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摘 要：存储于多存储点的多种产品，在备货过程中难免会出现路线交叉重复的现象，本文从分析客户需求规律入手，通过统计考察期内订单需求种类，确定多种产品之间的综合需求相关性，建立基于综合需求相关性的多储存点库存分配模型，采用遗传算法加以分析和求解，确定每种产品在每个存储点中的分配数量。算例结果表明，本文的优化方法能够减少备货时单张订单平均走行的存储点数量，可以成为企业进行多品种多存储点库存分配的依据。
关键词：库存分配;需求相关性;非线性规划;遗传算法
中图分类号：U116.2 文献标识码：A 文章编号：1006—7973（2021）05-0098-03
1 引言
采用合理的仓储分配策略和方法是提高物流配送效率的重要手段，尤其是在多存储点（多仓库）的情况下，采用依据需求相关性将产品分配到不同的存储点中的存储策略，可以有效减少备货时车辆路线的交叉和重复，从根本上提高备货的效率。
大部分学者研究的库存分配问题是指生产商将货物配送给不同分销商时的库存控制问题。周健[1]基于零售商优先级，研究了仓库面临零售商和网络销售以及不同情况下的问题，提出了二阶段库存分配策略;刘丹[2]基于供应链VMI供货方式提出了考虑零售商需求满足优先等级的库存分配策略;汪达钦等[3]研究有限时域下面对确定和随机两种需求类型的产品库存系统的最优订货和分配策略。也有学者在一定程度上考虑了多货位、多存储点的库存分配问题。赵菊等[4]研究了需求率受展示空间影响的零售商品的货架空间分配和库存控制联合决策问题。但是研究多品种物品的库存分配策略的人较少。本文以企业在一定时期内实际订单为样本，统计并计算各产品之间的综合需求相关系数，以此作为优化库存结构的依据，使得拥有多个仓库的企业的存储策略更加符合综合需求相关性的规则，进而提高备货车辆的效率。
2 问题描述
通过统计分析企业所制造的n种产品，统计期内客户的订单数量p，企业的m个存储点，不同产品之间的需求相关强弱由它们同时被需求的次数和数量来衡量，在确定了所有产品在统计期内订单中所体现的综合需求相关性规律后，优化产品在各仓库中的存储策略。这样，在备货过程中，可以有效减少车辆在不同存储点之间的往复循环走行，减少车辆走行时间，提高备货效率。
以完全满足需求相关性的各存储点存储数量的理想状态为参照，以各存储点实际存储数量之和与理想存储总量的差值和最小为目标函数，建立非线性规划模型，设计遗传算法进行求解，获得多品种、多存储点库存分配方案。
3 库存分配优化模型的建立
3.1 需求相关系数的定义
在本文中，我们认为当不同产品被同时需求时即存在需求相关性，当同时出现次数越多，它们之间的需求相关性也越强。考虑到某些生产企业所生产的产品种类有限，在同一订单中所出现产品比较固定、单一，此时次数相关系数便不能很好表现出不同产品之间需求相关性的差异。因此，我们加入数量相关系数的概念，通过不同产品同时被需求时的数量来对需求相关性的强弱进行补充说明。
3.1.1次数相关系数
次数相关系数表示：产品与产品同時出现在订单中的次数占产品出现在订单中的次数的比例。通过以下公式来确定：
其中：
：当产品与产品在订单中同时被需求时该值为1，否则为0。
：当产品出现在订单中该值为1，否则为0。
3.1.2数量相关系数
数量相关系数表示：产品与产品同时出现在订单中产品的数量占产品出现在订单中总量的比例。通过以下公式来确定：
其中，指与产品j同时出现在订单l中的产品的数量;指订单l中产品的数量。
3.1.3综合需求相关系数
本文认为，次数需求相关更贴合需求相关性的定义，而数量需求相关作为综合相关系数的补充说明，因此综合相关系数用一下公式表示：
通过公式（3）可知，Rij取值范围是[0，2]，为方便后续步骤的操作，将公式（3）进行归一化处理，将其取值范围设置在[0，1]之间。
3.2 有关参数的设定与计算
设表示产品的需求比率。其计算公式如下：
