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问题 两小物块通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上,现物块A以速度v1向右匀速运动,当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时,如图1所示.求物块B的运动速度vB(绳始终有拉力).
方法一:常规方法
1.选择 “连接点”.该点必须是同时参与平动和转动的点.2.判断该点的合速度.即为方向绐终不变的速度,或为该点实际运动的速度.3.再分析该点参与了哪两个运动.
解析 A、B两物块通过绳相连接,且两物块都是运动的,物块的实际运动速度是合速度,物块的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果.物块A向右运动的过程中,物块A的速度是合速度,绳的速度是分速度,可将合速度分解为沿绳方向与垂直于绳方向的两个分速度,如图2所示,由图可知v绳A=v1cosα.同理物块A向右运动的过程中,物块B的速度是合速度,绳的速度是分速度,可将合速度分解为沿绳方向与垂直于绳方向的两个分速度,如图2所示,由图可知v绳B=vBcosβ.由于绳子不可以伸长,则有v绳A=v绳B,所以vB=v1cosα/cosβ.
这种解法学生不易接受,很容易出现另外一种错误,即v绳A=v1/cosα,v绳B=vB/cosβ,导致结果错误.为了避免学生犯错误,同时便于学生理解和拓宽学生的思路,下面三种方法较好,且方法二和方法三方便快捷,易被学生理解并接受.
方法二:分解法
(1)原理:由于绳(杆)长度不变,因此两端沿绳(杆)方向的分速度大小相等.
(2)求解方法:把物块的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.
解析 A、B两物块的速度分解如图,由图可知:
v绳A=v1cosα,v绳B=vBcosβ,
由于绳长度不变,有v绳A=v绳B,
所以vB=v1cosα/cosβ.
方法三:功率法
(1)原理:通过绳(杆)连接的物块时,往往力拉轻绳(轻杆)做功的功率等于轻绳(轻杆)对物块做功的功率.
(2)求解方法:通过绳(杆)连接物块时,由绳(杆)长度不变,轻绳(轻杆)的弹力对两物块做功的功率相等.
解析 设绳对物块的拉力为T,由绳长度不变,绳的拉力对两物块做功的功率相等.则有
TvBcosβ=Tv1cosα,
所以vB=v1cosα/cosβ.
方法四:求导法
利用导数可以拓宽原有知识的深度和广度,也可以打开解决问题的思路,可以加深学生对知识的理解,但因学生的熟练程度不够,使用的也少,若学生层次高可以用.
解析 如图3所示,物块B在题图位置时绳子长r,物块B离滑轮的水平位移为x,物块B离滑轮的竖直高度h,由勾股定理得
x2 h2=r2.
对时间求导得2xx′ 2hh′=2rr′,其中r′就是绳子的速度v绳B,x′就是物块B的速度vB,h′=0,则有xvB=rv绳B,所以v绳B=vBcosβ.
同理有:v绳A=v1cosα由于绳子不可以伸长,则有v绳A=v绳B,所以vB=v1cosα/cosβ.
为了让上述观点得到推广,现用分解法和功率法求解下面问题:
例1 如图4所示,A、B两小球分别套在两光滑的水平直杆上,两小球通过一轻绳绕过一个定滑轮相连,现在将A小球以速度vA向左匀速移动,某时刻连接两小球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β,绳始终有拉力,此时B小球的速度是多少?
第一,用分解法解析
将A、B两小球的速度分解为垂直于绳和沿绳两个分量,沿绳的分量分别为v绳A、v绳B,由于绳长度不变,有v绳A=v绳B,所以
vB=vAcosα/cosβ.
第二,用功率法解析
设绳对A、B小球的拉力为T,由绳长度不变,绳的拉力对两物块做功的功率相等.则有TvBcosβ=TvAcosα,所以vB=vAcosα/cosβ.
例2 如图5所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动,当AB杆和墙的夹角为β时,杆的B端沿墙下滑的速度大小为vB,A端沿地面的速度大小为vA.则vA、vB的关系是什么?
此题用分解法解析 把A、B两端的速度分解为垂直于杆和沿杆两个分量,沿杆的分量分别为v杆A、v杆B,即v杆A=vAcos(90°-β),v杆B=vBcosβ,由于杆长度不变,有v杆A=v杆B,所以vB=vAtanβ.
由于此题杆两端弹力的功率为零,所以不会用功率法求解.
