同学们又在每相邻的两棵树中间摆一盆花，一共可以摆多少盆？” 学生借用小棒、圆片拼摆或画图探究。（用表示树，用 表示花）
接着把树的棵树改为20棵、1000棵，让学生说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一盆花，一棵树对应着一盆花……最后一棵树没有花与它对应，所以树的棵树比花的盆数比多1”。也就是花分别有19盆、999盆。为了避免学生的思维定势，先摆花，再在相邻的两盆花之间种树。学生通过画图悟出：“开头是花，结尾是花，一盆花对应着一棵树，一盆花对应着一棵树…最后盆花没有树与它对应，所以花的盆树比数的棵树多1。”
通过这样的一个“种树摆花”的活动，学生借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系，不知不觉中，学生从中体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差1。初次渗透了“一一对应”的数学思想方法。
第二环节，结构图式。因为例题的数据较大，不方便学生画图，因此改变例题的数据：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共能栽多少棵？学生尝试画图表示，引导学生用一一对应的思想说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一端5米长的路（即间隔长度），一棵树对应着一端5米长的路…最后一棵树没有路与它对应，因此，树的棵树比路的段数多1”。接着把路延长到100米，学生同样用这种对应的思想方法分析问题。对于“两端都不种”和“只种一端”都可以归结为用“一一对应”的方法解决。学生就不需要再死记公式，而是不管是什么的种法，都可以用一一对应的方法找到正确答案。
两端都不种时，画图如下：
引导学生发现说出：“开头是路，结尾是路，一段路对应着一棵树，一段路对应着一棵树…最后一段路没有树与它对应，因此，路的段数比树的棵树多1，所以树的棵树是4-1=3（棵）。
在只种一端的情况，画图如下：
因为开头的是树，结尾的是路，一棵树对应一段路，一棵树对应一段路…最后没有剩下的了，所以路的段数和树的棵数一样多。
第三环节，图形表象。所谓表象，即事物在人脑中形成的心理图式。几何直观教学不能仅停留于几何图形层面的运用，而应该帮助学生建立相关的几何表象。使直观、可视化的图形变成无形的空中比画痕迹和内隐的思维想象结果。因此，在解决植树问题过程中，灵活应用前面探究性过程中建立的图形表象，把植树问题的解决方法应用到路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等等。只要找出问题中谁和谁是“一一对应”就能解决这些问题。如在锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应；爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应；排队问题里，人数和间隔数一一对应等。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一思想方法逐步深入人心，最终将内化为学生的数学素养。
每位学生经历三次不同层次和目的的建构，通过比较、分析发现植树问题的本质所在。不是简单地让学生记住三种不同的情况应该是加一、减一还是不加不减，而是回归到问题的本质，利用形象直观的线段图作支撑，用“一一对应”的思想统领三种不同的情形，形成较好的思维模式，为学生更好地理解抽象的数量关系，减轻记忆的负担。
二、引导学生经历“提出猜想——结构图示——归纳总结”的过程
借助几何直观图形，引导学生在经历“提出猜想——结构图示（关系图示）——归纳总结”的推理过程，体验联想类比、归纳推理、迁移转化的思想。如教学《长方体、正方体的体积计算》时，不少教师会依据教材的编排“亦步亦趋”，却很少能以知识联系视角来备这节课，如此便会在不经意间使得数学知识的学习支离破碎，破坏了数学知识的整体结构性。如果我们借用几何直观，抓住知识之间的联系，故而进行迁移、联想、推理出长方体和正方体的体积计算方法，突出“归纳推理”思想，那么自然就能引领学生理清长方体的长、宽、高的乘积就是其所含体积单位的个数这一本质。具体教学过程如下：
