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一、利用定义作出二面角的平面角,并设法求出其大小
例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。
∵PA⊥α, аα ∴PA⊥а
同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB
又∵OA平面PAB ∴а⊥OA
同理а⊥OB.
∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.
在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,
∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°
二、垂线定理(逆定理)法
由二面角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线)也与二面角的棱垂直,从而确定二面角的平面角。
例2、如图,ΔABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45°。求(1)二面角P—BC—A的大小;(2)二面角C—PB—A的大小
解:∵PM丄平面ABC,AC丄AB,
∴由三垂线定理得:AC 丄AP,
∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角,
即∠PAB =45°,
又AM=1[]2AB=2. ∴PM=2
作MD丄 BC于D,连PD,
则PD丄 BC,
故∠ PDM是二面角P—BC—A的平面角
RtΔMBD∽RtΔCAB
BM:BC=MD:CA又BC=5,MD=6[]5
在Rt ΔPDM中,tg∠PDM=PM[]DM=5[]3,
故∠PDM=arctg5[]3, 即二面角P—BC—A的大小为arctg5[]3。
(2)∵PM丄平面ABC,BM=MA,∴PA=PB,又∠PAB=45°∴PM丄PA,
又PM丄平面ABC,BM丄AC,∴PB丄PA,
又PM丄平面ABC,BM丄AC∴PB丄AC,
故PB丄平面PAC,∴PB丄PC,即∠APC是二面C—PB—A的平面角,
在RtΔPAB中,∠PAC=90°,AC=3,PA=2,AM=22,∴tg∠APC=32[]4因此二面角C—PB—A的大小为arctg32[]4。
三、平移或延长(展)线(面)法
将图形中有关线段或平面进行平移或延长(展),以其得到二面角的两个平面的交线。
例3、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α,B、C在平面α的同侧,且与α的距离分别是4和2,求平面ABC与α所成的角的正弦值。
解:设E、F分别为B、C的射影,连EF并延长交BC延长线于D,连AD;AE
∵E、F是B、C射影 ∴BE丄α;∵CF丄α ∴BE∥CF 又CF:BE=1[]2,
∴C是BD的中点∴BC=DC,
∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°,又∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACD=120°又AC=DC ,∴∠CAD=∠CDA=30°,又∠BAD=∠BAC+∠CAD ,
∴∠BAD=90°,∴BA丄AD ,
又∵AE是AB在平面α上的射影,
∴AE⊥AD又 BA⊥AD ,平面ABC∩平面α=A,∴∠BAE是平面ABC与α所成的角,
∴BE⊥平面α,∴ BE⊥AE , ∴ΔABC是 RtΔ
Sin∠BAE=BE:AB=2[]5,即平面ABC与α所成角的正弦值为2[]5。
四、找(作)公垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角。
例4、如图,已知PA与正方形ABCD所在平面垂直,且AB=PA,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。
解:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,故CD⊥平面PAD.
而CD平面PCD,
所以 平面PCD⊥平面PAD.
同理可证 平面PAB⊥平面PAD.
因为 平面PCD∩平面PAD=PD,平面PAB∩平面PAD=PA,所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直,即∠APD为所求二面角的平面角,且∠APD=45°
例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。
∵PA⊥α, аα ∴PA⊥а
同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB
又∵OA平面PAB ∴а⊥OA
同理а⊥OB.
∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.
在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,
∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°
二、垂线定理(逆定理)法
由二面角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线)也与二面角的棱垂直,从而确定二面角的平面角。
例2、如图,ΔABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45°。求(1)二面角P—BC—A的大小;(2)二面角C—PB—A的大小
解:∵PM丄平面ABC,AC丄AB,
∴由三垂线定理得:AC 丄AP,
∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角,
即∠PAB =45°,
又AM=1[]2AB=2. ∴PM=2
作MD丄 BC于D,连PD,
则PD丄 BC,
故∠ PDM是二面角P—BC—A的平面角
RtΔMBD∽RtΔCAB
BM:BC=MD:CA又BC=5,MD=6[]5
在Rt ΔPDM中,tg∠PDM=PM[]DM=5[]3,
故∠PDM=arctg5[]3, 即二面角P—BC—A的大小为arctg5[]3。
(2)∵PM丄平面ABC,BM=MA,∴PA=PB,又∠PAB=45°∴PM丄PA,
又PM丄平面ABC,BM丄AC,∴PB丄PA,
又PM丄平面ABC,BM丄AC∴PB丄AC,
故PB丄平面PAC,∴PB丄PC,即∠APC是二面C—PB—A的平面角,
在RtΔPAB中,∠PAC=90°,AC=3,PA=2,AM=22,∴tg∠APC=32[]4因此二面角C—PB—A的大小为arctg32[]4。
三、平移或延长(展)线(面)法
将图形中有关线段或平面进行平移或延长(展),以其得到二面角的两个平面的交线。
例3、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α,B、C在平面α的同侧,且与α的距离分别是4和2,求平面ABC与α所成的角的正弦值。
解:设E、F分别为B、C的射影,连EF并延长交BC延长线于D,连AD;AE
∵E、F是B、C射影 ∴BE丄α;∵CF丄α ∴BE∥CF 又CF:BE=1[]2,
∴C是BD的中点∴BC=DC,
∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°,又∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACD=120°又AC=DC ,∴∠CAD=∠CDA=30°,又∠BAD=∠BAC+∠CAD ,
∴∠BAD=90°,∴BA丄AD ,
又∵AE是AB在平面α上的射影,
∴AE⊥AD又 BA⊥AD ,平面ABC∩平面α=A,∴∠BAE是平面ABC与α所成的角,
∴BE⊥平面α,∴ BE⊥AE , ∴ΔABC是 RtΔ
Sin∠BAE=BE:AB=2[]5,即平面ABC与α所成角的正弦值为2[]5。
四、找(作)公垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角。
例4、如图,已知PA与正方形ABCD所在平面垂直,且AB=PA,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。
解:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,故CD⊥平面PAD.
而CD平面PCD,
所以 平面PCD⊥平面PAD.
同理可证 平面PAB⊥平面PAD.
因为 平面PCD∩平面PAD=PD,平面PAB∩平面PAD=PA,所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直,即∠APD为所求二面角的平面角,且∠APD=45°