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【摘要】交错级数的敛散性是数学分析的基础内容，但是要检测一个具体的级数是否满足判别准则的条件本身是困难的，数学分析中交错级数敛散性的判别法主要是莱布尼兹判别法以及拉贝尔判别法等.本文主要研究了一类特殊双项交错级数的敛散性.
【关键词】双项交错级数；莱布尼兹判别法；敛散性
1 双项交错级数的定义和判别方法
1.1 定义：形如，+…（ >0）（1）
的级数称为双项交错级数。
与交错级数的莱布尼兹判别法类似，对于双项交错级数有下面的判别法：
命题1[1]若双项交错级数（1）满足：
1）
2）
则双项级数（1）收敛，其和s满足 .
证明：令 .
一方面有：
.
另一方面有：
由条件1）可得： 递增并且 .
根据单调有界原理知 收敛，设 ，则有 .
下面证明 .
事实上， ， ， .
据条件2）可得 从而有 故命题成立.
1.2 双项交错级数绝对收敛和发散的判别法
命题2 对于双项交错级数（1），令：
1）若 （s是确定的实数），则双项交错级数（1）收敛并且和是s，
记作 .
2）若 不存在，则双项交错级数（1）发散.
由一般项级数的取绝对值判别法，比较判别法，根值判别法可知下面的命题成立.
命题3 双项交错级数（1），若 收敛，则双项交错级数（1）绝对收敛.
命题4 双项交错级数（1），若 ，则
1）当 <1时，双项交错级数（1）绝对收敛；
2）当 >1或 = 时，双项交错级数（1）发散.
命题5 双项交错级数（1），若 则
1）当 <1时，双项交错级数（1）绝对收敛；
2）当 >1或 =+ 时，双项交错级数（1）发散.
说明：在命题4和命题5中， =1时双项交错级数（1）可能收敛也可能发散.
2 双项交错级数求和
若 满足莱布尼兹收敛条件，则级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 ，并给出一类双项交错级数的求和公式.
定理1[2] 若将调和级数项的符号改变，使得p个正项之后跟随着p个负项，但不改变原来的顺序，则此级数收敛.
证明：显然，若p=1，则新级数为 ，收敛.
一般地，记 考虑 ，
显然由Leibniz定理知 收敛.易见所得级数与 同收敛，故所得级数收敛.
显然，当k=2，级数 就是一个特殊的双项交错级数，它是收敛的.
下面考虑一类特殊的双交错级数，形如
（1）
其中，a，b为正整数.
定理2 双交错级数（1）是收敛的.
证明：级数（1）的前4n项部分和为
显然，数列 单调增加.
由于
，
所以数列 有界.
于是，数列 收敛，记 .
又因为： ，
其中 所以 .
因此，级数（1）收敛.证毕！
级数（1）的求和，首先有结论B：
设a，b>0，则：+…= （2）
证明：令
若a，b为自然数，则右端幂级数的收敛区间至少是[0，1]，逐项求导，得：
，
于是 ，此即为所要证的.
在根据定理2知，交错级数 和 均收敛.利用无穷级数收敛性定义，可以证明收敛的交错级数（1）可以按下列方式重排：
因此，级数（1）式的和为上述两个交错级数的和，
即（3）
又由（2）式的
（4）
显然（4）式的左端是有理函数的积分，这样就有了下面的求和公式.
双项交错级数（1）的和为 .
3 特殊双项交错级数的敛散性
利用正项级数 的敛散性，讨论了双项交错级数 （其中 ，数列{ }单调遞增，且 ，数列{ }有界）的敛散性，并给出它的判别方法.
定理3[3]若双项交错级数（1）满足：
1）
2）
则级数 一定收敛.
若数列{ }不满足定理条件2），
比如级数 和 ，那么它们的敛散性如何呢？
引理1 若级数 收敛，若级数 发散，那么级数 一定发散.
证明：假设 收敛，又级数 收敛，则 = 一定收敛，与条件 发散矛盾.所以 一定发散.
定理4 设有级数 ，满足数列{ }单调递增，且 .则有
1）当正项级数 收敛时，级数 收敛；
2）当正项级数 发散时，级数 发散；
证明：
=（5）
而数列{ }单调递减，且 ，由定理1知，级数 收敛.
又级数 为正项级数（至少从某项以后为正项级数）则
所以当 收敛， 收敛；
当 发散， 发散.
有（5）得：当 收敛， 收敛；
当 发散 发散.
定理5 设有级数 满足：
1）数列{ }单调递增，且 （2）数列{ }有界.
则当正项级数 收敛时， 必收敛.
证明：
（6）
因为{ }有界，所以存在M>0，使 ，所以
（7）
又
因此，当 收敛时，级数 收敛，由（7）知，
级数 绝对收敛，因而它必收敛.又 收敛，
由（6）知，级数 收敛.
例题1 判别级数 的敛散性.
解：
由于 有界，而级数 收敛
由定理5知， 收敛.
参考文献：
[1]孙兰敏，张 平.双项交错级数敛散性的判定[J].衡水学院学报，2008：5-6.
