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【摘要】 特殊化策略即把原问题构造成特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化策略在解决选择题、填空题时有重要的应用，同样在解决应用题时也有重要的应用.
【关键词】 应用题；情景特殊化；条件特殊化；目标特殊化
特殊化策略即把原问题构造成特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化策略是一种“退”的策略，就是从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体.特殊化策略在解决选择题、填空题时有重要的应用，同样在解决应用题时也有重要的应用.
1.情景特殊化
例1 某项目要挖一个横断面为半圆的柱形坑，挖出的土只能沿道路MQ，NQ运到Q处（如图1），MQ=200 m，NQ=300 m，∠APB=60°.试说明怎样运土才能最省工？
分析 这是一个最优化问题，其情景是工程挖土，学生对这些概念缺乏理性的认识.把情景特殊化可以帮助学生对题意加深理解，使问题得到解决.这实际上是一个路程问题，在半圆内什么样的点沿MQ到Q近，什么样的点沿NQ到Q近.解决这个问题只要考虑圆内什么样的点沿MQ到Q与沿NQ到Q距离相等这个情景.
解 MN2=QM2 QN2-2QM·QNcos60°=70000.
图 1 由题意可得，半圆中的点有三种：
第一种是沿MQ至Q近；第二种沿NQ至Q近；
第三种是沿MQ，NQ到Q同样近.
第三种是第一第二种的临界状态，设P是临界线上的任一点，
则PM MQ=PN NQ，
所以PM-PN=QN-QM=300-200=100<100 7 ，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的一支.以MN所在直线为x轴、MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则临界线的轨迹方程为 x2 2500 - y2 15000 =1（x≥50）.
所以运土时将双曲线左方的土沿MQ运至Q处，右方的土沿NQ运至Q处最省工.
该题原来是一个不等式问题，思考及运算都比较复杂，通过情景特殊化应该说问题简单了，把不等式问题转化为等式问题来研究.
2.条件特殊化
例2 一幢大楼共有n层，现指定一人到第k层去开会，问：当k为何值时，才能使所有开会人员上、下楼梯所走的台阶数之和最小？（假设每层楼梯的台阶数都相同，设为a）
分析 k是自变量，n是参数，学生理解困难，无从下手，我们日常生活中
最常见又和生活最贴近的楼层一般是6层或7层楼，让学生从6层或7层楼开始，
如何解决这个问题，学生会得到6层楼（7层楼）时可能是在3层或4层
开会所走的台阶数之和最小，对这个问题产生了很重要的感性认识，对于n奇偶性不同，会有不同的计算结果.
若n=10，指定一人到第k层去开会，如何研究，把n特殊化，这个问题就解决了，例2也就解决了.
如图若k=4，上、下楼梯所走的台阶数之和y=（1 2 3）a （1 2 3 4 5 6）a，
由此得到当在第k层开会时，y=[1 2 3 … （k-1）]a [1 2 … （10-k）]a，是关于k的二次函数，求当k为何值时y最小.把条件特殊化，使我们找到了解决这个问题的方法.
解：大楼共有n层，在第k层开会，每层楼梯的台阶数为a，上、下楼梯所走的台阶数之和y=[1 2 3 … （k-1）]a [1 2 … （n-k）]a，即y=[ k-1 k 2 n-k 1 n-k 2 ]a，化简得：y= 1 2 a[2k2-2 1 n k n 1 n ]，∵a>0，k= 1 n 2 时y最小.因为k是非零自然数，当n为奇数时，k= 1 n 2 时y最小；当n为偶数时，k= 1 n±1 2 时y最小.
条件中含有字母n，k，这正是学生研究问题中的薄弱环节，把条件特殊化（即把n，k特殊化），可以帮助学生对问题的理解，从特殊的目标函数中抽象出一般的函数关系.
3.目标特殊化
例3 A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米.设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：（1）乘坐一辆出租车；（2）每5千米换乘一辆出租车.对不同的出行行程，（1）（2）两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由.
