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有些几何问题给出的图形是某种特殊图形的部分，给解题带来困难.如能将其补成某种完整的特殊图形，利用特殊图形的原有性质，使问题中有关元素间的隐含关系显露出来，为快速、简捷解题创造条件.举例简解如下：
一、补成三角形
例1 如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
简解：连BC，补成△ABC.
因为∠D+∠E=∠DCB+∠EBC,
所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
二、补成等腰三角形
例2 如图2，△ABC中，∠A∶∠B∶∠C∶=4∶2∶1.
求证：1AC+1BC=1AB.
简证：因为∠B=2∠C，作∠ACD=∠ACB，CD与BA的延长线交于D，补成以BC为底边的等腰△DBC，作AE∥BC交CD于E，
所以∠EAC=∠ACB=∠ACE，
所以AE=EC=AB.
又∠DAC=∠B+∠ACB=3∠ACB，
∠D=∠BAC-∠ACE
=∠BAC-∠ACB=3∠ACB，
所以∠DAC=∠D，所以AC=DC.
由AE∥BC，
所以△DAE∽△DBC，
所以AEBC=DEDC，
所以AEBC=DC-ECDC，
即ABBC=AC-ABAC，
所以ABAC+ABBC=1，
则1AC+1BC=1AB.
三、补成等边三角形
例3 如图3，△ABC中，AC=a，∠A=60°，∠C=20°，E是BC中点，D在AC上，∠DEC=80°.
求证：S△ABC+2S△CDE=38a2.
简证：因为38a2=12×34a2 恰好是边长为 a 的正三角形面积的一半.又∠A=60°，作以AC为边的正三角形ACG为整体，作CF平分∠BCG交AG于F，
所以∠GCF=∠ACB=20°.
显然S△ACB=S△GCF.
又∠CBF=∠A+∠ACB=80°，∠DEC=80°，
所以△BCF∽△DCE.
因为E是BC中点，所以S△DCES△BCF=14，
所以S△BCF=4S△DCE.
因为S△ACG=2S△ACB+S△BCF
=2S△ACB+4S△DCE
=34a2，
则S△ABC+2S△CDE=38a2.
四、补成菱形
例4 如图4，凸五边形ABCDE中，AB=AE=6，BC=CD=DE=3，∠C=∠D=120°.求五边形面积.
简解：延长BC、ED交于F，易得△CDF为正三角形，
所以CF=DF=CD=3，
所以BF=EF=6.
因为AB=BF=EF=EA，则补成的整体ABFE是菱形，
所以∠F=∠A=60°.
连BE，所以△ABE和△FBE都是边长为6的正三角形，
所以SABCDE=S菱形ABFE-S△FCD
=2×34×62-34×32
=6343.
五、补成矩形
例5 四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6.求AD的长.
简解：因为有135°、120°的特殊角，可以从Rt△中的三角函数考虑，作矩形使BC在EF上，点A在FG上（如图5），
易得∠DCE=60°，∠ABF=45°，
所以DE=CD•sin60°=33，CE=CD•cos60°=3，BF=AF=3，
所以AG=FG-AF=DE-AF=23，
所以DG=EF=EC+CB+BF
=3+（5-3）+3=8.
则在Rt△AGD中，
AD=AG2+DG2=（23）2+82
=219.
六、补成正方形
例6 如图6，△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2，DC=3.求△ABC的面积.
简解：作Rt△ADC关于AC的轴对称图形△AEC，作Rt△ADB关于AB的轴对称图形△AGB延长EC，GB交于F.
因为∠BAC=45°，AG=AE=AD，∠G=∠E=∠ADC=90°，则补成以AD为边的正方形AEFG.
因为BG=BD=2，EC=DC=3，设AD=x，在Rt△BFC中，
BC2=BF2+CF2=（x-2）2+（x-3）2
=52，
所以 x=6，
则S△ABC=12AD•BC=12×6×5=15.
七、补成直角三角形
例7 如图7，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，CD=2，BC=11.求AC的长.
简解：因∠B=90°，延长AD、BC交于E，补成Rt△ABE.
因为∠BAD=60°，所以∠E=30°.
在Rt△EDC中，EC=2CD=4，
BE=BC+CE=15.