设为存储点k的存储容量，根据，可以计算出一定时期内在供需平衡条件下产品i在所有存储点中总的存储数量，避免出现爆仓现象，设定一个存储点存储系数，本文中存储点存储系数取0.8，其表达公式如下：
根据得到的与，可以计算出产品i与产品j同时存储在所有存储点中时产品i的总量，其表达公式如下：
设表示存储点k中存储的产品i的数量，表示存储点k中产品i和产品j同时被存储时产品i的数量，可以得到如下关系：
3.3 模型的建立
当各存储点中各产品完全按照综合需求相关性进行存储时，应等同于，但在实际操作中，当产品i和产品j同时被存储时，产品i的数量不仅要受到存储点容量的影响，还要受到客户对i产品需求批量等的影响。另外，产品i不仅与j有关，与除了产品j以外其他产品也具有需求相关性。受上述各种条件所限，在实际存储时无法完全按照综合需求相关性来分配库存。因此，本文以各存储点总存储数量与理想存储总量的差值和最小为目标函数建立如下的非线性规划数学模型：
目标函数：
约束条件：
其中，指考察期内所有订单中产品i的最大需求量;指考察期内所有订单中产品i被需求时数量的众数。
公式（9）表示某一存储点中存储的产品数量不能超过存储点的容量，否则会爆仓;公式（10）表示各个存储点中存储的某一种产品的数量要大于等于该产品的最大订货批量，是为防止出现货源过少的现象;公式（11）表示产品在存储时不能过于分散，产品在当某一存储点的存放数量应大于该产品订货批量的众数。 4 遗传算法设计
4.1 编码及初始种群的产生
在本模型中的决策变量是非负整数，将产品在多储存点的库存分配数量编码成长度为s×n×m的染色体，其中，s表示每个决策变量的二进制位数，染色体中前n个基因表示在第1个存储点中，每种产品依次的存储数量，假设每个决策变量的二进制位数为3，2种产品，3个存储点，则染色体101011011010010100表示的是，在第1个存储点中，第1种产品存放数量为5，第2种产品存放数量为3;在第2个存储点中，第1种产品存放数量为3，第2种产品存放数量为2;在第3个存储点中，第1种产品存放数量为2，第2种产品存放数量为4。
由于本文中决策变量的取值并不是连续整数，所以在产生初始种群时，采用十进制的方式，为了提高解的可行性，加以一定的限制：第1种产品在第2个存储点的存储量小于最大能力限制减去第1个存储点已存储的数量。例如，第1种产品在第1个存储点已存储5，原先第2个存储点的最大能力限制为20，这时将第2个存储点的最大能力限制改为20-5=15.
4.2 遗传操作
仓库访问总数和随机遍历抽样方法经分别用于适应度的计算和选择。我们将计算种群中个体的适应值，使用非线性排序和选择压差为2将适应值进行排序。本文采用两点交叉方法，首先随机从N个个体中选择2个个体进行交叉操作，在个体编码串中随机设置了两个交叉点，然后再进行部分基因交换。
本文采用离散变异的方法，对每一个个体用概率变异每一个基因。
5结果检验
本文在统计某企业一段时期内的2000张订单，60种产品，6个存储点的基础上，按上述步骤建立模型并求解。其中，遗传算法的参数设计为：种群规模为70，交叉率为0.7，迭代次数为2000代，图1为本文遗传算法寻优过程，在最初几代遗传操作中，种群的平均适应度处于较高水平，然后迅速降低，种群质量快速提高。在此后的遗传操作中，各代种群均被有效地控制在次优水平，一般情况下1000代左右即可得到比较满意的稳定解。通过求解，可以得到一个6×60的矩阵，即每种产品在每个存储点中存放的数量矩阵。
图1 遗传算法迭代解的变化图
5.1 优化效果与订单中产品种类的关系
随机抽取一部分订单，将优化后得到的结果进行处理，并与原订单进行比较得到下表：
从上表中可以看出，随着订单中产品数量的增加，优化效果越明显。
5.2 优化效果与需求相关性的关系
假设一张订单中有种产品，则订单中产品之间的需求相关系数可以用以下矩阵表示：
可以得出其中位于对角线的元素值都等于1，对剩的元素求出總的平均值。则其数学表达式为：
通过统计张订单，按照公式（10）计算各个订单的，设为中的最大值，为中的最小值，将进行归一化处理，处理后的结果为订单k的需求相关系数，则
当订单中只有一种产品时，订单需求相关系数为1.
