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摘要新课程强调数学课堂教学应为学生提供丰富的学习材料,拓展学生的数学活动空间,让学生感受数学来源于生活,发展学生“做数学”“用数学”的意识,认识到课本不是课程的唯一资源;课本不是学生的世界,而世界才是学生的课 本。只有教师跳出数学看数学,学生才能透过数学看世界。
关键词生活 归纳 应用
中图分类号:G633.6文献标识码:A
1 教材分析与处理,学情分析与对策
这是高二选修2—2的教学内容,教材中的内容较理论化,但各地高考数学试卷的压轴题中就主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。这节课临时被安排在一所重点中学的高二理科班进行教学。如果只是按教材囫囵吞枣、生搬硬套,则不能发挥教材的作用。
对于学生来说,手头只有这节内容的复印材料,既无衔接、也无后续,而且是在他们复习中突然闯入的一节课;而对于我来说,课前与学生没有任何接触。为避免这节课的突兀,因此教学设计时,按照高中学生的认知特点,引导学生从观察生活中火车入手,循序渐进的进行探究。
2 教学过程(以下T代表教师,S代表学生)
2.1 创设情景,引出概念及问题
T:故事发生在很久很久之前,有一位财主,他的儿子上学堂,第一天学了“一”字,第二天学了“二”字,第三天学了“”三”字,三天后便称已学会所有,以后用不着请老师了。财主听后直夸儿子聪明。……(边讲边逐一播放四副漫画)
S:(众学生):一天,财主家来了一位姓“万”客人,财主便让儿子写客人的姓“万”字。可财主和客人左等右等,不見作品,于是双双走进书房,见其正挥汗如雨,奋笔疾书,财主儿子见此二人,便埋怨道:“您为何是姓‘wan’呢?这一万横可不是一时半回就能写得好的。”(学生开怀大笑,由陌生带来的距离荡然无存)。学生也开始敢于发表自己的想法了:
S:觉得财主的儿子还是有点小聪明,至少他会从“一二三”去推理“万”字……
T:大家能从各个不同的角度、新的眼光全面的、一分为二的看待老故事的内涵,,挖掘出新的思想。财主的儿子从“一二三”中去推理“万”字这种推理方法在数学上称之为——
S(众学生):归纳法……特点……
学生举一些归纳法应用的例子:
S:等差数列通项公式的得到;等比数列的通项公式;给出数列的前四项,求它的一个通项公式用的是归纳法……
2.2 教师评价、点拨、引导,学生探索、合作、体验
S:一般结论的得出带有猜测的成份,有时正确而有时错误,通过证明才可以得知其正确与否。
T:很好!确实等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法,那大家在当时用它们时是否产生过怀疑?
S:(大部分):没有,从来也没有。(很多学生此时都睁大了眼睛)
S:有过,不过念头一闪就没有去深究,也没时间就不了了之了。
T:好,首先为你的质疑精神鼓掌,现在,我们该为数列做些什么?
S:证明!
T:用什么证明方法?
显然,学生遇到了阻力,在经过讨论之后,大家比较沮丧。
T:不要灰心,大家刚才在讨论中都用了些方法,我们不妨来听一听同学的想法,说不定会带给大家一些想法。
S:我们考虑到这是一个与正整数有关的数学命题,就验证当n = 1时第一个等式是成立的,当n = 2时,a2 = a1+d = a1+(2-1)d第二个等式是成立的,……逐个验证
S:那有无数个等式,永无尽头?
T:那么,能否找到一种方法来替代这种无限次的验证呢?
观察实例,给出图1——一列相互脱节的火车,怎样使整列火车跑起来?假设车厢有无数节。
S:把每节车厢都连接起来,只要火车头跑起来,整列火车就跑起来了。不然,要逐个移动车厢才能达到目的,但这不现实。
T:能分析一下使整列火车跑起来的决定因素吗?(此时学生情绪高涨)
S:第一,火车头要跑起来;第二,任意两节车厢之间都有连接。
S:两个条件要同时成立,缺一不可!
教师及时板书:
火车头要跑起来——跑起来的基础
有连接———具有传递性
T:从上述实例中,我们是不是得到了某些启示了呢?