第一环节：唤醒经验，类比联想。（所有的实录，换成描述式文字。）
师：同学们还记得长方形的面积计算公式是怎么推导出来的吗？（生答用小正方形铺的方法）
师：还记得是怎么铺的吗？
生：每排铺几个，看能铺几排。
生：用每排的个数乘以排数，算出铺了几个小正方形，这个长方形也就是几平方厘米。
师：也就是说长方形的面积是等于它所含面积单位的个数，而面积单位的个数又等于每排的个数乘以排数，所以我们推导出长方形的面积=长×宽（操作课件，如下图1）。
师：猜想是发现科学的前奏，从长方形面积的计算方法中，你能大胆猜想长方体的体积计算方法吗？
生：长方体的体积=长×宽×高。
师：这是你的猜想，我把它写下来。（板书：长方体的体积=长×宽×高。） 师：通过长方形面积计算公式的推导过程的回忆，对于长方体的体积计算方法的探索，你有什么启示呢？
生：也可以用1立方厘米的小正方体来摆，然后算出一共有多少块小正方体，那么这个摆后的长方体就是几立方厘米。
第二环节：沟通联系，归纳推理
师：老师收集了这四个同学的摆法，观察这四个长方体，你有什么发现？什么变了？什么不变？（有意识地收集四种体积一样、形状各异的长方体用展示台展示。）（操作课件如下图二）
生：这四个长方体的形状变了，而体积不变。
师：你是怎么知道它们的体积是不变的呢？
生：因为它们都是用12个1立方厘米的小正方体拼成的。
生：也就是它们都含有12个1cm3的体积单位，所以体积相等。
师：原来长方体的体积就是等于长方体所含的体积单位的数量。（教师板书：“长方形的体积=长方体所含的体积单位的数量”）
师：我们再认真来观察这些数据，你能得到刚才那位同学一样的猜想吗？
生：是的，这四个长方体的长乘宽乘高都得到121cm3。
师：其他不同摆法的同学也用你们摆成的长方体的长、宽、高相乘一下，积是不是还是会等于体积？（请不同摆法的学生汇报。）
师：通过操作，大家都得出：长方体的体积=长×宽×高。那我们一起来验证一下大家得到的猜想到底是不是正确的？
师：请刚才摆长是3厘米，宽是2厘米，高是3厘米的同学上来说，你是怎么摆的？
生：我是先每排摆3个，摆了2排，算出一层有6个小正方体，然后一共摆了3层，所以也就用每层的个数乘以层数，也就是一共有18个小正方体，也就是18 1cm3。
师：从中我们可以知道怎样算出摆成的长方体一共有多少个体积单位呢？
生：长方体所含体积单位的数量=每排的个数×每层的排数× 层数。（板书）
师：每排的个数、排数、层数和长方体的长、宽、高到底有什么关系？
生：长方体的长有6个11cm3的体积单位（或者说每排摆6个），所以，长是6厘米。（操作课件，如下图3）
生：一层摆2排，长方体的宽是2厘米，就是说，每层的排数正好与长方体宽的厘米数是相同的。
师：刚才我们通过观察、分析，发现：测量长方体时，每排所含体积单位的个数正好就是长的厘米数，每层的排数正好就是宽的厘米数，层数正好就是高的厘米数。这么一来，我们就更加确定长方体的体积就是与它的长、宽、高有关，就是等于长×宽×高。
（图一）
（图二）
第三环节：迁移转化，渗透思想
师：我们已经知道了长方体的计算方法，那么哪位同学知道正方体的体积计算方法呢？
生：这个长方体的长宽高都相等，它就是一个正方体，在正方体中，我们把每条棱都叫做棱长，那么长×宽×高就是棱长×棱长×棱长，所以，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师：同学们真了不起！能根据长方体的体积计算公式，自主推导出正方体的体积计算公式，这种迁移的方法是我们学习中常用的一种学习方式。（板书正方体体积公式）
师：棱长用字母a表示，那么V=a.a.a，除了这种写法，还有没有更简洁的写法吗？你是怎么想到的呢？
生：因为2个a相乘可以写成a2，那么3个a相乘可以写成a3。
师：这里又一次发挥我们的经验，用到迁移的学习方式，这里a3表示是什么？（3个a相乘）
师：3个a相乘可以写成这样的形式，那么4个a可以怎么写？5个？100个？N个？
整节课中，都能充分地挖掘资源引领学生体验联想类比、归纳推理、迁移转化的思想，使得课堂显得厚重而有效。
三、引导学生经历“提出问题——结构图示——模型建立”的过程