方法一:常规方法
1.选择 “连接点”.该点必须是同时参与平动和转动的点.2.判断该点的合速度.即为方向绐终不变的速度,或为该点实际运动的速度.3.再分析该点参与了哪两个运动.
解析 A、B两物块通过绳相连接,且两物块都是运动的,物块的实际运动速度是合速度,物块的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果.物块A向右运动的过程中,物块A的速度是合速度,绳的速度是分速度,可将合速度分解为沿绳方向与垂直于绳方向的两个分速度,如图2所示,由图可知v绳A=v1cosα.同理物块A向右运动的过程中,物块B的速度是合速度,绳的速度是分速度,可将合速度分解为沿绳方向与垂直于绳方向的两个分速度,如图2所示,由图可知v绳B=vBcosβ.由于绳子不可以伸长,则有v绳A=v绳B,所以vB=v1cosα/cosβ.
这种解法学生不易接受,很容易出现另外一种错误,即v绳A=v1/cosα,v绳B=vB/cosβ,导致结果错误.为了避免学生犯错误,同时便于学生理解和拓宽学生的思路,下面三种方法较好,且方法二和方法三方便快捷,易被学生理解并接受.
方法二:分解法
(1)原理:由于绳(杆)长度不变,因此两端沿绳(杆)方向的分速度大小相等.
(2)求解方法:把物块的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.
解析 A、B两物块的速度分解如图,由图可知:
v绳A=v1cosα,v绳B=vBcosβ,
由于绳长度不变,有v绳A=v绳B,
![](http://img1.qikan.com/qkimages/zxwl/zxwl201509/zxwl20150953-1-l.jpg)
所以vB=v1cosα/cosβ.
方法三:功率法
(1)原理:通过绳(杆)连接的物块时,往往力拉轻绳(轻杆)做功的功率等于轻绳(轻杆)对物块做功的功率.
(2)求解方法:通过绳(杆)连接物块时,由绳(杆)长度不变,轻绳(轻杆)的弹力对两物块做功的功率相等.
解析 设绳对物块的拉力为T,由绳长度不变,绳的拉力对两物块做功的功率相等.则有
TvBcosβ=Tv1cosα,
所以vB=v1cosα/cosβ.
方法四:求导法
利用导数可以拓宽原有知识的深度和广度,也可以打开解决问题的思路,可以加深学生对知识的理解,但因学生的熟练程度不够,使用的也少,若学生层次高可以用.
解析 如图3所示,物块B在题图位置时绳子长r,物块B离滑轮的水平位移为x,物块B离滑轮的竖直高度h,由勾股定理得
x2 h2=r2.
对时间求导得2xx′ 2hh′=2rr′,其中r′就是绳子的速度v绳B,x′就是物块B的速度vB,h′=0,则有xvB=rv绳B,所以v绳B=vBcosβ.
同理有:v绳A=v1cosα由于绳子不可以伸长,则有v绳A=v绳B,所以vB=v1cosα/cosβ.
为了让上述观点得到推广,现用分解法和功率法求解下面问题:
例1 如图4所示,A、B两小球分别套在两光滑的水平直杆上,两小球通过一轻绳绕过一个定滑轮相连,现在将A小球以速度vA向左匀速移动,某时刻连接两小球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β,绳始终有拉力,此时B小球的速度是多少?
第一,用分解法解析
将A、B两小球的速度分解为垂直于绳和沿绳两个分量,沿绳的分量分别为v绳A、v绳B,由于绳长度不变,有v绳A=v绳B,所以
vB=vAcosα/cosβ.
第二,用功率法解析
设绳对A、B小球的拉力为T,由绳长度不变,绳的拉力对两物块做功的功率相等.则有TvBcosβ=TvAcosα,所以vB=vAcosα/cosβ.
例2 如图5所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动,当AB杆和墙的夹角为β时,杆的B端沿墙下滑的速度大小为vB,A端沿地面的速度大小为vA.则vA、vB的关系是什么?
此题用分解法解析 把A、B两端的速度分解为垂直于杆和沿杆两个分量,沿杆的分量分别为v杆A、v杆B,即v杆A=vAcos(90°-β),v杆B=vBcosβ,由于杆长度不变,有v杆A=v杆B,所以vB=vAtanβ.
由于此题杆两端弹力的功率为零,所以不会用功率法求解.