在Rt△ABE中，
AB=EB•ctg∠BAE
=15×ctg60°
=15×33=53，
则AC=AB2+BC2
=(53)2+112
=14.
八、补成平行四边形
例8 如图8，BD⊥BA，EA⊥AB，AB=8，BD=6，AE=12，M是DE中点.求BM的长.
简解：因DB、EA都垂直于AB，所以AE∥DB，延长DB到C使DC=AE，
所以ADCE为，
EC=AD=AB2+DB2
=82+62=10.
又DC=2DB，M是DE中点，
则BM=12EC=5.
九、补成等腰梯形
例9 如图9，六边形ABCDEF中，每个内角都为120°，且AB+BC=11，FA-CD=3.求BC+DE的长.
简解：因六边形的每个外角都是60°，延长FA、ED与BC的延长线交于M、N，易得EF∥BC，
所以FMNE为等腰梯形，
所以FM=EN.
又△AMB、△DNC都是正三角形，
所以BC+DE=BC+EN-ND=BC+EN-CD=BC+FM-CD=BC+FA+AM-CD=（BC+AB）+（FA-CD）=11+3=14.
十、补成直角梯形
例10 如图10，△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C的对边.求证：a+b≤2c.
简证：延长CA到E，使AE=BC=a，作ED⊥EA，取ED=AC=b，连BD，补成直角梯形BCED.作DF∥CE交BC于F，
易证得∠BAD=90°，AD=AB=c，
所以BD=2c.
又DF≤DB，所以 a+b=DF≤DB，
即 a+b≤2c（当 a=b 时，等号成立）.
十一、补成整圆
例11 如图11，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=a，BC=b.求BD的长.
简解：因AB=AC=AD=a，作以A为圆心，a 为半径的整圆，则B、C、D三点在⊙A上，延长BA交⊙A于E，连DE.
因为AB∥CD，所以DE=CB，
所以DE=BC=b.
在△EDB中，BE为⊙A直径，
所以∠EDB=90°，
所以BD=EB2-ED2=4a2-b2.
综观上述各例，通过作辅助线（圆）把原图形作为所作成的某个整体图形中的一部分，便于观察、分析、寻找解题途径，不失为行之有效的方法.
（初三）
一、补成三角形
例1 如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
简解：连BC，补成△ABC.
因为∠D+∠E=∠DCB+∠EBC,
所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
二、补成等腰三角形
例2 如图2，△ABC中，∠A∶∠B∶∠C∶=4∶2∶1.
求证：1AC+1BC=1AB.
简证：因为∠B=2∠C，作∠ACD=∠ACB，CD与BA的延长线交于D，补成以BC为底边的等腰△DBC，作AE∥BC交CD于E，
所以∠EAC=∠ACB=∠ACE，
所以AE=EC=AB.
又∠DAC=∠B+∠ACB=3∠ACB，
∠D=∠BAC-∠ACE
=∠BAC-∠ACB=3∠ACB，
所以∠DAC=∠D，所以AC=DC.
由AE∥BC，
所以△DAE∽△DBC，
所以AEBC=DEDC，
所以AEBC=DC-ECDC，
即ABBC=AC-ABAC，
所以ABAC+ABBC=1，
则1AC+1BC=1AB.
三、补成等边三角形
例3 如图3，△ABC中，AC=a，∠A=60°，∠C=20°，E是BC中点，D在AC上，∠DEC=80°.
求证：S△ABC+2S△CDE=38a2.
简证：因为38a2=12×34a2 恰好是边长为 a 的正三角形面积的一半.又∠A=60°，作以AC为边的正三角形ACG为整体，作CF平分∠BCG交AG于F，
所以∠GCF=∠ACB=20°.
显然S△ACB=S△GCF.
又∠CBF=∠A+∠ACB=80°，∠DEC=80°，
所以△BCF∽△DCE.
因为E是BC中点，所以S△DCES△BCF=14，
所以S△BCF=4S△DCE.
因为S△ACG=2S△ACB+S△BCF
=2S△ACB+4S△DCE
=34a2，
则S△ABC+2S△CDE=38a2.
四、补成菱形
例4 如图4，凸五边形ABCDE中，AB=AE=6，BC=CD=DE=3，∠C=∠D=120°.求五边形面积.