此时的学生很快达成共识:对于一个与正整数有关的数学命题,如果它具有传递性,同时存在传递的基础,我们就能用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
T:这种从实践中抽象出来的数学方法——数学归纳法,其基本思想是:
S(众):在可靠的基础上,利用命题本身所具有的传递性,运用“有限”手段来解决“无限”的问题。
教师引导下让学生更数学化的语言将二者有机过渡,将“火车跑起来”叙述成以下的方式:
师生共同完成,用自己的成果来证明猜想——等差数列通项公式。教师板书并及时总结数学归纳法的证明步骤。
2.3 巩固与创新应用
学生板演练习1:已知1=12;1+3 = 4 = 22;1+3+5 = 9 = 32;1+3+5+7 = 16 = 42;……
(1)猜想:1+3+5+7+……+(2n-1)=? (n∈N*)
(2)并用数学归纳法证明之。
(让学生再次体验观察→ 归纳→ 猜想→ 证明的过程,培养学生解决问题的思考方式)
板演的结果非常好,教师对其步骤、格式给予高度赞扬。此时S给出了他的解题过程:用数学归纳法证明1+3+5+7+……+(2n-1)= n2(n∈N*)
证明:(1)当n = 1时,左边 = 1,右边 = 1,等式成立。
(2)假设n = k时等式成立,即1+3+5+7+……+(2k-1)= k2,
则n = k+1时
1+3+5+7+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]
= [1+2(k+1)-1](k+1)/2
= (k+1)2
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
由(1)(2)可得,等式对于一切n∈N*都成立。
同学之间开始讨论,有一小部分开始摇摆。
S:这不是数学归纳法,因为从n=k到n=k+1的传递性没有了,犹如火车中前k节车厢都是火车头带头跑起来,第n=k+1列车厢被另外一股力量带动跑起来,第k节与第k+1节中间脱节了,传递性丧失了,所以也就不符合数学归纳法原理。
T:说的相当好!也非常形象生动,让我们体会到数学归纳法的本质所在,象刚才的证明过程我们不妨称之为“披着羊皮的狼”,希望以后不要再犯这个错误。
2.4 在问题解决中进行反思与小结
变式已知1+3 = 4 = 22;1+3+5 = 9 = 32;1+3+5+7 = 16 = 42;
……
(1)猜想:1+3+5+7+……+(2n-1)=?(n≥2且n∈N*)
(2)并用数学归纳法证明之。
S:用数学归纳法证明1+3+5+7+……+(2n-1)= n2(n≥2且n∈N*)只需将(1)中验证n=1的情况改成验证n=2的情况就行了。
T:为什么?
S:现在第一个命题是n = 2的命题,相当于n = 2的命题是火车头。
T;多么棒的解释!那么此时我们来回首刚才的原理有无欠妥之处?
S:应作一小小的改动:(1)当n = n0(n 的初始值为n0)时,命题成立。
(2) 假设n = k(k≥n0)时命题成立,当n = k+1时命题也成立。
同样证明步骤中也作相同的修改即……
T:把这节课的主要理论知识作了一个很好的小结,那数学归纳法是否可应用再任何领域?
S(众):适宜在证明某些与正整数有关的数学命题。
T:现在,我们介绍一下谁是第一个正式研究此课题的人——他是意大利科学家莫罗利科……刚才我们从实际生活中的火车里找寻数学递推的思想的影子,那么你还能在生活中找到递推的思想的应用呢?
S:自行车后轮的转动会带动前轮。
T:有那么点意思,好象个数少了些。
S:链条,环环相扣
S:多米诺骨牌!(学生的赞同之声不绝于耳)
学生从多米诺骨牌到自行车推倒,从放鞭炮到抽取式纸巾……学生沉浸在数学应用的愉乐之中。最后在播放多米诺骨牌大赛的视频中进行小结和布置作业……
3 教后反思
3.1 将新的课程理念融入教学中,改变学生的学习方式
本节课以新课标为指导,以数学素质教育课的模式进行;充分考虑学生的认知特点,借助直观教具创设多个问题情境,吸引学生进行体验式学习,激发学生学习的兴趣,在形式化的表达中,强调对数学本质的认识和对“双基”的夯实,发展学生的应用意识以达到数学素质教育课目的。
3.2 渗透数学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学,我们给学生留下了什么?我想应是那些思考问题的意识、方式和解决问题的方法。本课中一直以培养学生的数学观察、归纳、发现、证明的逻辑思维能力为主线,发展学生的数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中所蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003.4.