著名数学家徐利治先生曾如是说：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知”。是的，借助几何直观图形，我们要引导学生在经历“提出问题——结构图示——模型建立”的过程，以“形”分析并解决数学问题，渗透函数思想、符号化思想、模型思想。
如，在教学“图形的规律”一课时，教者的编排意图就是让学生以几何直观的手段体验数学的模型思想。在教学时，建议能在尊重教材编排意图的基础上教材进行补白与活用。首先，提出问题。提出：“摆10个三角形，需要多少根小棒？”然后便出示了（操作课件如下图四）。
其次，结构图示。并引导学生用列表的策略来观察分析（如图），并得出“每多摆1个三角形就增加2根小棒”的关系。接着，算法探究。让学生根据直观图示发现：一是摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要（3+2）根，摆3个三角形需要（3+2+2）根，摆4根三角形需要（3+2+2+2）…….。二是摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要（2×2+1）根，摆3个三角形需要（3×2+1），摆4个三角形需要（4×2+1）…….。最后，建立模型。教师提出“如果要摆100个三角形要需要多少根呢”，学生便能很快明白（100×2+1），因为有了前面的直观图示的支撑下，学生对为什么要这么算的算理便很清晰了。至此，我们要适时地引导提升“如果要摆N下三角形需要多少根呢”，于是学生对于“2N+1”模型的建立便水到渠成了。
总之，对于“几何直观”这个课标修订版中新提的核心概念，并非当下很多教师眼中的“数形结合”的升级版，而是侧重于以“形”来解决数学问题。在充分理解其本质概念之后，我们更应该付诸于行动，在教学行为中跟进，强化“几何直观”教学，让学生能充分感悟数学基本思想。
（图三）
（图四）
【关键词】经历；几何直观；数形结合
《新课程标准》里提出几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
一、引导学生经历“情境再现——结构图示——图形表示”的过程
本节课真正重要的是借用几何直观教学，让学生深入体验“一一对应”的数学思想，从而用对应思想统领课堂。在教学时尝试通过以下几个环节帮助学生理解。
第一环节，模拟情境。“植树节到了，四（1）班的同学们植了一行10棵树，为了美化环境，同学们又在每相邻的两棵树中间摆一盆花，一共可以摆多少盆？” 学生借用小棒、圆片拼摆或画图探究。（用表示树，用 表示花）
接着把树的棵树改为20棵、1000棵，让学生说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一盆花，一棵树对应着一盆花……最后一棵树没有花与它对应，所以树的棵树比花的盆数比多1”。也就是花分别有19盆、999盆。为了避免学生的思维定势，先摆花，再在相邻的两盆花之间种树。学生通过画图悟出：“开头是花，结尾是花，一盆花对应着一棵树，一盆花对应着一棵树…最后盆花没有树与它对应，所以花的盆树比数的棵树多1。”
通过这样的一个“种树摆花”的活动，学生借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系，不知不觉中，学生从中体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差1。初次渗透了“一一对应”的数学思想方法。
第二环节，结构图式。因为例题的数据较大，不方便学生画图，因此改变例题的数据：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共能栽多少棵？学生尝试画图表示，引导学生用一一对应的思想说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一端5米长的路（即间隔长度），一棵树对应着一端5米长的路…最后一棵树没有路与它对应，因此，树的棵树比路的段数多1”。接着把路延长到100米，学生同样用这种对应的思想方法分析问题。对于“两端都不种”和“只种一端”都可以归结为用“一一对应”的方法解决。学生就不需要再死记公式，而是不管是什么的种法，都可以用一一对应的方法找到正确答案。
