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【摘要】：函数值域是高中数学“函数三要素”中的重要组成部分，是数学高考试卷的立意内容，是高中数学教学、高考数学复习中必不可少的重要内容之一。教师在教学過程中教学方法的选取，是学生吸收巩固所学知识，提高技能的又一重要途径。
【关键词】：函数；值域；教学
[Abstract]: function is an important part of high school mathematics "function of the three elements" in the mathematics examination papers in the conception, content, is one of the important content of essential mathematics review, in the high school mathematics teaching. Selected teachers teaching in the process of teaching method, students are absorbed to consolidate the knowledge, an important way to improve skills.
[keyword]: function ；range; teaching
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
高中数学的函数知识，是数学高考的必考内容，其内容多，题型灵活多变，为求其值域，有时颇有一定的困难。但按其类型、依据其特点、探究其规律，仍可提出各种不同的求法。本文仅以最为常见的函数为线索提出其值域的十二种求法：
一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
问题1：求函数(a、b、c为常数，且)的值域。
分析：由算术根的性质，可得
故：，即：
所以：函数的值域为
问题2：求函数，的值域
分析：通过观察，可得：
故函数y的值域为
二、配方法：对于求形如的函数的值域，可作代换，得代入函数关系式，即可化为关于的二次函数，但应注意t的取值范围：。
问题1：求函数的值域
解：令，，则
代入原函数关系式并化简得：
配方，得：
当
此时函数无最小值，故原函数的值域为
问题2：求函数的值域
解：由
故原函数有最小值
当时，函数有最小值0
故原函数有最大值
所以原函数的值域为：
三、反函数法：当函数的反函数存在时，其反函数的定义域即为原函数的值域。特别地，形如的函数都可应用此法求解。
问题1：求函数的值域
解：显然函数的反函数为，要使其反函数成立，则必须，即其反函数的定义域为
故原函数y的值域为：
问题2：求函数的值域
解：由原函数的解析式变形得：
即，进而可知其反函数为：
由于，即其反函数的定义域为
故原函数的值域为
四、判别式法：把函数关系式转化成关于的二次方程F，由于方程有实根，故判别式，从而求得原函数的值域。常适用于形如：（不同时为0）和的函数。
问题1：求函数的值域
解：将函数变形成关于x的二次方程
，当y＝1时，此方程无实数解；当，即：，解之得：，，故函数y的值域为
问题2：求函数的值域
解：移项后两边平方，得：，展开并化简整理成关于x的二次方程，，由于x是实数，故判别式。
即：，解之得
又，且对一切成立
故应舍去，取
因此函数y的值域为
五、换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如：的函数的值域常用此法求。对于含有结构的函数，均可利用三角代换，令，或令，，代换中要严格掌握代换的三角函数的值域要与被代换变量的取值范围一致。
问题1：求函数的值域
解：（换元法），令
当，即：时，函数y有最大值，
又由于，即：，故函数无最小值
所以，函数y的值域为
问题2：求函数的值域
解：（三角代换）考虑到函数y的定义域为:，即：，故原函数变形为：
，显然函数是连续的，而当时，函数y有最大值，此时；
当时，函数y有最小值，此时，
当时，函数y的值是y=1
故函数的值域为
问题3：求函数的值域
解：函数y的定义域为：，
原函数变形为：
即：
即：，当
= =时，
当时，有：
，此时
故：函数y的值域为
六、辅助角公式法，利用公式,其中角所在象限由a,b的符号确定，角的值由确定，由，即可求得y的值域。
问题：求函数的值域
解：将原函数关系式化为：
，再利用公式化为：
，其中
即：，且
化简整理得：，解得：
故原函数的值域为
七、复变量代换法：利用复数公式+…+
求函数的值域。注意代换时要使为定值。
问题：求函数的值域
解：将函数解析式变为：
令复数，则：
，故有：，
，再进行代换，得：
故函数y的值域为
八、基本不等式法：利用算术平均数不小于它们的几何平均数的基本不等式，求得函数的值域，这时要注意条件“一正二定三相等”，即：①；②为定值；③取等号条件。从而推出函数取得最大（小）值。
问题：求函数的值域
解：
