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立体几何是高考中必考试题之一,纵观近几年全国各省市的试题特别是近三年全国Ⅱ卷的试题,试题题量、题型、分值稳定,两个小题一个大题分值共22分,其中一个小题为固定模式三视图。此类问题多为考查三视图的还原问题,且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合,主要考查学生的空间想象能力及运算能力,另一个小题则比较灵活。分析近三年全国Ⅱ卷文科都是体积问题,而理科涉及位置关系和命题真假的判断以及线面角、二面角,主要考察学生的空间想象能力、计算能力及分析问题、解决问题能力。相信同学们都已会做,这里就不再赘述,以下就解答题进行深入的分析并告诉大家一些小技巧。
立体几何解答题在第18或19题的位置,近三年(2012年-2014年)全国Ⅱ卷(下同)分为两问,第一问为证明平行或垂直(两年平行一年垂直),第二问文科为体积或点面距的计算,二者实质一样,而理科是与二面角有关问题的计算。由此可以看出它们都是稳定的,主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力和思维的缜密性、严谨性、书写的规范性。下面就文理共同的题目,通过例子来说明。
例1.(2013全国Ⅱ,18题)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点。
(1)证明:BC1∥面A1CD
思路分析:由结论想判定定理,由已知想性质定理,从结论看要证线面平行,有两条途径,一是转化为线线平行,就是在平面A1CD内作一条直线与BC1平行,因已知有中点,特别是D在要证的平面A1CD内,我们把要证的线BC1及有中点的线AB画成粗线(带颜色的线),显然这两条线相交,我们不妨把它称之为“V”型,连接V的另两端点AC1与要证的平面内的线A1C有交点,记为O,连接OD。只需证明O是AC1的中点即可,这是显然的。
规范解答:
途径一:证明:(1)连接AC1交AC1于O,连接OD
∵四边形A1ACC1是平行四边形
∴O是AC1的中点
又D是AB的中点
∴OD∥BC1
而OD∩平面A1CD,BC1平面A1CD(这两步必不可少,丢掉=丢分)
∴BC1∥平面A1CD
途径二:转化为面面平行,就是要找一个过线段BC1的平面,使其与已知平面A1CD平行即可。这只需设A1B1的中点为F,连接C1F和BF从而实现。具体解答请同学们自己解决,显然途径二不如途径一简洁。
例2.(2014全国Ⅱ卷,18题)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点。
(1)证明:PB∥平面AEC
思路一:同学们,当你学完例1的详解后,再将要证的线和有中点的线画成粗线后,你就会发现二者惊人的相似。你一定会激动万分,跃跃欲试,自己一探究竟,同学们历史会重演的!
对于“V”型的证明平行,必须符合以下几个特点:第一,中点在要证的平面内;第二,连接的两端必须与平面内的线有交点。
思路二:过B作BF∥AC交DC的延长线于一点G,连接PG,只需证PG∥平面AEC即可。
例3.(2014天津,17题)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,E、F分别是棱AD、PC的中点。
证明:EF∥平面PAD
思路分析:从结论来看要证线面平行,总体思路有两条,要么转化为线线平行,要么转化为线面平行。然而,无论是将EF与PC还是EF与AD画成粗实线它都非V型,我们姑且称之为“T”型。遇到这种类型的问题方法有三种,一是以要证的线为一边构造平行四边形,且其另一边在要证的平面内。
规范作答:
方法一:如图取PD中点H,连接FH、HA
∵F是PC的中点
∴FH∥BC且FH=BC
又四边形ABCD是平行四边形,且E为AD的中点
∴FH∥AE且FH=AE
∴四边形AEFH为平行四边形
∴EF∥AH
∵EF平面PAB,AH∩平面PAB
∴EF∥平面PAB
方法二是转化为面面平行,因有中点,故通过作中位线构造面面平行。
证明2:如图,设G为BC的中点,连接FG、EG
∵F为PC的中点
∴FG∥PB
又FG平面PAB,PB∩平面PAB
∴FG∥平面PAB,
又E为AD中点且四边形ABCD是平行四边形
∴EG∥AB
EG平面PAB
AB∩平面PAB
∴EG∥平面PAB
又EG∩FG=G(不可丢)
∴平面EFG∥平面PAB
而EF∩平面EFG(不可无)
∴EF∥平面PAB
三是以要证的线为主,构造以它为中位线的三角形。
证明3:如图,连接CE并延长与BA的延长线交于一点M,连接PM
∵四边形ABCD为平行四边形
∴E为AD的中点
∴AE∥BC,AE=BC
∴E为AD的中点
又F是CP的中点
∴EF∥PM
EF平面PAB,PM∩平面PAB
∴EF∥平面PAB
例4:(2013辽宁卷,18题)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=1,点M、N分别为A1B和B1C1的中点。
证明:MN∥平面A1ACC1
思路与例3完全一样。下面只给出三个图形,期望同学们自己完成。