按照上述步骤，统计一段时期内的订单，可以得到以下结果：
从上表中可以看出，订单的需求相关性越强则优化效果越显著。
6结论
本文研究了基于需求相关性的多品种、多存储点的产品存储策略，建立了产品存储策略的模型，并以2000张订单、60种产品、6个存储点为数据基础，应用遗传算法对模型进行求解，得到每种产品在每个存储点存放数量的矩阵，将优化后的效果与优化前的进行比较，可以得出订单中产品种类越多，优化效果越明显;综合需求相关性越大，优化效果越显著。该模型在实际应用时，可以适当的增加产品种类和存储点的数量，增强实用性。
参考文献：
[1]周健， 谈坤.双渠道二级供应链库存分配与控制问题研究[J]. 计算机工程与应用， 2015， 51（14）：264-270.
[2]刘丹， 刘志学， 汪小京. 考虑多类零售商的库存与运输VMI集成策略[J]. 控制与决策， 2013， 28（4）：517-524.
[3]汪达钦， 霍佳震. 有限时域下多需求类型产品的库存策略[J]. 系统工程理论与实践， 2010， 30（6）：981-986.
[4]赵菊， 周永务， 张晖. 货架空间分配和库存控制联合优化策略研究[J]. 系统工程学报， 2011， 26（6）：825-833.
关键词：库存分配;需求相关性;非线性规划;遗传算法
中图分类号：U116.2 文献标识码：A 文章编号：1006—7973（2021）05-0098-03
1 引言
采用合理的仓储分配策略和方法是提高物流配送效率的重要手段，尤其是在多存储点（多仓库）的情况下，采用依据需求相关性将产品分配到不同的存储点中的存储策略，可以有效减少备货时车辆路线的交叉和重复，从根本上提高备货的效率。
大部分学者研究的库存分配问题是指生产商将货物配送给不同分销商时的库存控制问题。周健[1]基于零售商优先级，研究了仓库面临零售商和网络销售以及不同情况下的问题，提出了二阶段库存分配策略;刘丹[2]基于供应链VMI供货方式提出了考虑零售商需求满足优先等级的库存分配策略;汪达钦等[3]研究有限时域下面对确定和随机两种需求类型的产品库存系统的最优订货和分配策略。也有学者在一定程度上考虑了多货位、多存储点的库存分配问题。赵菊等[4]研究了需求率受展示空间影响的零售商品的货架空间分配和库存控制联合决策问题。但是研究多品种物品的库存分配策略的人较少。本文以企业在一定时期内实际订单为样本，统计并计算各产品之间的综合需求相关系数，以此作为优化库存结构的依据，使得拥有多个仓库的企业的存储策略更加符合综合需求相关性的规则，进而提高备货车辆的效率。
2 问题描述
通过统计分析企业所制造的n种产品，统计期内客户的订单数量p，企业的m个存储点，不同产品之间的需求相关强弱由它们同时被需求的次数和数量来衡量，在确定了所有产品在统计期内订单中所体现的综合需求相关性规律后，优化产品在各仓库中的存储策略。这样，在备货过程中，可以有效减少车辆在不同存储点之间的往复循环走行，减少车辆走行时间，提高备货效率。
以完全满足需求相关性的各存储点存储数量的理想状态为参照，以各存储点实际存储数量之和与理想存储总量的差值和最小为目标函数，建立非线性规划模型，设计遗传算法进行求解，获得多品种、多存储点库存分配方案。
3 库存分配优化模型的建立
3.1 需求相关系数的定义
在本文中，我们认为当不同产品被同时需求时即存在需求相关性，当同时出现次数越多，它们之间的需求相关性也越强。考虑到某些生产企业所生产的产品种类有限，在同一订单中所出现产品比较固定、单一，此时次数相关系数便不能很好表现出不同产品之间需求相关性的差异。因此，我们加入数量相关系数的概念，通过不同产品同时被需求时的数量来对需求相关性的强弱进行补充说明。
