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教学设计是课堂教学能否成功的关键，一个好的设计，会使课堂教学充满美感和活力，使学生在快乐中学习，使学生真正成为课堂学习的主人，促使学生成绩和学习效率提高，对学生创造思维和创新精神培养大有益处. 优化教学设计须像古人写诗一般，清代袁枚说“一诗千改心乃安”，在“三角函数之任意角”的教学设计上，笔者进行过三次优化尝试，在此抛砖引玉.
任意角是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型. 角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续，为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具. 因此学生正确的理解和掌握角的概念的推广十分重要. 为此确定如下教学目标.
知识目标 ：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法.
能力目标：（1）提高学生的计算能力，归纳概括能力和类比思维能力；（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法.
德育情感目标：（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；（2）学会运用运动变化的观点认识事物.
怎样运用适当的教学策略，引领学生实现上述综合性的教学目标呢？
一、 第一轮教学设计
2000年，笔者第一次上这一节课时，采用的是典型的以知识为主线的课堂教学设计. 遵循引入─知识建构─知识应用─归纳总结的思路. 呈现的方式是：第一步，画一条射线，把它按顺、逆时针方向转直接给出正角、负角、零角的定义，角的概念得以迅速推广；第二步，直接把角放在平面直角坐标系研究，给出象限角的定义；第三步，以终边与30°角重合的角的表示给出终边相同的角的集合表示；第四步，应用举例（教师示范，通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角）；第五步，变式训练（用较多的时间通过练习，掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法）；第六步，归纳小结（角推广、象限角定义、与α终边相同的角的集合的表示）. 整堂课简洁明了，讲解清透. 先按教师的预设将知识呈现得淋漓尽致，接着示范，紧跟着题组训练，可以说也达到了学生掌握知识的目的. 但纵观整节课，这样的设计最大的缺陷是忽略了学生个体的主体作用. 学生在课堂中仅是被动接受知识，所有知识是直接灌输给学生的，学生没有得到分析问题和解决问题的经验，所学知识可以说是死的，无法迁移，对学生后继学习作用甚少，学生不喜欢.
二、第二轮教学设计
2004年，笔者第二次上这节课时，采用的是典型的以问题探究为主线的课堂教学设计. 遵循创设问题─分层设问─合作探究─动态生成─有效建构的思路.
第一步，创设情景 激发兴趣
问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1. 25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？（组织学生进行讨论，教师取出一个钟表，实际操作）
第二步，分层设问，合理探究
任意角的概念
问题2：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？（学生回答问题，教师动态展示角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形）
问题3：举出不在0°～360°的角的实例，并加以说明. （学生举例，再说明所举例的角为什么不在0°～360°. 教师提供教材中的几个例子，让学生感受角的概念推广的必要性）
问题4：你认为刻画这些角的关键是什么？（组织学生讨论，教师引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考）
给出任意角的定义. （教师引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角和零角的概念）
象限角的概念
问题5：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210°，-150°，-660）（学生画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法）
给出象限角的概念.（教师在总结分析合理放法的基础上，给出象限角的概念，并说明在同一坐标系下讨论角的好处. 然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念）
问题6：锐角、钝角分别是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？第四象限角一定是负角吗？
问题7：作出下列各角，并指出它们是第几象限角. （1）420°；（2）-75°；（3）-32° ；（4）-392°.（四个学生板演，其余独立完成，学生讲评）
终边相同的角表示
问题8： 都有哪些角的终边与30°角的终边相同？
问题9：将角按上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应. 反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（学生思考每组角的数量关系，教师展示课件让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来）
给出终边相同的角的集合表示.（学生尝试表示，教师指导）
练习：教科书P5练习第1～2题. （学生口答，教师通过提问的形式向学生传递答案）
第三步，有效建构，深化认识
问题10：在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角. （ 教师分析、板书）
练习：1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在-360°～720°间的角写出来： 60°；（2） -21°；（3）363°14′. （学生分小组讨论，派代表发言）
2. 学生自己编题，互批，有不明确的可邀请老师共同研究.（选部分实物投影展示） 问题11：写出终边在y轴上的角的集合. （学生自学，教师指出这两个集合求并集的关键是把270°改写成90° 180°，然后重新组合）
变式1：写出终边在x轴上的角的集合；变式2：终边在坐标轴上的角的集合.练习：写出终边在各象限的角的集合.