分析 本题的目标是写出两种乘车方案计价的函数关系式，然后比较它们的大小.对于（1）学生不难理解，但要写出（2）的计价函数关系式，因“每5千米换乘一辆出租车”是一个周期问题，要写出含有周期的分段函数式学生在理解和操作上有一定的困难，如何降低难度，我们可以使目标特殊化.先考虑0～10千米内（1）（2）两种方案计价的函数关系式.设方案（1）的计价函数为f（x），方案（2）的计价函数为g（x）.则
f（x）= 10，0 g（x）= 10，0 比较f（x）与g（x）的大小就容易得多.观察（2），因其周期为5，当x∈（0， ∞）时，就能自然写出f（x）与g（x）.
解：f（x）= 10，05
g（x）= 13k 10，5k 要直接写出方案（2）的计价函数g（x），确实存在困难，把目标特殊化（即写出两个周期x∈ 0，10 内的g（x）），使学生产生从感性到理性的过度.
4.应 用
例4 A，B两城市相距p（km），汽车从A城市匀速驶至B城市，速度不得超过a（km/h），已知车辆每小时行驶成本（单位：元）由固定和可变两部分组成：固定部分为b元.可变部分跟速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为c；问：汽车速度v为多大时，才能使得全程运行成本最小？并求运行成本的最小值.
分析 依照题意，汽车从A城市行驶到B城市所需时间为 p v ，学生能得到全程运行成本为
y=p b v cv ，v∈ 0，a ，并通过p（ b v cv）≥2p bc ，当且仅当 b v =cv即v= b c 时求得y的最小值为2p bc .显然这种解法是错误的，原因在什么地方？因为v∈ 0，a ， b c 是否在区间 0，a 内，这就要研究 b c 与a的大小.为了加强学生对这个问题的认识，可以把a、b、c特殊化，例a=2，b=9，c=1，v= b c =3 0，2 ，加深了学生的影响.如何研究这个问题，给学生提供了一次很好的锻炼机会.
解 由y=p（ b v cv），v∈ 0，a ，（1）若 b c ≤a时，p（ b v cv）≥2p bc ，v= b c 时求得y的最小值为2p bc ；（2） b c >a时，可以证明y=p（ b v cv），v∈ 0，a 为减函数（略），即v=a时求得y的最小值为p b a ca .
总之，用特殊化方法对应用题的研究、对问题的解决能取得很好的作用，它不但能提供解决问题的较好方法，更重要的是能提高学生分析问题和解决问题的能力，在平时的教学中要引起我们足够的重视.
【关键词】 应用题；情景特殊化；条件特殊化；目标特殊化
特殊化策略即把原问题构造成特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化策略是一种“退”的策略，就是从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体.特殊化策略在解决选择题、填空题时有重要的应用，同样在解决应用题时也有重要的应用.
1.情景特殊化
例1 某项目要挖一个横断面为半圆的柱形坑，挖出的土只能沿道路MQ，NQ运到Q处（如图1），MQ=200 m，NQ=300 m，∠APB=60°.试说明怎样运土才能最省工？
分析 这是一个最优化问题，其情景是工程挖土，学生对这些概念缺乏理性的认识.把情景特殊化可以帮助学生对题意加深理解，使问题得到解决.这实际上是一个路程问题，在半圆内什么样的点沿MQ到Q近，什么样的点沿NQ到Q近.解决这个问题只要考虑圆内什么样的点沿MQ到Q与沿NQ到Q距离相等这个情景.
解 MN2=QM2 QN2-2QM·QNcos60°=70000.
图 1 由题意可得，半圆中的点有三种：
第一种是沿MQ至Q近；第二种沿NQ至Q近；
第三种是沿MQ，NQ到Q同样近.
第三种是第一第二种的临界状态，设P是临界线上的任一点，
则PM MQ=PN NQ，
所以PM-PN=QN-QM=300-200=100<100 7 ，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的一支.以MN所在直线为x轴、MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则临界线的轨迹方程为 x2 2500 - y2 15000 =1（x≥50）.
所以运土时将双曲线左方的土沿MQ运至Q处，右方的土沿NQ运至Q处最省工.
该题原来是一个不等式问题，思考及运算都比较复杂，通过情景特殊化应该说问题简单了，把不等式问题转化为等式问题来研究.