3.1.1次数相关系数
次数相关系数表示：产品与产品同時出现在订单中的次数占产品出现在订单中的次数的比例。通过以下公式来确定：
其中：
：当产品与产品在订单中同时被需求时该值为1，否则为0。
：当产品出现在订单中该值为1，否则为0。
3.1.2数量相关系数
数量相关系数表示：产品与产品同时出现在订单中产品的数量占产品出现在订单中总量的比例。通过以下公式来确定：
其中，指与产品j同时出现在订单l中的产品的数量;指订单l中产品的数量。
3.1.3综合需求相关系数
本文认为，次数需求相关更贴合需求相关性的定义，而数量需求相关作为综合相关系数的补充说明，因此综合相关系数用一下公式表示：
通过公式（3）可知，Rij取值范围是[0，2]，为方便后续步骤的操作，将公式（3）进行归一化处理，将其取值范围设置在[0，1]之间。
3.2 有关参数的设定与计算
设表示产品的需求比率。其计算公式如下：
设为存储点k的存储容量，根据，可以计算出一定时期内在供需平衡条件下产品i在所有存储点中总的存储数量，避免出现爆仓现象，设定一个存储点存储系数，本文中存储点存储系数取0.8，其表达公式如下：
根据得到的与，可以计算出产品i与产品j同时存储在所有存储点中时产品i的总量，其表达公式如下：
设表示存储点k中存储的产品i的数量，表示存储点k中产品i和产品j同时被存储时产品i的数量，可以得到如下关系：
3.3 模型的建立
当各存储点中各产品完全按照综合需求相关性进行存储时，应等同于，但在实际操作中，当产品i和产品j同时被存储时，产品i的数量不仅要受到存储点容量的影响，还要受到客户对i产品需求批量等的影响。另外，产品i不仅与j有关，与除了产品j以外其他产品也具有需求相关性。受上述各种条件所限，在实际存储时无法完全按照综合需求相关性来分配库存。因此，本文以各存储点总存储数量与理想存储总量的差值和最小为目标函数建立如下的非线性规划数学模型：
目标函数：
约束条件：
其中，指考察期内所有订单中产品i的最大需求量;指考察期内所有订单中产品i被需求时数量的众数。
公式（9）表示某一存储点中存储的产品数量不能超过存储点的容量，否则会爆仓;公式（10）表示各个存储点中存储的某一种产品的数量要大于等于该产品的最大订货批量，是为防止出现货源过少的现象;公式（11）表示产品在存储时不能过于分散，产品在当某一存储点的存放数量应大于该产品订货批量的众数。 4 遗传算法设计
4.1 编码及初始种群的产生
在本模型中的决策变量是非负整数，将产品在多储存点的库存分配数量编码成长度为s×n×m的染色体，其中，s表示每个决策变量的二进制位数，染色体中前n个基因表示在第1个存储点中，每种产品依次的存储数量，假设每个决策变量的二进制位数为3，2种产品，3个存储点，则染色体101011011010010100表示的是，在第1个存储点中，第1种产品存放数量为5，第2种产品存放数量为3;在第2个存储点中，第1种产品存放数量为3，第2种产品存放数量为2;在第3个存储点中，第1种产品存放数量为2，第2种产品存放数量为4。
由于本文中决策变量的取值并不是连续整数，所以在产生初始种群时，采用十进制的方式，为了提高解的可行性，加以一定的限制：第1种产品在第2个存储点的存储量小于最大能力限制减去第1个存储点已存储的数量。例如，第1种产品在第1个存储点已存储5，原先第2个存储点的最大能力限制为20，这时将第2个存储点的最大能力限制改为20-5=15.