问题12：写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合范围[-360°，720°）的元素写出来. （师生共同完成，注意k的正确取值是关键）
练习：写出终边在直线在y=-x上的角的集合S，并把S中适合范围[-360°，720°）的元素写出来. （学生尝试独立完成练习，教师巡视，个别辅导，学生回答结果，教师给出评价）
变式：写出终边在四个象限的角平分线上的角的集合.
第四步，归纳小结，纳入系统
问题13：（1）你知道角是如何推广的吗？
（2）象限角是如何定义的呢？
（3）你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗？（学生回答，讨论交流，补充. 教师归纳总结，突出重点知识，解决学生的疑惑点）
第五步，任务后延，自主研究
（1）课外作业. （略）
（2）思考：已知α角为第一象限角，指出■、■的终边位置？
整个设计，以问题为中心，以问题为主线，所有的学习活动均以问题而展开，做到以问题为起点，问题解决为终点，问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识. 从课堂开始结合实际生活中的例子，由教材的“思考”出发，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性. 让学生利用类比和数形结合的思想，在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确地刻画角的形成过程的道理. “终边相同的角之间的关系”的学习，从特例出发，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受. 在知识动态生成阶段，大胆让学生板书练习，放手让学生去点评，让学生从实践中提高能力，让学生在合作中获得知识. 最后的总结没有直接投影给学生，而是将这个活动空间再次让给课堂主体，全体讨论，多人参与总结，真正再次活跃了课堂气氛. 学生在问题的引领下，思考多、讨论多、合作多、质疑多，在问题解决过程中获得解决问题的方式，让学生高层次的思维能力和自主学习能力在学习过程中得到了真正的提高，基本实现了综合性的教学目的.
课后反思，这是三角函数章节的第一节课，缺少了章节引言，有点突兀；不在0°～360°的角的实例教师所提供教材中的几个例子还不够生动；还有角怎么想到要放在平面直角坐标系中研究没有说透；终边相同的角表示引入设计不够透彻，太牵强；针对以上几个细节，拟作进一步修改.
三、第三轮教学设计
笔者第三次上这节课. 其设计与2004版大部分一样，部分作了修改. 下面是修改点：
问题1前增加了章节引入
（1）有诗赞曰：东升西落照苍穹，影短影长角不同. 昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣（背景是行星运动）. （让学生体验日常生活中普遍存在周而复始的现象，因而很有研究的必要，了解学科间的相互联系）
（2） （回答）今天是星期三那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？ 7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？ （数学来源于生活也服务于生活. 再次体验身边周而复始的现象）
引出三角函数这一描述周期现象的重要数学模型，进而提出今天我们一起来探究的三角函数第一节之任意角.
问题1与问题2位置交换
问题3改为让学生观看视频：2008奥运会郭晶晶3米跳板.（动态，结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性）
问题5前增加
学生观察思考.
教师：你发现了什么？（同一个角怎么去研究，自然过度到新知）
学生：放在平面直角坐标系.
问题8改成
（1）在直角坐标系中，30°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是30°吗？
（2）与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？
这些角都可以表示成30°的角与k（k∈Z）个周角的和（填空形式）：
390°=30° 360° ， （k=1）
-330°=30°-360° ， （k=-1）
又1470°=30° 4×360° ， （k=4）
-1770°=30°-5×360° . （k=-5）
（从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生更易于接受）
（3）所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
（4）所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
笔者觉得此次设计更注重活动、体验，也更注重数学与生活的联系、新旧知识的联系，体现了“数学是过程”的思想. 在我县数学教师培训和课堂观摩活动中，本设计得到了听课教师和专家的充分肯定. 当然，和诗歌创作一样，课堂教学设计是一门艺术，其追求是无止境的.
