函数是中学数学中最基本的也是最重要的概念之一。本文总结了函数解析式的十种不同的解法，希望能够帮助师生进一步理解函数的概念的，把握函数的内涵，提高学习效率。
　　一、代换法
　　例1：已知函数f(x)满足f(x+3)=x2+2x+3,求f(x) 的解析式.
　　解：设t=x+3,则x=t-3, ∴f（t）=(t-3)2 +2(t-3)+3=t2-4t+6 .
　　 ∴f(x)=x2-4x+6。
　　例2：已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x)的解析式.
　　解：设t=1-cosx,则cosx=1-t, ∴f（t）=sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2
　　=-t2+2t,∵-1≤cosx≤1∴0≤t≤2
　　∴f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)。
　　评注：代换法亦称换元法，是中学数学常用的数学方法之一。此两例相当于已知f［g(x)］＝h(x) ，求f(x)的问题，应令g(x)＝t，解出x，代入h(x)进行换元，从而求出f(x)的解析式，用换元法解决数学问题应注意代换的等价性，如例2中t的范围。
　　二、凑配法
　　例1：已知函数f(x)满足f(x+3)=x2+2x+3,求f(x)的解析式.
　　解：由f(x+3)=x2+2x+3=(x+3)2-4(x+3)+6
　　得f(x)=x2-4x+6。
　　例2：已知函数f(x)满足f(x-1[]x)=x2+1[]x2+1. 求f(2-1)。
　　 解：首先求f(x)的解析式。
　　由f(x-1[]x)=x2+1[]x2+1=(x-1[]x)2+3得f（x）=x2+3
　　所以f(2-1)=(2-1)2+3=6-22.
　　评注：观察已知条件中式子两端的特征，将式子右端构造成左端函数自变量位置上的量的形式，然后整体代换求函数解析式。在整体代换过程仍然应注意代换的等价性。
　　三、待定系数法
　　例1：求一次函数f(x)，使得f{f［f(x)］}＝x+6
　　解：设一次函数为f(x)=ax+b(a≠0)，
　　则f［f(x)］=a(ax+b)+b=a2x+ab+b，
　　f{f［f(x)］}＝a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b
　　由已知可得a3x+a2b+ab+b＝x+6，比较系数得：a3=1a2b+ab+b=6，解得a=1b=2
　　∴f(x)＝ x+２
　　例2：已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1）,反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点的距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)
　　求f(x)的表达式。
　　解：由已知，设f1(x)=ax2，由f1(1)=1，得a=1∴f1(x)=ax2.
　　设f2(x)=k[]x（k＞0）,它的图像与直线y=x的两个交点分别为A(k,k), B(-k,-k),由|AB|=8，得k=8, ∴f2(x)=8[]x. ∴f(x)=x2+8[]x.
　　评注：待定系数法是中学数学常用的数学方法之一。若题中给出所求函数的具体类型求函数解析式，可用待定系数法。方法是先设出函数的解析式，然后根据题设条件列出满足条件的方程（组）,进而求解。
　　四、解方程组法
　　例1：已知２f(x)＋f(1[]x)＝x，求f(x)的解析式．
　　解：已知２f(x)＋f(1[]x)＝x①将①中变量x换成1[]x，得
　　２f(1[]x)＋f(x)＝1[]x②联立①、②可得方程，消去f(1[]x)得：f(x)＝2[]3x-1[]3x。
　　例2：定义在区间（-1，1）的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1），求f(x)的解析式。
　　解：对任意的x∈(-1,1)有-x∈(-1,1)
　　由2f(x)-f(-x)=lg(x+1）①得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1）②。
　　将①②视为f(x)，f(-x）的方程组。解方程组得f(x)=2[]3lg(x+1)+2[]3lg(1-x)（-1＜x＜1）。
　　评注：求函数解析式时，当已知条件中的量代换时出现循环情况，常用这种方法解决。
　　五、利用函数性质
　　 例1：已知函数f(x)=ax2+bx+1[]x+c（x≠0，a＞0）是奇函数，当x＞0时，f(x)有最小值22。求f(x)的解析式。
　　解：∵f(x)=ax2+bx+1[]x+c（x≠0，a＞0）是奇函数
　　∴f（-x）=f（x）,∴-ax2+bx+1[]x+c=ax2-bx+1[]-x+c对一切x≠0恒成立。
　　∴ b=c=0∴f(x)=ax2+1[]x,当x＞0，f(x)=ax2+1[]x≥2a=22，
　　∴a=2 ∴f(x)=2x2+1[]x
　　例2：已知函数f(x)的图象过点（0，1）且与函数g(x)=2x[]2-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形。求函数f(x)的解析式。
　　解：设P(x,y)是函数f(x,y)图象上任一点，点P(x,y)关于直线y=x-1的对称点为Q（a,b）
　　则y-b[]y-a=-1y+b[]2=x+a[]2-1解得a=y+1b=x-1，即Q(y+1,x-1)，又点Q在g(x)=2x[]2-1-a-1的图象
　　由此得f(x)=2log2(x+a)+1，又f(0）=1，可得a=1.
　　所以f(x)=2log2(x+1)+1，其定义域为﹛x|x>-1﹜。
　　评注：函数的性质是函数的主体内容，他的应用广泛而深刻。我们在求解析式时也应深刻理解函数性质并灵活运用 。如此题主要运用了函数的奇偶性、最值性及对称性。