4.2 遗传操作
仓库访问总数和随机遍历抽样方法经分别用于适应度的计算和选择。我们将计算种群中个体的适应值，使用非线性排序和选择压差为2将适应值进行排序。本文采用两点交叉方法，首先随机从N个个体中选择2个个体进行交叉操作，在个体编码串中随机设置了两个交叉点，然后再进行部分基因交换。
本文采用离散变异的方法，对每一个个体用概率变异每一个基因。
5结果检验
本文在统计某企业一段时期内的2000张订单，60种产品，6个存储点的基础上，按上述步骤建立模型并求解。其中，遗传算法的参数设计为：种群规模为70，交叉率为0.7，迭代次数为2000代，图1为本文遗传算法寻优过程，在最初几代遗传操作中，种群的平均适应度处于较高水平，然后迅速降低，种群质量快速提高。在此后的遗传操作中，各代种群均被有效地控制在次优水平，一般情况下1000代左右即可得到比较满意的稳定解。通过求解，可以得到一个6×60的矩阵，即每种产品在每个存储点中存放的数量矩阵。
图1 遗传算法迭代解的变化图
5.1 优化效果与订单中产品种类的关系
随机抽取一部分订单，将优化后得到的结果进行处理，并与原订单进行比较得到下表：
从上表中可以看出，随着订单中产品数量的增加，优化效果越明显。
5.2 优化效果与需求相关性的关系
假设一张订单中有种产品，则订单中产品之间的需求相关系数可以用以下矩阵表示：
可以得出其中位于对角线的元素值都等于1，对剩的元素求出總的平均值。则其数学表达式为：
通过统计张订单，按照公式（10）计算各个订单的，设为中的最大值，为中的最小值，将进行归一化处理，处理后的结果为订单k的需求相关系数，则
当订单中只有一种产品时，订单需求相关系数为1.
按照上述步骤，统计一段时期内的订单，可以得到以下结果：
从上表中可以看出，订单的需求相关性越强则优化效果越显著。
6结论
本文研究了基于需求相关性的多品种、多存储点的产品存储策略，建立了产品存储策略的模型，并以2000张订单、60种产品、6个存储点为数据基础，应用遗传算法对模型进行求解，得到每种产品在每个存储点存放数量的矩阵，将优化后的效果与优化前的进行比较，可以得出订单中产品种类越多，优化效果越明显;综合需求相关性越大，优化效果越显著。该模型在实际应用时，可以适当的增加产品种类和存储点的数量，增强实用性。
参考文献：
[1]周健， 谈坤.双渠道二级供应链库存分配与控制问题研究[J]. 计算机工程与应用， 2015， 51（14）：264-270.
[2]刘丹， 刘志学， 汪小京. 考虑多类零售商的库存与运输VMI集成策略[J]. 控制与决策， 2013， 28（4）：517-524.
[3]汪达钦， 霍佳震. 有限时域下多需求类型产品的库存策略[J]. 系统工程理论与实践， 2010， 30（6）：981-986.
[4]赵菊， 周永务， 张晖. 货架空间分配和库存控制联合优化策略研究[J]. 系统工程学报， 2011， 26（6）：825-833.