由几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数知：
＝
显然，要使等号成立，只需方程：有解
因此，函数可取到最小值
故函数的值域为
九、单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域。形如：的函数的值域均可使用此法求解；对形如函数均为常数，且，也可用此法求解，即主要看与是否同号，若同号用单调性法求值域，若异号则用换元法求值域。
问题1：求函数的值域
解：原函数解析式变为：
令，故不能使用不等式法
但是时为增函数
故函数y的值域为
问题2：求函数的值域
解：设
均为增函数
在定义域上单调递增
即：函数y的值域为
十、求导法：利用函数在其定义域上的可导性，对其函数求导，进而求函数的值域。
问题1：当时，曲线由两方程给出：
，求函数的最大值与最小值
分析：最值就是极值和区间端点值中的最大或最小函数值。
解：，其y的一阶导函数为：
解得：
因为，
又时，；当时，
故函数y的最大值，最小值
问题2：求函数在闭区间上的最大值和最小值。
解：
令：
在区间上在区间上，
时，取最大值；又
的最小值为：-17
十一、参数方程法：对于用二元不等式表示的题设条件，常引入参变量，将不等式化为等式，并给出参数的范围，然后将等式化为参数方程，求得函数的值域。
问题1：已知：，求函数的值域
解：设（其中k为参变数，且），则方程的参数方程为：代入函数关系式中得：
即：
即：函数z的值域为
十二、转化法和数形结合法
(一)转化法：对于求形如的函数值域，可设
将求函数Z的值域转化为求斜率的取值范围
问题：求函数的最大值和最小值（人教版，全日制普通高级中学《数学》教科书（必修）第二册（上）第82页第11题）。
分析：可以看成两点连线的斜率，而A是定点，P为圆上的动点，因此，求函数的最值问题就转化为求直线PA的斜率的最值问题。
解：如图所示，可以看成
点，A(2,1)两点连线的斜率，且P在圆上运动，过定点A作圆的两条切线AP1和AP2，则AP1的斜率最小，且的斜率最大。
设的斜率为k，则切线的方程为：
即：，且直线AP2与圆相切
圆心O到切线AP2的距离，即：
解得：，，（其中：，即为切线的斜率）
直线的斜率为
故函数的最大值为，最小值为
(二)数形结合法：用几何图形表示题设条件或函数关系式，通过图像的直观求得函数的值域。
问题1：求函数的值域
解：原函数变形为：
可看作单位圆外一点与圆上的点所连线段的斜率的2倍，由图示知：
设过P点的直线方程为：
即：，令
解得：
函数y的值域为
问题2，若，求函数的值域
解：方程表示圆，Z表示圆上任意一点到点的距离的平方，作出图形,由图形的直观可知：，，而直线的参数方程为： 代入圆方程中，并化简整理得：，解得。
由t的几何意义可知：
故函数Z的值域为
【关键词】：函数；值域；教学
[Abstract]: function is an important part of high school mathematics "function of the three elements" in the mathematics examination papers in the conception, content, is one of the important content of essential mathematics review, in the high school mathematics teaching. Selected teachers teaching in the process of teaching method, students are absorbed to consolidate the knowledge, an important way to improve skills.
[keyword]: function ；range; teaching
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
高中数学的函数知识，是数学高考的必考内容，其内容多，题型灵活多变，为求其值域，有时颇有一定的困难。但按其类型、依据其特点、探究其规律，仍可提出各种不同的求法。本文仅以最为常见的函数为线索提出其值域的十二种求法：
一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
问题1：求函数(a、b、c为常数，且)的值域。
分析：由算术根的性质，可得
故：，即：
所以：函数的值域为
问题2：求函数，的值域
分析：通过观察，可得：
故函数y的值域为
二、配方法：对于求形如的函数的值域，可作代换，得代入函数关系式，即可化为关于的二次函数，但应注意t的取值范围：。
问题1：求函数的值域
解：令，，则
代入原函数关系式并化简得：
配方，得：
当
此时函数无最小值，故原函数的值域为
问题2：求函数的值域
解：由
故原函数有最小值
当时，函数有最小值0
故原函数有最大值
所以原函数的值域为：
三、反函数法：当函数的反函数存在时，其反函数的定义域即为原函数的值域。特别地，形如的函数都可应用此法求解。
问题1：求函数的值域