简解：延长BC、ED交于F，易得△CDF为正三角形，
所以CF=DF=CD=3，
所以BF=EF=6.
因为AB=BF=EF=EA，则补成的整体ABFE是菱形，
所以∠F=∠A=60°.
连BE，所以△ABE和△FBE都是边长为6的正三角形，
所以SABCDE=S菱形ABFE-S△FCD
=2×34×62-34×32
=6343.
五、补成矩形
例5 四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6.求AD的长.
简解：因为有135°、120°的特殊角，可以从Rt△中的三角函数考虑，作矩形使BC在EF上，点A在FG上（如图5），
易得∠DCE=60°，∠ABF=45°，
所以DE=CD•sin60°=33，CE=CD•cos60°=3，BF=AF=3，
所以AG=FG-AF=DE-AF=23，
所以DG=EF=EC+CB+BF
=3+（5-3）+3=8.
则在Rt△AGD中，
AD=AG2+DG2=（23）2+82
=219.
六、补成正方形
例6 如图6，△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2，DC=3.求△ABC的面积.
简解：作Rt△ADC关于AC的轴对称图形△AEC，作Rt△ADB关于AB的轴对称图形△AGB延长EC，GB交于F.
因为∠BAC=45°，AG=AE=AD，∠G=∠E=∠ADC=90°，则补成以AD为边的正方形AEFG.
因为BG=BD=2，EC=DC=3，设AD=x，在Rt△BFC中，
BC2=BF2+CF2=（x-2）2+（x-3）2
=52，
所以 x=6，
则S△ABC=12AD•BC=12×6×5=15.
七、补成直角三角形
例7 如图7，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，CD=2，BC=11.求AC的长.
简解：因∠B=90°，延长AD、BC交于E，补成Rt△ABE.
因为∠BAD=60°，所以∠E=30°.
在Rt△EDC中，EC=2CD=4，
BE=BC+CE=15.
在Rt△ABE中，
AB=EB•ctg∠BAE
=15×ctg60°
=15×33=53，
则AC=AB2+BC2
=(53)2+112
=14.
八、补成平行四边形
例8 如图8，BD⊥BA，EA⊥AB，AB=8，BD=6，AE=12，M是DE中点.求BM的长.
简解：因DB、EA都垂直于AB，所以AE∥DB，延长DB到C使DC=AE，
所以ADCE为，
EC=AD=AB2+DB2
=82+62=10.
又DC=2DB，M是DE中点，
则BM=12EC=5.
九、补成等腰梯形
例9 如图9，六边形ABCDEF中，每个内角都为120°，且AB+BC=11，FA-CD=3.求BC+DE的长.
简解：因六边形的每个外角都是60°，延长FA、ED与BC的延长线交于M、N，易得EF∥BC，
所以FMNE为等腰梯形，
所以FM=EN.
又△AMB、△DNC都是正三角形，
所以BC+DE=BC+EN-ND=BC+EN-CD=BC+FM-CD=BC+FA+AM-CD=（BC+AB）+（FA-CD）=11+3=14.
十、补成直角梯形
例10 如图10，△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C的对边.求证：a+b≤2c.
简证：延长CA到E，使AE=BC=a，作ED⊥EA，取ED=AC=b，连BD，补成直角梯形BCED.作DF∥CE交BC于F，
易证得∠BAD=90°，AD=AB=c，
所以BD=2c.
又DF≤DB，所以 a+b=DF≤DB，
即 a+b≤2c（当 a=b 时，等号成立）.
十一、补成整圆
例11 如图11，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=a，BC=b.求BD的长.
简解：因AB=AC=AD=a，作以A为圆心，a 为半径的整圆，则B、C、D三点在⊙A上，延长BA交⊙A于E，连DE.
因为AB∥CD，所以DE=CB，
所以DE=BC=b.
在△EDB中，BE为⊙A直径，
所以∠EDB=90°，
所以BD=EB2-ED2=4a2-b2.
综观上述各例，通过作辅助线（圆）把原图形作为所作成的某个整体图形中的一部分，便于观察、分析、寻找解题途径，不失为行之有效的方法.
（初三）