[2]徐毅克.数学归纳法.数学通讯,1996.6.
[3]张顺燕.关于数学教学的若干认识.数学教育学报,2004.1.
关键词生活 归纳 应用
中图分类号:G633.6文献标识码:A
1 教材分析与处理,学情分析与对策
这是高二选修2—2的教学内容,教材中的内容较理论化,但各地高考数学试卷的压轴题中就主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。这节课临时被安排在一所重点中学的高二理科班进行教学。如果只是按教材囫囵吞枣、生搬硬套,则不能发挥教材的作用。
对于学生来说,手头只有这节内容的复印材料,既无衔接、也无后续,而且是在他们复习中突然闯入的一节课;而对于我来说,课前与学生没有任何接触。为避免这节课的突兀,因此教学设计时,按照高中学生的认知特点,引导学生从观察生活中火车入手,循序渐进的进行探究。
2 教学过程(以下T代表教师,S代表学生)
2.1 创设情景,引出概念及问题
T:故事发生在很久很久之前,有一位财主,他的儿子上学堂,第一天学了“一”字,第二天学了“二”字,第三天学了“”三”字,三天后便称已学会所有,以后用不着请老师了。财主听后直夸儿子聪明。……(边讲边逐一播放四副漫画)
S:(众学生):一天,财主家来了一位姓“万”客人,财主便让儿子写客人的姓“万”字。可财主和客人左等右等,不見作品,于是双双走进书房,见其正挥汗如雨,奋笔疾书,财主儿子见此二人,便埋怨道:“您为何是姓‘wan’呢?这一万横可不是一时半回就能写得好的。”(学生开怀大笑,由陌生带来的距离荡然无存)。学生也开始敢于发表自己的想法了:
S:觉得财主的儿子还是有点小聪明,至少他会从“一二三”去推理“万”字……
T:大家能从各个不同的角度、新的眼光全面的、一分为二的看待老故事的内涵,,挖掘出新的思想。财主的儿子从“一二三”中去推理“万”字这种推理方法在数学上称之为——
S(众学生):归纳法……特点……
学生举一些归纳法应用的例子:
S:等差数列通项公式的得到;等比数列的通项公式;给出数列的前四项,求它的一个通项公式用的是归纳法……
2.2 教师评价、点拨、引导,学生探索、合作、体验
S:一般结论的得出带有猜测的成份,有时正确而有时错误,通过证明才可以得知其正确与否。
T:很好!确实等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法,那大家在当时用它们时是否产生过怀疑?
S:(大部分):没有,从来也没有。(很多学生此时都睁大了眼睛)
S:有过,不过念头一闪就没有去深究,也没时间就不了了之了。
T:好,首先为你的质疑精神鼓掌,现在,我们该为数列做些什么?
S:证明!
T:用什么证明方法?
显然,学生遇到了阻力,在经过讨论之后,大家比较沮丧。
T:不要灰心,大家刚才在讨论中都用了些方法,我们不妨来听一听同学的想法,说不定会带给大家一些想法。
S:我们考虑到这是一个与正整数有关的数学命题,就验证当n = 1时第一个等式是成立的,当n = 2时,a2 = a1+d = a1+(2-1)d第二个等式是成立的,……逐个验证
S:那有无数个等式,永无尽头?
T:那么,能否找到一种方法来替代这种无限次的验证呢?
观察实例,给出图1——一列相互脱节的火车,怎样使整列火车跑起来?假设车厢有无数节。
S:把每节车厢都连接起来,只要火车头跑起来,整列火车就跑起来了。不然,要逐个移动车厢才能达到目的,但这不现实。
T:能分析一下使整列火车跑起来的决定因素吗?(此时学生情绪高涨)
S:第一,火车头要跑起来;第二,任意两节车厢之间都有连接。
S:两个条件要同时成立,缺一不可!
教师及时板书:
火车头要跑起来——跑起来的基础
有连接———具有传递性
T:从上述实例中,我们是不是得到了某些启示了呢?