解：显然函数的反函数为，要使其反函数成立，则必须，即其反函数的定义域为
故原函数y的值域为：
问题2：求函数的值域
解：由原函数的解析式变形得：
即，进而可知其反函数为：
由于，即其反函数的定义域为
故原函数的值域为
四、判别式法：把函数关系式转化成关于的二次方程F，由于方程有实根，故判别式，从而求得原函数的值域。常适用于形如：（不同时为0）和的函数。
问题1：求函数的值域
解：将函数变形成关于x的二次方程
，当y＝1时，此方程无实数解；当，即：，解之得：，，故函数y的值域为
问题2：求函数的值域
解：移项后两边平方，得：，展开并化简整理成关于x的二次方程，，由于x是实数，故判别式。
即：，解之得
又，且对一切成立
故应舍去，取
因此函数y的值域为
五、换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如：的函数的值域常用此法求。对于含有结构的函数，均可利用三角代换，令，或令，，代换中要严格掌握代换的三角函数的值域要与被代换变量的取值范围一致。
问题1：求函数的值域
解：（换元法），令
当，即：时，函数y有最大值，
又由于，即：，故函数无最小值
所以，函数y的值域为
问题2：求函数的值域
解：（三角代换）考虑到函数y的定义域为:，即：，故原函数变形为：
，显然函数是连续的，而当时，函数y有最大值，此时；
当时，函数y有最小值，此时，
当时，函数y的值是y=1
故函数的值域为
问题3：求函数的值域
解：函数y的定义域为：，
原函数变形为：
即：
即：，当
= =时，
当时，有：
，此时
故：函数y的值域为
六、辅助角公式法，利用公式,其中角所在象限由a,b的符号确定，角的值由确定，由，即可求得y的值域。
问题：求函数的值域
解：将原函数关系式化为：
，再利用公式化为：
，其中
即：，且
化简整理得：，解得：
故原函数的值域为
七、复变量代换法：利用复数公式+…+
求函数的值域。注意代换时要使为定值。
问题：求函数的值域
解：将函数解析式变为：
令复数，则：
，故有：，
，再进行代换，得：
故函数y的值域为
八、基本不等式法：利用算术平均数不小于它们的几何平均数的基本不等式，求得函数的值域，这时要注意条件“一正二定三相等”，即：①；②为定值；③取等号条件。从而推出函数取得最大（小）值。
问题：求函数的值域
解：
由几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数知：
＝
显然，要使等号成立，只需方程：有解
因此，函数可取到最小值
故函数的值域为
九、单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域。形如：的函数的值域均可使用此法求解；对形如函数均为常数，且，也可用此法求解，即主要看与是否同号，若同号用单调性法求值域，若异号则用换元法求值域。
问题1：求函数的值域
解：原函数解析式变为：
令，故不能使用不等式法
但是时为增函数
故函数y的值域为
问题2：求函数的值域
解：设
均为增函数
在定义域上单调递增
即：函数y的值域为
十、求导法：利用函数在其定义域上的可导性，对其函数求导，进而求函数的值域。
问题1：当时，曲线由两方程给出：
，求函数的最大值与最小值
分析：最值就是极值和区间端点值中的最大或最小函数值。
解：，其y的一阶导函数为：
解得：
因为，
又时，；当时，
故函数y的最大值，最小值
问题2：求函数在闭区间上的最大值和最小值。
解：
令：
在区间上在区间上，
时，取最大值；又
的最小值为：-17
十一、参数方程法：对于用二元不等式表示的题设条件，常引入参变量，将不等式化为等式，并给出参数的范围，然后将等式化为参数方程，求得函数的值域。
问题1：已知：，求函数的值域
解：设（其中k为参变数，且），则方程的参数方程为：代入函数关系式中得：
即：
即：函数z的值域为
十二、转化法和数形结合法
(一)转化法：对于求形如的函数值域，可设
将求函数Z的值域转化为求斜率的取值范围
问题：求函数的最大值和最小值（人教版，全日制普通高级中学《数学》教科书（必修）第二册（上）第82页第11题）。
分析：可以看成两点连线的斜率，而A是定点，P为圆上的动点，因此，求函数的最值问题就转化为求直线PA的斜率的最值问题。
解：如图所示，可以看成
点，A(2,1)两点连线的斜率，且P在圆上运动，过定点A作圆的两条切线AP1和AP2，则AP1的斜率最小，且的斜率最大。
设的斜率为k，则切线的方程为：
即：，且直线AP2与圆相切
圆心O到切线AP2的距离，即：
解得：，，（其中：，即为切线的斜率）
直线的斜率为
故函数的最大值为，最小值为
(二)数形结合法：用几何图形表示题设条件或函数关系式，通过图像的直观求得函数的值域。
问题1：求函数的值域
解：原函数变形为：
可看作单位圆外一点与圆上的点所连线段的斜率的2倍，由图示知：
设过P点的直线方程为：
即：，令
解得：
函数y的值域为
问题2，若，求函数的值域
解：方程表示圆，Z表示圆上任意一点到点的距离的平方，作出图形,由图形的直观可知：，，而直线的参数方程为： 代入圆方程中，并化简整理得：，解得。
由t的几何意义可知：
故函数Z的值域为