以上就高考中常见的证明线面平行的的两种类型进行了总结,并给出了相应的方法(对理科生除了上述方法外,还可以用向量法),但是没有一种方法是万能的。条件可以千变万化,但万变不离其宗。我们要从战略的高度考虑此问题,证平行关系,实质上就是线线、线面、面面平行的相互转化,有中点,构造中位线,从而实现转化。同时还要重视垂直与平行的交叉转化,相信同学们读了此文后会有所收获,有所领悟,信心满满地挑战高考中立体几何中的平行问题,关于垂直及体积计算等问题,请等下回分解。
(作者单位:内蒙古二连浩特市第一中学)
立体几何解答题在第18或19题的位置,近三年(2012年-2014年)全国Ⅱ卷(下同)分为两问,第一问为证明平行或垂直(两年平行一年垂直),第二问文科为体积或点面距的计算,二者实质一样,而理科是与二面角有关问题的计算。由此可以看出它们都是稳定的,主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力和思维的缜密性、严谨性、书写的规范性。下面就文理共同的题目,通过例子来说明。
例1.(2013全国Ⅱ,18题)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点。
(1)证明:BC1∥面A1CD
思路分析:由结论想判定定理,由已知想性质定理,从结论看要证线面平行,有两条途径,一是转化为线线平行,就是在平面A1CD内作一条直线与BC1平行,因已知有中点,特别是D在要证的平面A1CD内,我们把要证的线BC1及有中点的线AB画成粗线(带颜色的线),显然这两条线相交,我们不妨把它称之为“V”型,连接V的另两端点AC1与要证的平面内的线A1C有交点,记为O,连接OD。只需证明O是AC1的中点即可,这是显然的。
规范解答:
途径一:证明:(1)连接AC1交AC1于O,连接OD
∵四边形A1ACC1是平行四边形
∴O是AC1的中点
又D是AB的中点
∴OD∥BC1
而OD∩平面A1CD,BC1平面A1CD(这两步必不可少,丢掉=丢分)
∴BC1∥平面A1CD
途径二:转化为面面平行,就是要找一个过线段BC1的平面,使其与已知平面A1CD平行即可。这只需设A1B1的中点为F,连接C1F和BF从而实现。具体解答请同学们自己解决,显然途径二不如途径一简洁。
例2.(2014全国Ⅱ卷,18题)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点。
(1)证明:PB∥平面AEC
思路一:同学们,当你学完例1的详解后,再将要证的线和有中点的线画成粗线后,你就会发现二者惊人的相似。你一定会激动万分,跃跃欲试,自己一探究竟,同学们历史会重演的!
对于“V”型的证明平行,必须符合以下几个特点:第一,中点在要证的平面内;第二,连接的两端必须与平面内的线有交点。
思路二:过B作BF∥AC交DC的延长线于一点G,连接PG,只需证PG∥平面AEC即可。
例3.(2014天津,17题)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,E、F分别是棱AD、PC的中点。
证明:EF∥平面PAD
思路分析:从结论来看要证线面平行,总体思路有两条,要么转化为线线平行,要么转化为线面平行。然而,无论是将EF与PC还是EF与AD画成粗实线它都非V型,我们姑且称之为“T”型。遇到这种类型的问题方法有三种,一是以要证的线为一边构造平行四边形,且其另一边在要证的平面内。
规范作答:
方法一:如图取PD中点H,连接FH、HA
∵F是PC的中点
∴FH∥BC且FH=BC
又四边形ABCD是平行四边形,且E为AD的中点
∴FH∥AE且FH=AE
∴四边形AEFH为平行四边形
∴EF∥AH
∵EF平面PAB,AH∩平面PAB
∴EF∥平面PAB
方法二是转化为面面平行,因有中点,故通过作中位线构造面面平行。
证明2:如图,设G为BC的中点,连接FG、EG
∵F为PC的中点
∴FG∥PB
又FG平面PAB,PB∩平面PAB
∴FG∥平面PAB,
又E为AD中点且四边形ABCD是平行四边形
∴EG∥AB
EG平面PAB
AB∩平面PAB
∴EG∥平面PAB
又EG∩FG=G(不可丢)
∴平面EFG∥平面PAB
而EF∩平面EFG(不可无)
∴EF∥平面PAB
三是以要证的线为主,构造以它为中位线的三角形。
证明3:如图,连接CE并延长与BA的延长线交于一点M,连接PM
∵四边形ABCD为平行四边形
∴E为AD的中点
∴AE∥BC,AE=BC
∴E为AD的中点
又F是CP的中点
∴EF∥PM
EF平面PAB,PM∩平面PAB
∴EF∥平面PAB
例4:(2013辽宁卷,18题)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=1,点M、N分别为A1B和B1C1的中点。
证明:MN∥平面A1ACC1
思路与例3完全一样。下面只给出三个图形,期望同学们自己完成。
以上就高考中常见的证明线面平行的的两种类型进行了总结,并给出了相应的方法(对理科生除了上述方法外,还可以用向量法),但是没有一种方法是万能的。条件可以千变万化,但万变不离其宗。我们要从战略的高度考虑此问题,证平行关系,实质上就是线线、线面、面面平行的相互转化,有中点,构造中位线,从而实现转化。同时还要重视垂直与平行的交叉转化,相信同学们读了此文后会有所收获,有所领悟,信心满满地挑战高考中立体几何中的平行问题,关于垂直及体积计算等问题,请等下回分解。
(作者单位:内蒙古二连浩特市第一中学)