【摘要】本文主要讨论了任意项级数敛散性判定的几种有效方法.根据幂级数收敛域的特点，构造幂级数，判定任意项级数的敛散性.
　　【关键词】任意项级数;敛散性;幂级数;收敛域
　　无穷级数是高等数学的重要内容之一，判定级数的敛散性是无穷级数理论的重要组成部分.在无穷级数的教学中，介绍正项级数敛散性[1]的方法较多，而对判定任意项级数的收敛与发散的方法没有系统地讨论说明.本文主要针对任意项级数收敛性判定问题进行探讨.
　　所谓任意项级数，即在级数∑∞n=1un中，一般项un（n=1，2，…）的值正负没有规律.
　　一、用级数收敛的必要条件判定
　　级数收敛的必要条件：如果级数∑∞n=1un收敛，则一般项 limn→∞un=0.
　　由级数收敛的必要条件知：如果 limn→∞un≠0，则级数∑∞n=1un发散.用此结论可以判断级数是否发散.
　　例如，级数∑∞n=1（-1）nn（n 1）n2 1，由于un=（-1）n·n（n 1）n2 1，而 limn→∞|un|=limn→∞n（n 1）n2 1≠0，
　　则 limn→∞un≠0，故级数∑∞n=1（-1）nn（n 1）n2 1发散.
　　二、用幂级数的收敛域判定
　　用幂级数的收敛域判定时，根据级数∑∞n=1un的形式，构造幂级数∑∞n=1anxn，把数项级数看作是幂级数在x=x0处的级数，通过幂级数的收敛域范围，判定对应的数项级数的收敛性.
　　例如，级数∑∞n=1（-1）nnnn！，设幂级数∑∞n=1nnn！xn，当x=-1时即为所求.级数∑∞n=1nnn！xn的收敛半径为R=limn→∞nnn！（n 1）n 1（n 1）！=limn→∞nn 1n=1e，故在x=-1时，级数∑∞n=1（-1）nnnn！发散.
　　如果是级数∑∞n=1nnn！（2e）n，因为幂级数∑∞n=1nnn！xn的收敛区间为-1e，1e，则在x=12e时，级数∑∞n=1nnn！（2e）n收敛.
　　三、用夹逼准则判定
　　在数列极限的存在准则中有夹逼准则，此准则可推广到无穷级数的敛散性的判定上.
　　如果级数∑∞n=1an与∑∞n=1bn收敛，且an≤un≤bn（n=1，2，…），则级数∑∞n=1un也收斂.
　　例如，级数∑∞n=1（-1）nn10n，因为-n10n≤un=（-1）n·n10n≤n10n（n=1，2，…），而级数∑∞n=1n10n与∑∞n=1-n10n收敛，所以级数∑∞n=1（-1）nn10n也收敛.
　　四、用绝对收敛的性质判定
　　定理