此时的学生很快达成共识:对于一个与正整数有关的数学命题,如果它具有传递性,同时存在传递的基础,我们就能用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
T:这种从实践中抽象出来的数学方法——数学归纳法,其基本思想是:
S(众):在可靠的基础上,利用命题本身所具有的传递性,运用“有限”手段来解决“无限”的问题。
教师引导下让学生更数学化的语言将二者有机过渡,将“火车跑起来”叙述成以下的方式:
师生共同完成,用自己的成果来证明猜想——等差数列通项公式。教师板书并及时总结数学归纳法的证明步骤。
2.3 巩固与创新应用
学生板演练习1:已知1=12;1+3 = 4 = 22;1+3+5 = 9 = 32;1+3+5+7 = 16 = 42;……
(1)猜想:1+3+5+7+……+(2n-1)=? (n∈N*)
(2)并用数学归纳法证明之。
(让学生再次体验观察→ 归纳→ 猜想→ 证明的过程,培养学生解决问题的思考方式)
板演的结果非常好,教师对其步骤、格式给予高度赞扬。此时S给出了他的解题过程:用数学归纳法证明1+3+5+7+……+(2n-1)= n2(n∈N*)
证明:(1)当n = 1时,左边 = 1,右边 = 1,等式成立。
(2)假设n = k时等式成立,即1+3+5+7+……+(2k-1)= k2,
则n = k+1时
1+3+5+7+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]
= [1+2(k+1)-1](k+1)/2
= (k+1)2
这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
由(1)(2)可得,等式对于一切n∈N*都成立。
同学之间开始讨论,有一小部分开始摇摆。
S:这不是数学归纳法,因为从n=k到n=k+1的传递性没有了,犹如火车中前k节车厢都是火车头带头跑起来,第n=k+1列车厢被另外一股力量带动跑起来,第k节与第k+1节中间脱节了,传递性丧失了,所以也就不符合数学归纳法原理。
T:说的相当好!也非常形象生动,让我们体会到数学归纳法的本质所在,象刚才的证明过程我们不妨称之为“披着羊皮的狼”,希望以后不要再犯这个错误。
2.4 在问题解决中进行反思与小结
变式已知1+3 = 4 = 22;1+3+5 = 9 = 32;1+3+5+7 = 16 = 42;
……
(1)猜想:1+3+5+7+……+(2n-1)=?(n≥2且n∈N*)
(2)并用数学归纳法证明之。
S:用数学归纳法证明1+3+5+7+……+(2n-1)= n2(n≥2且n∈N*)只需将(1)中验证n=1的情况改成验证n=2的情况就行了。
T:为什么?
S:现在第一个命题是n = 2的命题,相当于n = 2的命题是火车头。
T;多么棒的解释!那么此时我们来回首刚才的原理有无欠妥之处?
S:应作一小小的改动:(1)当n = n0(n 的初始值为n0)时,命题成立。
(2) 假设n = k(k≥n0)时命题成立,当n = k+1时命题也成立。
同样证明步骤中也作相同的修改即……
T:把这节课的主要理论知识作了一个很好的小结,那数学归纳法是否可应用再任何领域?
S(众):适宜在证明某些与正整数有关的数学命题。
T:现在,我们介绍一下谁是第一个正式研究此课题的人——他是意大利科学家莫罗利科……刚才我们从实际生活中的火车里找寻数学递推的思想的影子,那么你还能在生活中找到递推的思想的应用呢?
S:自行车后轮的转动会带动前轮。
T:有那么点意思,好象个数少了些。
S:链条,环环相扣
S:多米诺骨牌!(学生的赞同之声不绝于耳)
学生从多米诺骨牌到自行车推倒,从放鞭炮到抽取式纸巾……学生沉浸在数学应用的愉乐之中。最后在播放多米诺骨牌大赛的视频中进行小结和布置作业……
3 教后反思
3.1 将新的课程理念融入教学中,改变学生的学习方式
本节课以新课标为指导,以数学素质教育课的模式进行;充分考虑学生的认知特点,借助直观教具创设多个问题情境,吸引学生进行体验式学习,激发学生学习的兴趣,在形式化的表达中,强调对数学本质的认识和对“双基”的夯实,发展学生的应用意识以达到数学素质教育课目的。
3.2 渗透数学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学,我们给学生留下了什么?我想应是那些思考问题的意识、方式和解决问题的方法。本课中一直以培养学生的数学观察、归纳、发现、证明的逻辑思维能力为主线,发展学生的数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中所蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003.4.
[2]徐毅克.数学归纳法.数学通讯,1996.6.
[3]张顺燕.关于数学教学的若干认识.数学教育学报,2004.1.