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摘 要:在《近世代数》中有一个非常重要的内容,那就是群,而循环群是一种特殊的群,它具有很多性质和应用,在文章中给出了它的五条重要性质.
关键词:循环群;生成元;群的阶
在《近世代数》中循环群作为一类特殊的群,它的性质有很多,下面给出它的五条重要而且常用的性质。
定義 若一个群的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,就把G叫做循环群,用符号G=(a)表示。
性质1:一个循环群一定是一个交换群。
证明:设x=am和y=an是循环群G的任意两个元,则xy=aman=am n=yx,所以循环群G是交换群。
性质2:(1)假定G是无限阶的循环群,G是任何循环群,则G与G同态。
(2) 假定G与G是两个有限循环群,它们的阶各是m与n,若G与G同态,则nm。
证明:(1)设G=(a),G=(b),定义φ:ak→bk,k∈Z。因为G=(a)是无限循环群,所以a为无限,从而ak=alk=l。于是,若ak=al,则φ(ak)=φ(al),故φ是映射。又易知φ是满射且保持运算,因此G与G同态。
(2) 因G与G同态,设φ为其一同态满射,则G/KerφG,于是nm。
性质3:循环群的子群和商群都是循环群。
例1:设循环群G=(a),N是G的一个子群且(G:N)=m。证明G/N是m阶循环群且e,a,…,am-1可取作N的陪集的代表。
证明:由性质3知,G/N是循环群且N也是循环群。令N=(at),则易知N,aN,…,at-1N是G关于N的所有不同的陪集。
因为(G:N)=m,所以t=m,于是e,a,…,am-1可取作N的陪集的代表,从而G/N是由aN生成的m阶循环群。
性质4:(1)无限循环群有无限多个子群;
(2) 当(a)为n阶循环群时,对n的每个正因数k,(a)有且只有一个k阶子群,这个子群就是(ank)。
证明:(1)设(a)为无限循环群,则易知(e),(a),(a2),…是(a)的全部互不相同的子群(且显然(a),(a2),…都是无限循环群)。
(2) 设(a)为n阶循环群,则a=n,又设kn,并令n=kq,则aq=k,从而(aq)是(a)的k阶子群。又设N也是(a)的一个k阶子群,则由性质3,设N=(am),则am=k,但am=n(m,n),从而n(m,n)=k,n=k(m,n)。由上及n=kq得q=(m,n),qm,于是am∈(aq),(am)(aq)。但由于(aq)和(am)的阶都是k,故(am)=(aq),即(a)的k阶子群是唯一的。
性质5:无限循环群(a)有两个生成元,即a和a-1;n阶循环群有φ(n)个生成元,其中φ(n)为欧拉函数。
证明:当a=∞时,(a)只有生成元a和a-1。
当a=n时,元ak(0 例2:设G是n阶循环群,若G中有m阶元素,则G中恰有φ(m)个m阶元素。
证明:因G为n阶循环群,且G中有m阶元素a,则(a)为m阶循环群,由性质5知(a)有φ(m)个生成元,即(a)中有φ(m)个阶为m的元素。
设b为G中任一个阶为m的元素,则(b)也是G的一个m阶循环子群,但由性质4知,循环群G只有一个m阶子群,故必(b)=(a),从而b∈(a),即G的m阶元素全在(a)中,因此,G中恰有φ(m)个m阶元素。
参考文献:
[1]张和瑞著.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.
[2]杨子胥编.近世代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社,2003(1).
作者简介:
霍凤茹,河北省衡水市,衡水学院数学与计算机科学系。
关键词:循环群;生成元;群的阶
在《近世代数》中循环群作为一类特殊的群,它的性质有很多,下面给出它的五条重要而且常用的性质。
定義 若一个群的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,就把G叫做循环群,用符号G=(a)表示。
性质1:一个循环群一定是一个交换群。
证明:设x=am和y=an是循环群G的任意两个元,则xy=aman=am n=yx,所以循环群G是交换群。
性质2:(1)假定G是无限阶的循环群,G是任何循环群,则G与G同态。
(2) 假定G与G是两个有限循环群,它们的阶各是m与n,若G与G同态,则nm。
证明:(1)设G=(a),G=(b),定义φ:ak→bk,k∈Z。因为G=(a)是无限循环群,所以a为无限,从而ak=alk=l。于是,若ak=al,则φ(ak)=φ(al),故φ是映射。又易知φ是满射且保持运算,因此G与G同态。
(2) 因G与G同态,设φ为其一同态满射,则G/KerφG,于是nm。
性质3:循环群的子群和商群都是循环群。
例1:设循环群G=(a),N是G的一个子群且(G:N)=m。证明G/N是m阶循环群且e,a,…,am-1可取作N的陪集的代表。
证明:由性质3知,G/N是循环群且N也是循环群。令N=(at),则易知N,aN,…,at-1N是G关于N的所有不同的陪集。
因为(G:N)=m,所以t=m,于是e,a,…,am-1可取作N的陪集的代表,从而G/N是由aN生成的m阶循环群。
性质4:(1)无限循环群有无限多个子群;
(2) 当(a)为n阶循环群时,对n的每个正因数k,(a)有且只有一个k阶子群,这个子群就是(ank)。
证明:(1)设(a)为无限循环群,则易知(e),(a),(a2),…是(a)的全部互不相同的子群(且显然(a),(a2),…都是无限循环群)。
(2) 设(a)为n阶循环群,则a=n,又设kn,并令n=kq,则aq=k,从而(aq)是(a)的k阶子群。又设N也是(a)的一个k阶子群,则由性质3,设N=(am),则am=k,但am=n(m,n),从而n(m,n)=k,n=k(m,n)。由上及n=kq得q=(m,n),qm,于是am∈(aq),(am)(aq)。但由于(aq)和(am)的阶都是k,故(am)=(aq),即(a)的k阶子群是唯一的。
性质5:无限循环群(a)有两个生成元,即a和a-1;n阶循环群有φ(n)个生成元,其中φ(n)为欧拉函数。
证明:当a=∞时,(a)只有生成元a和a-1。
当a=n时,元ak(0
证明:因G为n阶循环群,且G中有m阶元素a,则(a)为m阶循环群,由性质5知(a)有φ(m)个生成元,即(a)中有φ(m)个阶为m的元素。
设b为G中任一个阶为m的元素,则(b)也是G的一个m阶循环子群,但由性质4知,循环群G只有一个m阶子群,故必(b)=(a),从而b∈(a),即G的m阶元素全在(a)中,因此,G中恰有φ(m)个m阶元素。
参考文献:
[1]张和瑞著.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.
[2]杨子胥编.近世代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社,2003(1).
作者简介:
霍凤茹,河北省衡水市,衡水学院数学与计算机科学系。