两端都不种时，画图如下：
引导学生发现说出：“开头是路，结尾是路，一段路对应着一棵树，一段路对应着一棵树…最后一段路没有树与它对应，因此，路的段数比树的棵树多1，所以树的棵树是4-1=3（棵）。
在只种一端的情况，画图如下：
因为开头的是树，结尾的是路，一棵树对应一段路，一棵树对应一段路…最后没有剩下的了，所以路的段数和树的棵数一样多。
第三环节，图形表象。所谓表象，即事物在人脑中形成的心理图式。几何直观教学不能仅停留于几何图形层面的运用，而应该帮助学生建立相关的几何表象。使直观、可视化的图形变成无形的空中比画痕迹和内隐的思维想象结果。因此，在解决植树问题过程中，灵活应用前面探究性过程中建立的图形表象，把植树问题的解决方法应用到路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等等。只要找出问题中谁和谁是“一一对应”就能解决这些问题。如在锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应；爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应；排队问题里，人数和间隔数一一对应等。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一思想方法逐步深入人心，最终将内化为学生的数学素养。
每位学生经历三次不同层次和目的的建构，通过比较、分析发现植树问题的本质所在。不是简单地让学生记住三种不同的情况应该是加一、减一还是不加不减，而是回归到问题的本质，利用形象直观的线段图作支撑，用“一一对应”的思想统领三种不同的情形，形成较好的思维模式，为学生更好地理解抽象的数量关系，减轻记忆的负担。
二、引导学生经历“提出猜想——结构图示——归纳总结”的过程
借助几何直观图形，引导学生在经历“提出猜想——结构图示（关系图示）——归纳总结”的推理过程，体验联想类比、归纳推理、迁移转化的思想。如教学《长方体、正方体的体积计算》时，不少教师会依据教材的编排“亦步亦趋”，却很少能以知识联系视角来备这节课，如此便会在不经意间使得数学知识的学习支离破碎，破坏了数学知识的整体结构性。如果我们借用几何直观，抓住知识之间的联系，故而进行迁移、联想、推理出长方体和正方体的体积计算方法，突出“归纳推理”思想，那么自然就能引领学生理清长方体的长、宽、高的乘积就是其所含体积单位的个数这一本质。具体教学过程如下：
第一环节：唤醒经验，类比联想。（所有的实录，换成描述式文字。）
师：同学们还记得长方形的面积计算公式是怎么推导出来的吗？（生答用小正方形铺的方法）
师：还记得是怎么铺的吗？
生：每排铺几个，看能铺几排。
生：用每排的个数乘以排数，算出铺了几个小正方形，这个长方形也就是几平方厘米。
师：也就是说长方形的面积是等于它所含面积单位的个数，而面积单位的个数又等于每排的个数乘以排数，所以我们推导出长方形的面积=长×宽（操作课件，如下图1）。
师：猜想是发现科学的前奏，从长方形面积的计算方法中，你能大胆猜想长方体的体积计算方法吗？
生：长方体的体积=长×宽×高。
师：这是你的猜想，我把它写下来。（板书：长方体的体积=长×宽×高。） 师：通过长方形面积计算公式的推导过程的回忆，对于长方体的体积计算方法的探索，你有什么启示呢？
生：也可以用1立方厘米的小正方体来摆，然后算出一共有多少块小正方体，那么这个摆后的长方体就是几立方厘米。
第二环节：沟通联系，归纳推理
师：老师收集了这四个同学的摆法，观察这四个长方体，你有什么发现？什么变了？什么不变？（有意识地收集四种体积一样、形状各异的长方体用展示台展示。）（操作课件如下图二）
生：这四个长方体的形状变了，而体积不变。
师：你是怎么知道它们的体积是不变的呢？
生：因为它们都是用12个1立方厘米的小正方体拼成的。
生：也就是它们都含有12个1cm3的体积单位，所以体积相等。
师：原来长方体的体积就是等于长方体所含的体积单位的数量。（教师板书：“长方形的体积=长方体所含的体积单位的数量”）
师：我们再认真来观察这些数据，你能得到刚才那位同学一样的猜想吗？
生：是的，这四个长方体的长乘宽乘高都得到121cm3。
师：其他不同摆法的同学也用你们摆成的长方体的长、宽、高相乘一下，积是不是还是会等于体积？（请不同摆法的学生汇报。）
