一、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小
　　例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
　　解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。
　　 ∵PA⊥α, аα ∴PA⊥а
　　同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB
　　又∵OA平面PAB ∴а⊥OA
　　同理а⊥OB.
　　∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.
　　在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,
　　∠PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°
　　二、垂线定理（逆定理）法
　　由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。
　　例2、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小
　　解：∵PM丄平面ABC，AC丄AB，
　　∴由三垂线定理得：AC 丄AP，
　　∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角，
　　即∠PAB =45°，
　　又AM=1[]2AB=2. ∴PM=2
　　作MD丄 BC于D，连PD，
　　则PD丄 BC，
　　故∠ PDM是二面角P—BC—A的平面角
　　 RtΔMBD∽RtΔCAB
　　 BM：BC=MD：CA又BC=5，MD=6[]5
　　在Rt ΔPDM中，tg∠PDM=PM[]DM=5[]3，
　　故∠PDM=arctg5[]3， 即二面角P—BC—A的大小为arctg5[]3。
　　（2）∵PM丄平面ABC，BM=MA，∴PA=PB，又∠PAB=45°∴PM丄PA，
　　又PM丄平面ABC，BM丄AC，∴PB丄PA，
　　又PM丄平面ABC，BM丄AC∴PB丄AC，
　　故PB丄平面PAC，∴PB丄PC，即∠APC是二面C—PB—A的平面角，
　　在RtΔPAB中，∠PAC=90°，AC=3，PA=2，AM=22，∴tg∠APC=32[]4因此二面角C—PB—A的大小为arctg32[]4。
　　三、平移或延长（展）线（面）法
　　将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。
　　例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。
　　解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE
　　∵E、F是B、C射影 ∴BE丄α；∵CF丄α ∴BE∥CF 又CF：BE=1[]2，
　　∴C是BD的中点∴BC=DC，
　　∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180°，
　　∴∠ACD=120°又AC=DC ，∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，
　　∴∠BAD=90°，∴BA丄AD ，
　　又∵AE是AB在平面α上的射影，
　　∴AE⊥AD又 BA⊥AD ，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，
　　∴BE⊥平面α，∴ BE⊥AE ， ∴ΔABC是 RtΔ
　　Sin∠BAE=BE：AB=2[]5，即平面ABC与α所成角的正弦值为2[]5。
　　四、找（作）公垂面法
　　由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
　　例4、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。
　　解:∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
　　又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD．
　　而CD平面PCD，
　　所以 平面PCD⊥平面PAD．
　　同理可证 平面PAB⊥平面PAD．
　　因为 平面PCD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即∠APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°