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摘要：在小学数学教学中，数形结合思想的有效渗透能进一步丰富小学数学的内容及形式，提升学生的逻辑思维能力，帮助学生更好地理解相关理论，并能运用这些理论解决数学问题。本文以面积解题为例，通过对数形结合思想的进一步分析及研究来掌握数学学习的技巧，进而对数学这门学科有一个全新的感知及理解。
关键词：数形结合思想;小学数学;渗透;应用
中图分类号：G4 文献标识码：A
引言
作为一种现代化的学习方法以及学习思想，数形结合思想备受好评，小学数学教学改革及创新离不开这一思想的快速融入以及全面渗透，数学教师需要找准数形结合思想的渗透点，确保学生形成良好的数学思维习惯，让学生树立与时俱进的数学学习精神，鼓励学生在数形结合思想的指导下自主独立地完成不同的学习任务，深化自身对数学知识的理解及认知，进而实现举一反三和学以致用。
一、用面积解题帮助学生理解运算定律
数与形关系密切。在运算定律教学过程中，笔者运用教学图形巧妙地把数和形结合起来，利用面积解题指导学生理解运算定律，掌握计算方法，把抽象的数学概念直观化，把抽象的问题形象化，帮助学生理解数学概念的本质特征。如教学乘法分配律（一个数乘两个数的和，等于这个数分别与这两个数所得的积的和）时，部分学生在运用乘法分配律进行简便运算时总是出错，且不会分析错误的原因，对算理的理解基本处于无意识状态。小学生思维的发展，正逐步从具体形象思维向抽象思维过渡，由于乘法分配律这一部分内容抽象性较强，学生学起来确实有难度，怎样才能突破这一教学难点呢？传统的教学方法是强背概念和大量练习，这样的教学往往事倍功半。对此可以运用数形结合思想方法，以面积解题的方式帮助学生理解运算定律。
例1：下列三个长方形面积之和，等于把三个长方形拼成一个长方形的面积。（单位：厘米）
得出：21×73+21×26+21×1
=21×（73+26+1）
=21×100
=2100（平方厘米）
将三个长方形拼成一个大长方形，呈现一个直观性和操作性较强的素材图，使得学生更易于掌握乘法分配律。
二、用面积解题帮助学生解平均数
在总和不变的条件下，把几个不相等的数通过移多补少，使它们完全相等，得到的数就是平均数。学生在做一般的平均数问题时，只须牢记三个数量关系式，即平均数=总数量÷总份数，总数量=平均数×总份数，总份数=总数量÷平均数。但在实际运用中遇到较复杂的平均数问题时，学生虽然懂得要“移多补少”，但不知道将移去的部分补到哪里，移补前后哪些数据发生了变化，导致做题时很茫然。对此，教师可以利用面积解题的方式帮助学生解平均数。下面以一道数学题为例谈谈教学实践。例2：一次语文测试，四年级（2）班全体同学平均分为92.5分，已知女生20人，平均每人94分，男生平均每人91.3分，求这个班男生有多少人？在教学中，笔者利用图“形”作为直观工具帮助学生分析、理解问题，即通过画图用面积公式来求平均数问题。解题过程如下：将平均分看作长方形的“长”，将人数看作长方形的“宽”，总分就自然可以当作长方形的“面积”。如图所示：
用线段gh表示男生平均分数91.3分，线段bc则表示全班平均分数92.5分，线段be表示女生平均分数94分，线段ab表示女生人数20人，线段ag表示男生的人数（横线的长短表示平均数的多少，竖线的长短表示人数的多少）。求男生人数是多少，即求线段ag长多少？由平均数的“移多补少”可知，长方形dcef的面积是女生高出全班平均分的部分，它正好补到男生低于全班平均分的那一部分，也就是长方形idkh的面积，由此可知，长方形dcef的面积等于长方形idkh的面积，这样就能将其转换成用长方形的面积公式来求问题。由图形可知，男生人数ag，正是长方形idkh的宽边。解题过程应先求出女生高出全班平均分的总分数，如下：长方形dcef的面积=长×宽=（94-92.5）×20=30（分）因为长方形dcef的面积表示女生高出总平均分的总分数，所以30的单位是“分”。这个面积与长方形idkh的面积相等：
宽ag=宽dk=长方形dcef的面积÷长hk
=30÷（92.5-91.3）
=25（人）
因为线段ag的长表示男生的人数，所以25的单位是“人”，也就是说男生有25人。列综合算式为：20×（94-92.5）÷（92.5-91.3）=30÷1.2=25（人）答：这个班男生有25人。对两批学生用新老方法进行教学可知，画图移补面积的方法更能让学生直观形象地接受并掌握知识点。