[2]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2005：6-7.
[3]郑玉敏.一类交错级数敛散性的探讨[J].高等数学研究，2001：11-13.
【关键词】双项交错级数；莱布尼兹判别法；敛散性
1 双项交错级数的定义和判别方法
1.1 定义：形如，+…（ >0）（1）
的级数称为双项交错级数。
与交错级数的莱布尼兹判别法类似，对于双项交错级数有下面的判别法：
命题1[1]若双项交错级数（1）满足：
1）
2）
则双项级数（1）收敛，其和s满足 .
证明：令 .
一方面有：
.
另一方面有：
由条件1）可得： 递增并且 .
根据单调有界原理知 收敛，设 ，则有 .
下面证明 .
事实上， ， ， .
据条件2）可得 从而有 故命题成立.
1.2 双项交错级数绝对收敛和发散的判别法
命题2 对于双项交错级数（1），令：
1）若 （s是确定的实数），则双项交错级数（1）收敛并且和是s，
记作 .
2）若 不存在，则双项交错级数（1）发散.
由一般项级数的取绝对值判别法，比较判别法，根值判别法可知下面的命题成立.
命题3 双项交错级数（1），若 收敛，则双项交错级数（1）绝对收敛.
命题4 双项交错级数（1），若 ，则
1）当 <1时，双项交错级数（1）绝对收敛；
2）当 >1或 = 时，双项交错级数（1）发散.
命题5 双项交错级数（1），若 则
1）当 <1时，双项交错级数（1）绝对收敛；
2）当 >1或 =+ 时，双项交错级数（1）发散.
说明：在命题4和命题5中， =1时双项交错级数（1）可能收敛也可能发散.
2 双项交错级数求和
若 满足莱布尼兹收敛条件，则级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 ，并给出一类双项交错级数的求和公式.
定理1[2] 若将调和级数项的符号改变，使得p个正项之后跟随着p个负项，但不改变原来的顺序，则此级数收敛.
证明：显然，若p=1，则新级数为 ，收敛.
一般地，记 考虑 ，
显然由Leibniz定理知 收敛.易见所得级数与 同收敛，故所得级数收敛.
显然，当k=2，级数 就是一个特殊的双项交错级数，它是收敛的.
下面考虑一类特殊的双交错级数，形如
（1）
其中，a，b为正整数.
定理2 双交错级数（1）是收敛的.
证明：级数（1）的前4n项部分和为
显然，数列 单调增加.
由于
，
所以数列 有界.
于是，数列 收敛，记 .
又因为： ，
其中 所以 .
因此，级数（1）收敛.证毕！
级数（1）的求和，首先有结论B：
设a，b>0，则：+…= （2）
证明：令
若a，b为自然数，则右端幂级数的收敛区间至少是[0，1]，逐项求导，得：
，
于是 ，此即为所要证的.
在根据定理2知，交错级数 和 均收敛.利用无穷级数收敛性定义，可以证明收敛的交错级数（1）可以按下列方式重排：
因此，级数（1）式的和为上述两个交错级数的和，
即（3）
又由（2）式的
（4）
显然（4）式的左端是有理函数的积分，这样就有了下面的求和公式.
双项交错级数（1）的和为 .
3 特殊双项交错级数的敛散性
利用正项级数 的敛散性，讨论了双项交错级数 （其中 ，数列{ }单调遞增，且 ，数列{ }有界）的敛散性，并给出它的判别方法.
定理3[3]若双项交错级数（1）满足：
1）
2）
则级数 一定收敛.
若数列{ }不满足定理条件2），
比如级数 和 ，那么它们的敛散性如何呢？
引理1 若级数 收敛，若级数 发散，那么级数 一定发散.
证明：假设 收敛，又级数 收敛，则 = 一定收敛，与条件 发散矛盾.所以 一定发散.
定理4 设有级数 ，满足数列{ }单调递增，且 .则有
1）当正项级数 收敛时，级数 收敛；
2）当正项级数 发散时，级数 发散；
证明：
=（5）
而数列{ }单调递减，且 ，由定理1知，级数 收敛.
又级数 为正项级数（至少从某项以后为正项级数）则
所以当 收敛， 收敛；
当 发散， 发散.
有（5）得：当 收敛， 收敛；
当 发散 发散.
定理5 设有级数 满足：
1）数列{ }单调递增，且 （2）数列{ }有界.
则当正项级数 收敛时， 必收敛.
证明：
（6）
因为{ }有界，所以存在M>0，使 ，所以
（7）
又
因此，当 收敛时，级数 收敛，由（7）知，
级数 绝对收敛，因而它必收敛.又 收敛，
由（6）知，级数 收敛.
例题1 判别级数 的敛散性.
解：
由于 有界，而级数 收敛
由定理5知， 收敛.
参考文献：
[1]孙兰敏，张 平.双项交错级数敛散性的判定[J].衡水学院学报，2008：5-6.
[2]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2005：6-7.
[3]郑玉敏.一类交错级数敛散性的探讨[J].高等数学研究，2001：11-13.