教学设计是展示教师风采的舞台，不同的教学设计传递给学生的影响不同，反映的效果也不同. “水本无华，相荡乃成涟漪，石本无火，相击而发火光”. 让我们精心设计课堂教学，去激活学生的智慧，放飞学生的思想. ■
任意角是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型. 角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续，为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具. 因此学生正确的理解和掌握角的概念的推广十分重要. 为此确定如下教学目标.
知识目标 ：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法.
能力目标：（1）提高学生的计算能力，归纳概括能力和类比思维能力；（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法.
德育情感目标：（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；（2）学会运用运动变化的观点认识事物.
怎样运用适当的教学策略，引领学生实现上述综合性的教学目标呢？
一、 第一轮教学设计
2000年，笔者第一次上这一节课时，采用的是典型的以知识为主线的课堂教学设计. 遵循引入─知识建构─知识应用─归纳总结的思路. 呈现的方式是：第一步，画一条射线，把它按顺、逆时针方向转直接给出正角、负角、零角的定义，角的概念得以迅速推广；第二步，直接把角放在平面直角坐标系研究，给出象限角的定义；第三步，以终边与30°角重合的角的表示给出终边相同的角的集合表示；第四步，应用举例（教师示范，通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角）；第五步，变式训练（用较多的时间通过练习，掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法）；第六步，归纳小结（角推广、象限角定义、与α终边相同的角的集合的表示）. 整堂课简洁明了，讲解清透. 先按教师的预设将知识呈现得淋漓尽致，接着示范，紧跟着题组训练，可以说也达到了学生掌握知识的目的. 但纵观整节课，这样的设计最大的缺陷是忽略了学生个体的主体作用. 学生在课堂中仅是被动接受知识，所有知识是直接灌输给学生的，学生没有得到分析问题和解决问题的经验，所学知识可以说是死的，无法迁移，对学生后继学习作用甚少，学生不喜欢.
二、第二轮教学设计
2004年，笔者第二次上这节课时，采用的是典型的以问题探究为主线的课堂教学设计. 遵循创设问题─分层设问─合作探究─动态生成─有效建构的思路.
第一步，创设情景 激发兴趣
问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1. 25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？（组织学生进行讨论，教师取出一个钟表，实际操作）
第二步，分层设问，合理探究
任意角的概念
问题2：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？（学生回答问题，教师动态展示角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形）
问题3：举出不在0°～360°的角的实例，并加以说明. （学生举例，再说明所举例的角为什么不在0°～360°. 教师提供教材中的几个例子，让学生感受角的概念推广的必要性）
问题4：你认为刻画这些角的关键是什么？（组织学生讨论，教师引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考）
给出任意角的定义. （教师引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角和零角的概念）
象限角的概念
问题5：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210°，-150°，-660）（学生画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法）
给出象限角的概念.（教师在总结分析合理放法的基础上，给出象限角的概念，并说明在同一坐标系下讨论角的好处. 然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念）
问题6：锐角、钝角分别是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？第四象限角一定是负角吗？
问题7：作出下列各角，并指出它们是第几象限角. （1）420°；（2）-75°；（3）-32° ；（4）-392°.（四个学生板演，其余独立完成，学生讲评）
终边相同的角表示
问题8： 都有哪些角的终边与30°角的终边相同？
问题9：将角按上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应. 反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（学生思考每组角的数量关系，教师展示课件让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来）
给出终边相同的角的集合表示.（学生尝试表示，教师指导）
练习：教科书P5练习第1～2题. （学生口答，教师通过提问的形式向学生传递答案）
第三步，有效建构，深化认识
问题10：在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角. （ 教师分析、板书）
练习：1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在-360°～720°间的角写出来： 60°；（2） -21°；（3）363°14′. （学生分小组讨论，派代表发言）
2. 学生自己编题，互批，有不明确的可邀请老师共同研究.（选部分实物投影展示） 问题11：写出终边在y轴上的角的集合. （学生自学，教师指出这两个集合求并集的关键是把270°改写成90° 180°，然后重新组合）
变式1：写出终边在x轴上的角的集合；变式2：终边在坐标轴上的角的集合.练习：写出终边在各象限的角的集合.