2.条件特殊化
例2 一幢大楼共有n层，现指定一人到第k层去开会，问：当k为何值时，才能使所有开会人员上、下楼梯所走的台阶数之和最小？（假设每层楼梯的台阶数都相同，设为a）
分析 k是自变量，n是参数，学生理解困难，无从下手，我们日常生活中
最常见又和生活最贴近的楼层一般是6层或7层楼，让学生从6层或7层楼开始，
如何解决这个问题，学生会得到6层楼（7层楼）时可能是在3层或4层
开会所走的台阶数之和最小，对这个问题产生了很重要的感性认识，对于n奇偶性不同，会有不同的计算结果.
若n=10，指定一人到第k层去开会，如何研究，把n特殊化，这个问题就解决了，例2也就解决了.
如图若k=4，上、下楼梯所走的台阶数之和y=（1 2 3）a （1 2 3 4 5 6）a，
由此得到当在第k层开会时，y=[1 2 3 … （k-1）]a [1 2 … （10-k）]a，是关于k的二次函数，求当k为何值时y最小.把条件特殊化，使我们找到了解决这个问题的方法.
解：大楼共有n层，在第k层开会，每层楼梯的台阶数为a，上、下楼梯所走的台阶数之和y=[1 2 3 … （k-1）]a [1 2 … （n-k）]a，即y=[ k-1 k 2 n-k 1 n-k 2 ]a，化简得：y= 1 2 a[2k2-2 1 n k n 1 n ]，∵a>0，k= 1 n 2 时y最小.因为k是非零自然数，当n为奇数时，k= 1 n 2 时y最小；当n为偶数时，k= 1 n±1 2 时y最小.
条件中含有字母n，k，这正是学生研究问题中的薄弱环节，把条件特殊化（即把n，k特殊化），可以帮助学生对问题的理解，从特殊的目标函数中抽象出一般的函数关系.
3.目标特殊化
例3 A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米.设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：（1）乘坐一辆出租车；（2）每5千米换乘一辆出租车.对不同的出行行程，（1）（2）两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由.
分析 本题的目标是写出两种乘车方案计价的函数关系式，然后比较它们的大小.对于（1）学生不难理解，但要写出（2）的计价函数关系式，因“每5千米换乘一辆出租车”是一个周期问题，要写出含有周期的分段函数式学生在理解和操作上有一定的困难，如何降低难度，我们可以使目标特殊化.先考虑0～10千米内（1）（2）两种方案计价的函数关系式.设方案（1）的计价函数为f（x），方案（2）的计价函数为g（x）.则
f（x）= 10，0
解：f（x）= 10，0
g（x）= 13k 10，5k
4.应 用
例4 A，B两城市相距p（km），汽车从A城市匀速驶至B城市，速度不得超过a（km/h），已知车辆每小时行驶成本（单位：元）由固定和可变两部分组成：固定部分为b元.可变部分跟速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为c；问：汽车速度v为多大时，才能使得全程运行成本最小？并求运行成本的最小值.
分析 依照题意，汽车从A城市行驶到B城市所需时间为 p v ，学生能得到全程运行成本为
y=p b v cv ，v∈ 0，a ，并通过p（ b v cv）≥2p bc ，当且仅当 b v =cv即v= b c 时求得y的最小值为2p bc .显然这种解法是错误的，原因在什么地方？因为v∈ 0，a ， b c 是否在区间 0，a 内，这就要研究 b c 与a的大小.为了加强学生对这个问题的认识，可以把a、b、c特殊化，例a=2，b=9，c=1，v= b c =3 0，2 ，加深了学生的影响.如何研究这个问题，给学生提供了一次很好的锻炼机会.
解 由y=p（ b v cv），v∈ 0，a ，（1）若 b c ≤a时，p（ b v cv）≥2p bc ，v= b c 时求得y的最小值为2p bc ；（2） b c >a时，可以证明y=p（ b v cv），v∈ 0，a 为减函数（略），即v=a时求得y的最小值为p b a ca .
总之，用特殊化方法对应用题的研究、对问题的解决能取得很好的作用，它不但能提供解决问题的较好方法，更重要的是能提高学生分析问题和解决问题的能力，在平时的教学中要引起我们足够的重视.