摘 要：数列问题是历年来高考和各级数学竞赛命题的热门课题之一，它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系． 在中学阶段，周期数列问题的一般解法是列举前有限项观察其周期性，再利用其周期求解，显然，列举前有限项的方法只能解决一些最小正周期不大的数列问题，对于最小正周期较大的数列我们就不易解决了，而且，由数列有限项得出它是周期数列的结论也缺乏科学证明，因此有必要对数列中的周期类型做一些探讨，从而解决相关问题．
　　关键词：数列；函数方法?摇
　　
　　数列问题是历年来各级数学高考、竞赛及最近火热的自主招生考试命题的热门课题之一，纵观近几年全国各地高考、模拟试题，出现了不少与周期有关的问题，它即可以以填空题或选择题等形式出现，也可以作为解答题中的枝问为后面的设问做铺垫或结合其他知识考查学生的综合能力． 处理数列问题时，我们不但要掌握数列的概念，还要充分挖掘数列的性质，因为数列是一种特殊的函数，所以数列中也存在着单调性、周期等性质，有些数列题，表面上看与周期无关，但实际上隐含着周期性，一旦揭示了其周期，问题便迎刃而解．
　　下面笔者就近几年模拟、高考试题中的几种常见类型题目归类解析如下，希望可以给大家带来帮助：
　　 通过观察、归纳探究数列中的项
　　例1 已知数列｛ａn｝中，a1=2，an= －（n≥2），则a2011=________．
　　解析：由题意知：a1=2，a2=－，a3=2，a4=－，由此归纳可得该数列的周期为2，于是a2011=a1005×2+1=a1=2．
　　例2 已知数列｛ａn｝（n∈N*）满足：an+1=an-t，an>t，t+2－an，an2，若an+l=an（k∈N*），则实数k的最小值为________．
　　解析：由题意知a2=a1－t∈（0，1），故a2　　点评：上述两题在考试中出现的频率很高，难度不大，我们只要对首项值的大小或取值范围做些比较，充分利用题设中的递推关系就可以达到解题的目的．
　　借助特征根方程探究周期
　　例3 已知数列｛ａn｝满足：an+1=（n∈N*），其中a1=1，试求a11．
　　解析：设特征方程为x=，此方程无解，于是判断出该数列为周期数列，通过求解可得周期为4，则a11=a3=－．
　　与三角知识结合
　　例4 数列｛ａn｝的通项ａn=n2·cos2-sin2，其前n项和为Sn，则S30为________．
　　解析：由于cos2－sin2以3为周期，故
　　S30=-+32+-+62+…+-+302
　　=-+（3k）2
　　 =9k-=-25=470.
　　点评：善于发现题目的结构特征并能灵活、准确运用三角和数列求和知识是解决本题的关键．
　　通过赋值确定具体项的取值
　　例5 已知数列｛ａn｝的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1． 那么a10=______．
　　解析：令m=n=1，则S1+S1=S2?圯a1+a1=a2+a1，故a2=1；令m=1，n=2，则S3=S1+S2=3，所以a3=1，…，故a10=1．
　　例6 已知数列｛ａn｝中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m（n>m）满足a-a=an-man+m，则a119=________．
　　解析：令m=2，则a=an-2·an+2，由此得｛ａn｝中的偶数项均为0；令m=1，则a=an+1·an-1+1，从而a=a1a3+1，a3=-1． 由a=an-2·an+2及a1=1，a3=－1知｛ａn｝中的奇数项依次成等比数列，公比为－1，故a119=－1．
　　此类题目还有：已知数列｛ａn｝满足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，则a2009=________；a2014=_________．
　　解析：本题主要考查周期数列等基础知识． 属于创新题型． 依题意，得a2009=a4×503-3=1，a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0．
　　分段型递推数列中的周期问题
　　例7 已知数列｛ａn｝满足：a1=a=，an+1=2an，an≤3，an－3，an>3，则S4m+2=______．
　　解析：由m∈N*，可得2m－1≥1，故a=≤3，当1　　故ak=2k-1a且am+1=2ma． 又am+1=>3，所以am+2=am+1－3=2ma－3=2m·－3=a．
　　故S4m+2=S4（m+1）－a4m+3－a4m+4 =4（a1+a2+·…+am+1）－（2m-1+2m）a=4（1+2+…+2m）a－3×2m-1a=4（2m+1－1）a－3×2m-1a=（2m+3－4－3×2m-1）a=．
　　变式：已知数列｛ａn｝满足：a1=a，an+1=an－3，an>3，4－an，an≤3（n∈N*），求证：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n>m时，an+4=an成立．
　　解析：（1）a>3时，不妨设a=3k+p（k∈N*，0≤p<3），由an+1=an－3，得a1，a2，…，ak+1成等差数列，ak+1=p∈［0，3），①当p=0时，则有ak+2=4，ak+3=1，ak+4=3，ak+5=1，…，所以存在正整数m=k+3，当n>m时，an+2=an成立，则an+4=an成立；②当0m时， an+4=an成立；③当p=1时，则有ak+2=3，ak+3=1，…，所以存在正整数m=k，当n>m时，an+2=an成立，则an+4=an成立；④当1m时，an+2=an成立，则an+4=an成立；（2）当a=3时，a2=1，由（1）③知命题成立；（3）当03，由（1）知命题成立． 综上，对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n>m时，an+4=an成立．
　　点评：上两题难度较大，关键在于切入点的选择上，区别于例1的地方在于数列的首项取值范围不明朗，需要讨论，所以给学生带来困惑，很多学生在确定首项的取值范围后，对第二项的取值便感到无从下手，这就需要我们挖掘问题的实质：何时跳出前段进入下一段的递推，这时对临界值的把握就显得至关重要，对学生的综合能力要求较高．
　　模周期数列
　　例8 设数列｛ｖn｝满足v0=1，v1=3，vn+2=4vn+1－vn． 试对非负整数n，确定2v-vn的末两位数字．
　　解析：因vn+2=－vn（mod4），v0=1，v1=3，从而vn=1（mod4），若m≡0或3（mod4），3（mod4），若n≡1或2（mod4），2v-vn≡1或3（mod4）． 另外，vn除以25，余数成周期为15的数列：1，3，11，16，3，21，3，6，21，3，16，11，3，1；1，2，11，16，3，… ，所以vn≡1，3，6，11，16，21（mod25）． 不难验证恒有2v-vn≡1（mod25）． 由此，得2v-vn=1（mod100），若m≡0或3（mod4），51（mod100），若n≡1或2（mod4），即在n=4k或4k+3时，2v-vn的末两位数字为01，在n=4k+1或4k+2时，2v-vn的末两位数字为51．
　　点评：模周期数列常用于处理与数论有关的问题，讨论数列的整除性，考查完全平方项等．
　　周期数列问题中往往是要对通项的代数性质进行研究，始终抓住an+T=an一式，有很多讨论只要在一个周期内进行即可推广到全体的项，充分考查了学生的推理、论证能力，对培养分类讨论思想和严谨的做题思维都起到了很好的训练作用．