三、用面积解题帮助学生求租船问题
图形的直观形象特点，决定了化数为形往往能达到以简驭繁的目的。如利用面积解题策略可以帮助学生理解如何调整船只，让学生在直观理解的基础上充分感知调整的过程，从而提升思维能力。例3：全班同学去划船。如果减少一条船，每条船正好坐9人;如果增加一条船，每条船正好坐6人。那么全班共有多少人？在教学时，教师的解题策略侧重于先假设有x条船，减少一条船，每条船坐9人与增加一条船正好坐6人的总人数相等，利用关系式列出下列方程。
方法1：设有x条船。
9×（x-1）=6×（x+1）
9x-9=6x+6
9x-6x=6+9
3x=15
x=5
全班共有9×（5-1）=36（人）
答：全班共有36人。
方法2：将每条船上的人数看作长方形的“长”，船数看作长方形的“宽”，从而将总人数自然看作长方形的“面积”。
分析：把C+B的面积看作总人数，将横线的长短看作每条船上的人数，竖线的高矮看作船數。因为增加一条船，每条船正好坐9人，所以ab的长等于9人，而减少一条船，每条船正好坐6人，de的长等于6人，dc的长等于2条船，增加一条船和减少一条船的情况下，二者相差两条船，
可得：
四、用面积解题帮助学生计算数
在小学数学教学中，有相当一部分内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。数和数之间的运算本身是很抽象的，教师要引导学生通过以形助数的方法体会数形结合的直观生动性，感受数学学习的趣味性。巧用“几何意义”来解题时，可以观察、寻找图形的特点，从不同角度观察得出所求之数。这样很多学生就会对数学思维产生新的认识和体会，从中直观感受到数学的“美”。
结语
总之，利用面积解题帮助学生理解“租船问题和简便运算、解决求平均数和数”问题，其实是借助形的几何直观性来阐明几个数之间的关系，这就是数形结合思想中的“以形助数”，它有利于协调发展学生的抽象思维、形象思维，优化解决问题的方法。教师在教学中遇到难讲的题目时，可以找一找数和形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题，从而得到一条捷径，促使学生学得轻松愉快，更加有效地解决数学问题。
参考文献
[1]张银静.数形结合思想在小学数学教学中的问题研究[D].山西大学，2020.
[2]董恩振.浅议“数形结合”思想在小学数学教学中的应用[J].中国校外教育，2019（29）：89+93.
关键词：数形结合思想;小学数学;渗透;应用
中图分类号：G4 文献标识码：A
引言
作为一种现代化的学习方法以及学习思想，数形结合思想备受好评，小学数学教学改革及创新离不开这一思想的快速融入以及全面渗透，数学教师需要找准数形结合思想的渗透点，确保学生形成良好的数学思维习惯，让学生树立与时俱进的数学学习精神，鼓励学生在数形结合思想的指导下自主独立地完成不同的学习任务，深化自身对数学知识的理解及认知，进而实现举一反三和学以致用。
一、用面积解题帮助学生理解运算定律
数与形关系密切。在运算定律教学过程中，笔者运用教学图形巧妙地把数和形结合起来，利用面积解题指导学生理解运算定律，掌握计算方法，把抽象的数学概念直观化，把抽象的问题形象化，帮助学生理解数学概念的本质特征。如教学乘法分配律（一个数乘两个数的和，等于这个数分别与这两个数所得的积的和）时，部分学生在运用乘法分配律进行简便运算时总是出错，且不会分析错误的原因，对算理的理解基本处于无意识状态。小学生思维的发展，正逐步从具体形象思维向抽象思维过渡，由于乘法分配律这一部分内容抽象性较强，学生学起来确实有难度，怎样才能突破这一教学难点呢？传统的教学方法是强背概念和大量练习，这样的教学往往事倍功半。对此可以运用数形结合思想方法，以面积解题的方式帮助学生理解运算定律。
例1：下列三个长方形面积之和，等于把三个长方形拼成一个长方形的面积。（单位：厘米）
得出：21×73+21×26+21×1
=21×（73+26+1）
=21×100
=2100（平方厘米）
将三个长方形拼成一个大长方形，呈现一个直观性和操作性较强的素材图，使得学生更易于掌握乘法分配律。
二、用面积解题帮助学生解平均数