问题12：写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合范围[-360°，720°）的元素写出来. （师生共同完成，注意k的正确取值是关键）
练习：写出终边在直线在y=-x上的角的集合S，并把S中适合范围[-360°，720°）的元素写出来. （学生尝试独立完成练习，教师巡视，个别辅导，学生回答结果，教师给出评价）
变式：写出终边在四个象限的角平分线上的角的集合.
第四步，归纳小结，纳入系统
问题13：（1）你知道角是如何推广的吗？
（2）象限角是如何定义的呢？
（3）你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗？（学生回答，讨论交流，补充. 教师归纳总结，突出重点知识，解决学生的疑惑点）
第五步，任务后延，自主研究
（1）课外作业. （略）
（2）思考：已知α角为第一象限角，指出■、■的终边位置？
整个设计，以问题为中心，以问题为主线，所有的学习活动均以问题而展开，做到以问题为起点，问题解决为终点，问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识. 从课堂开始结合实际生活中的例子，由教材的“思考”出发，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性. 让学生利用类比和数形结合的思想，在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确地刻画角的形成过程的道理. “终边相同的角之间的关系”的学习，从特例出发，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受. 在知识动态生成阶段，大胆让学生板书练习，放手让学生去点评，让学生从实践中提高能力，让学生在合作中获得知识. 最后的总结没有直接投影给学生，而是将这个活动空间再次让给课堂主体，全体讨论，多人参与总结，真正再次活跃了课堂气氛. 学生在问题的引领下，思考多、讨论多、合作多、质疑多，在问题解决过程中获得解决问题的方式，让学生高层次的思维能力和自主学习能力在学习过程中得到了真正的提高，基本实现了综合性的教学目的.
课后反思，这是三角函数章节的第一节课，缺少了章节引言，有点突兀；不在0°～360°的角的实例教师所提供教材中的几个例子还不够生动；还有角怎么想到要放在平面直角坐标系中研究没有说透；终边相同的角表示引入设计不够透彻，太牵强；针对以上几个细节，拟作进一步修改.
三、第三轮教学设计
笔者第三次上这节课. 其设计与2004版大部分一样，部分作了修改. 下面是修改点：
问题1前增加了章节引入
（1）有诗赞曰：东升西落照苍穹，影短影长角不同. 昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣（背景是行星运动）. （让学生体验日常生活中普遍存在周而复始的现象，因而很有研究的必要，了解学科间的相互联系）
（2） （回答）今天是星期三那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？ 7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？ （数学来源于生活也服务于生活. 再次体验身边周而复始的现象）
引出三角函数这一描述周期现象的重要数学模型，进而提出今天我们一起来探究的三角函数第一节之任意角.
问题1与问题2位置交换
问题3改为让学生观看视频：2008奥运会郭晶晶3米跳板.（动态，结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性）
问题5前增加
学生观察思考.
教师：你发现了什么？（同一个角怎么去研究，自然过度到新知）
学生：放在平面直角坐标系.
问题8改成
（1）在直角坐标系中，30°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是30°吗？
（2）与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？
这些角都可以表示成30°的角与k（k∈Z）个周角的和（填空形式）：
390°=30° 360° ， （k=1）
-330°=30°-360° ， （k=-1）
又1470°=30° 4×360° ， （k=4）
-1770°=30°-5×360° . （k=-5）
（从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生更易于接受）
（3）所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
（4）所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
笔者觉得此次设计更注重活动、体验，也更注重数学与生活的联系、新旧知识的联系，体现了“数学是过程”的思想. 在我县数学教师培训和课堂观摩活动中，本设计得到了听课教师和专家的充分肯定. 当然，和诗歌创作一样，课堂教学设计是一门艺术，其追求是无止境的.
教学设计是展示教师风采的舞台，不同的教学设计传递给学生的影响不同，反映的效果也不同. “水本无华，相荡乃成涟漪，石本无火，相击而发火光”. 让我们精心设计课堂教学，去激活学生的智慧，放飞学生的思想. ■