师：通过操作，大家都得出：长方体的体积=长×宽×高。那我们一起来验证一下大家得到的猜想到底是不是正确的？
师：请刚才摆长是3厘米，宽是2厘米，高是3厘米的同学上来说，你是怎么摆的？
生：我是先每排摆3个，摆了2排，算出一层有6个小正方体，然后一共摆了3层，所以也就用每层的个数乘以层数，也就是一共有18个小正方体，也就是18 1cm3。
师：从中我们可以知道怎样算出摆成的长方体一共有多少个体积单位呢？
生：长方体所含体积单位的数量=每排的个数×每层的排数× 层数。（板书）
师：每排的个数、排数、层数和长方体的长、宽、高到底有什么关系？
生：长方体的长有6个11cm3的体积单位（或者说每排摆6个），所以，长是6厘米。（操作课件，如下图3）
生：一层摆2排，长方体的宽是2厘米，就是说，每层的排数正好与长方体宽的厘米数是相同的。
师：刚才我们通过观察、分析，发现：测量长方体时，每排所含体积单位的个数正好就是长的厘米数，每层的排数正好就是宽的厘米数，层数正好就是高的厘米数。这么一来，我们就更加确定长方体的体积就是与它的长、宽、高有关，就是等于长×宽×高。
（图一）
（图二）
第三环节：迁移转化，渗透思想
师：我们已经知道了长方体的计算方法，那么哪位同学知道正方体的体积计算方法呢？
生：这个长方体的长宽高都相等，它就是一个正方体，在正方体中，我们把每条棱都叫做棱长，那么长×宽×高就是棱长×棱长×棱长，所以，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师：同学们真了不起！能根据长方体的体积计算公式，自主推导出正方体的体积计算公式，这种迁移的方法是我们学习中常用的一种学习方式。（板书正方体体积公式）
师：棱长用字母a表示，那么V=a.a.a，除了这种写法，还有没有更简洁的写法吗？你是怎么想到的呢？
生：因为2个a相乘可以写成a2，那么3个a相乘可以写成a3。
师：这里又一次发挥我们的经验，用到迁移的学习方式，这里a3表示是什么？（3个a相乘）
师：3个a相乘可以写成这样的形式，那么4个a可以怎么写？5个？100个？N个？
整节课中，都能充分地挖掘资源引领学生体验联想类比、归纳推理、迁移转化的思想，使得课堂显得厚重而有效。
三、引导学生经历“提出问题——结构图示——模型建立”的过程
著名数学家徐利治先生曾如是说：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知”。是的，借助几何直观图形，我们要引导学生在经历“提出问题——结构图示——模型建立”的过程，以“形”分析并解决数学问题，渗透函数思想、符号化思想、模型思想。
如，在教学“图形的规律”一课时，教者的编排意图就是让学生以几何直观的手段体验数学的模型思想。在教学时，建议能在尊重教材编排意图的基础上教材进行补白与活用。首先，提出问题。提出：“摆10个三角形，需要多少根小棒？”然后便出示了（操作课件如下图四）。
其次，结构图示。并引导学生用列表的策略来观察分析（如图），并得出“每多摆1个三角形就增加2根小棒”的关系。接着，算法探究。让学生根据直观图示发现：一是摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要（3+2）根，摆3个三角形需要（3+2+2）根，摆4根三角形需要（3+2+2+2）…….。二是摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要（2×2+1）根，摆3个三角形需要（3×2+1），摆4个三角形需要（4×2+1）…….。最后，建立模型。教师提出“如果要摆100个三角形要需要多少根呢”，学生便能很快明白（100×2+1），因为有了前面的直观图示的支撑下，学生对为什么要这么算的算理便很清晰了。至此，我们要适时地引导提升“如果要摆N下三角形需要多少根呢”，于是学生对于“2N+1”模型的建立便水到渠成了。
总之，对于“几何直观”这个课标修订版中新提的核心概念，并非当下很多教师眼中的“数形结合”的升级版，而是侧重于以“形”来解决数学问题。在充分理解其本质概念之后，我们更应该付诸于行动，在教学行为中跟进，强化“几何直观”教学，让学生能充分感悟数学基本思想。
（图三）
（图四）