在总和不变的条件下，把几个不相等的数通过移多补少，使它们完全相等，得到的数就是平均数。学生在做一般的平均数问题时，只须牢记三个数量关系式，即平均数=总数量÷总份数，总数量=平均数×总份数，总份数=总数量÷平均数。但在实际运用中遇到较复杂的平均数问题时，学生虽然懂得要“移多补少”，但不知道将移去的部分补到哪里，移补前后哪些数据发生了变化，导致做题时很茫然。对此，教师可以利用面积解题的方式帮助学生解平均数。下面以一道数学题为例谈谈教学实践。例2：一次语文测试，四年级（2）班全体同学平均分为92.5分，已知女生20人，平均每人94分，男生平均每人91.3分，求这个班男生有多少人？在教学中，笔者利用图“形”作为直观工具帮助学生分析、理解问题，即通过画图用面积公式来求平均数问题。解题过程如下：将平均分看作长方形的“长”，将人数看作长方形的“宽”，总分就自然可以当作长方形的“面积”。如图所示：
用线段gh表示男生平均分数91.3分，线段bc则表示全班平均分数92.5分，线段be表示女生平均分数94分，线段ab表示女生人数20人，线段ag表示男生的人数（横线的长短表示平均数的多少，竖线的长短表示人数的多少）。求男生人数是多少，即求线段ag长多少？由平均数的“移多补少”可知，长方形dcef的面积是女生高出全班平均分的部分，它正好补到男生低于全班平均分的那一部分，也就是长方形idkh的面积，由此可知，长方形dcef的面积等于长方形idkh的面积，这样就能将其转换成用长方形的面积公式来求问题。由图形可知，男生人数ag，正是长方形idkh的宽边。解题过程应先求出女生高出全班平均分的总分数，如下：长方形dcef的面积=长×宽=（94-92.5）×20=30（分）因为长方形dcef的面积表示女生高出总平均分的总分数，所以30的单位是“分”。这个面积与长方形idkh的面积相等：
宽ag=宽dk=长方形dcef的面积÷长hk
=30÷（92.5-91.3）
=25（人）
因为线段ag的长表示男生的人数，所以25的单位是“人”，也就是说男生有25人。列综合算式为：20×（94-92.5）÷（92.5-91.3）=30÷1.2=25（人）答：这个班男生有25人。对两批学生用新老方法进行教学可知，画图移补面积的方法更能让学生直观形象地接受并掌握知识点。
三、用面积解题帮助学生求租船问题
图形的直观形象特点，决定了化数为形往往能达到以简驭繁的目的。如利用面积解题策略可以帮助学生理解如何调整船只，让学生在直观理解的基础上充分感知调整的过程，从而提升思维能力。例3：全班同学去划船。如果减少一条船，每条船正好坐9人;如果增加一条船，每条船正好坐6人。那么全班共有多少人？在教学时，教师的解题策略侧重于先假设有x条船，减少一条船，每条船坐9人与增加一条船正好坐6人的总人数相等，利用关系式列出下列方程。
方法1：设有x条船。
9×（x-1）=6×（x+1）
9x-9=6x+6
9x-6x=6+9
3x=15
x=5
全班共有9×（5-1）=36（人）
答：全班共有36人。
方法2：将每条船上的人数看作长方形的“长”，船数看作长方形的“宽”，从而将总人数自然看作长方形的“面积”。
分析：把C+B的面积看作总人数，将横线的长短看作每条船上的人数，竖线的高矮看作船數。因为增加一条船，每条船正好坐9人，所以ab的长等于9人，而减少一条船，每条船正好坐6人，de的长等于6人，dc的长等于2条船，增加一条船和减少一条船的情况下，二者相差两条船，
可得：
四、用面积解题帮助学生计算数
在小学数学教学中，有相当一部分内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。数和数之间的运算本身是很抽象的，教师要引导学生通过以形助数的方法体会数形结合的直观生动性，感受数学学习的趣味性。巧用“几何意义”来解题时，可以观察、寻找图形的特点，从不同角度观察得出所求之数。这样很多学生就会对数学思维产生新的认识和体会，从中直观感受到数学的“美”。
结语
总之，利用面积解题帮助学生理解“租船问题和简便运算、解决求平均数和数”问题，其实是借助形的几何直观性来阐明几个数之间的关系，这就是数形结合思想中的“以形助数”，它有利于协调发展学生的抽象思维、形象思维，优化解决问题的方法。教师在教学中遇到难讲的题目时，可以找一找数和形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题，从而得到一条捷径，促使学生学得轻松愉快，更加有效地解决数学问题。
参考文献
[1]张银静.数形结合思想在小学数学教学中的问题研究[D].山西大学，2020.
[2]董恩振.浅议“数形结合”思想在小学数学教学中的应用[J].中国校外教育，2019（29）：89+93.