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摘 要 极端低温气候事件的接连发生使人们试图对这些极值事件做出精确的判断和预测,本文利用广义极大值Pareto分布理论,结合极大似然估计的方法,推导出广义极小值Pareto分布的理论模型,无论在理论上还是在应用上都具有一定的价值。
关键词 广义极小值 Pareto分布 阈值 极大似然估计
中图分类号:O13 文献标识码:A
令x1,x2,…xn是一列独立的随机变量,具有共同的分布函数F。很自然的可以认为序列xi的极值事件为超过某阈值u的事件,通过定义x来代替序列xi中的任意一项,则通过下面的条件概率同样可以描述极值事件的随机性,
p{x>u+y|x>u}=, y>0
如果母体分布F未知,则阈值超出量分布函数同样能够被近似求出,在实际应用中,当母体分布未知时,我们一般利用广义极值分布族来近似刻画一个序列中最大值的分布。下面我们看一下广义极大值Pareto分布的有关内容:
定理1 令x1,x2,…xn为一列独立随机变量序列,具有共同的分布函数F,令Mn=max{x1,x2,…xn},假设F满足极值(Fisher-Tippett theorem)定理,则当n充分大时,p{Mn≤z}≈G(z),其中
,
以及{x:1+€%g(x-€%e)/€%l>0}。各个参数满足:-∞<€%e<∞,则对一适当的€%e,当X-€%e时,的分布函数可以近似表述为H(y)=1-,其中{y:y>0和(1+€%gy/€%l)>0},上述分布就称之为广义极大值Pareto分布
如果€%g=0,我们可以理解为€%g→0时H(y)=1-的极限情形,即H(y)=1-。
基于以上结论,我们可以得到下面广义极小值Pareto分布的情形,该分布在冬季低值温度破纪录事件的预测以及干旱区极小降水量等领域方面有着一定的作用,我们将主要结果概括为下面的一个结论:
定理2 令x1,x2,…xn为一列独立随机变量序列,具有共同的分布函数F,令Mn=min{x1,x2,…xn},假设F满足定理(Fisher-Tippett theorem)定理,则当n充分大时,p{Mn≤z}≈G*(z),
其中
左边图1主要是是44年数据的频率直方图,然后利用传统的方法,高斯分布对其进行模拟,模拟的高斯分布函数为y=,从图1上看还是比较贴近原始数据的,但是从后面两个图对比中我们可以看出广义极小值Pareto分布模型具有更好的优越性,其中阈值为1。6℃,€%g和€%l的参数估计分别0.000和1.5438,分位点图上的数据点除一个点离直线比较远外,其它点基本都在直线上,可见拟合的还是非常好的,而高斯分布与经验分布函数的值对比,很明显看出与直线是有一定偏离的,说明利用传统的高斯分布来研究极端温度还是有些局限性的,而利用广义极小值Pareto分布模型则能很好地体现低温的分布情况。
参考文献
[1] Tsay R,S.Extreme value analysis of financial data, Working paper, Graduate School of Business, University of Chicago.
[2] 欧阳资生.极值估计在金融保险中的应用.中国经济出版社,2006.
[3] [美]Tsay R· S.金融时间序列分析[M].潘家柱,译.北京:机械工业出版社,2006:211- 226.
[4] Stuart Coles. An Introduction to Statistical Modeling ofExtremeValues (Springer 2001).
[5] Reiss R , Thomas M. Statistical Analysis of Ext reme Values : From Insurance , Finance , Hydrology and Other Fields[M] . Basel : Birkhauser Verlag , 2001.
[6] 袁东锦.计算方法—数值分析.南京师范大学出版社,2004.
关键词 广义极小值 Pareto分布 阈值 极大似然估计
中图分类号:O13 文献标识码:A
令x1,x2,…xn是一列独立的随机变量,具有共同的分布函数F。很自然的可以认为序列xi的极值事件为超过某阈值u的事件,通过定义x来代替序列xi中的任意一项,则通过下面的条件概率同样可以描述极值事件的随机性,
p{x>u+y|x>u}=, y>0
如果母体分布F未知,则阈值超出量分布函数同样能够被近似求出,在实际应用中,当母体分布未知时,我们一般利用广义极值分布族来近似刻画一个序列中最大值的分布。下面我们看一下广义极大值Pareto分布的有关内容:
定理1 令x1,x2,…xn为一列独立随机变量序列,具有共同的分布函数F,令Mn=max{x1,x2,…xn},假设F满足极值(Fisher-Tippett theorem)定理,则当n充分大时,p{Mn≤z}≈G(z),其中
,
以及{x:1+€%g(x-€%e)/€%l>0}。各个参数满足:-∞<€%e<∞,则对一适当的€%e,当X-€%e时,的分布函数可以近似表述为H(y)=1-,其中{y:y>0和(1+€%gy/€%l)>0},上述分布就称之为广义极大值Pareto分布
如果€%g=0,我们可以理解为€%g→0时H(y)=1-的极限情形,即H(y)=1-。
基于以上结论,我们可以得到下面广义极小值Pareto分布的情形,该分布在冬季低值温度破纪录事件的预测以及干旱区极小降水量等领域方面有着一定的作用,我们将主要结果概括为下面的一个结论:
定理2 令x1,x2,…xn为一列独立随机变量序列,具有共同的分布函数F,令Mn=min{x1,x2,…xn},假设F满足定理(Fisher-Tippett theorem)定理,则当n充分大时,p{Mn≤z}≈G*(z),
其中
左边图1主要是是44年数据的频率直方图,然后利用传统的方法,高斯分布对其进行模拟,模拟的高斯分布函数为y=,从图1上看还是比较贴近原始数据的,但是从后面两个图对比中我们可以看出广义极小值Pareto分布模型具有更好的优越性,其中阈值为1。6℃,€%g和€%l的参数估计分别0.000和1.5438,分位点图上的数据点除一个点离直线比较远外,其它点基本都在直线上,可见拟合的还是非常好的,而高斯分布与经验分布函数的值对比,很明显看出与直线是有一定偏离的,说明利用传统的高斯分布来研究极端温度还是有些局限性的,而利用广义极小值Pareto分布模型则能很好地体现低温的分布情况。
参考文献
[1] Tsay R,S.Extreme value analysis of financial data, Working paper, Graduate School of Business, University of Chicago.
[2] 欧阳资生.极值估计在金融保险中的应用.中国经济出版社,2006.
[3] [美]Tsay R· S.金融时间序列分析[M].潘家柱,译.北京:机械工业出版社,2006:211- 226.
[4] Stuart Coles. An Introduction to Statistical Modeling ofExtremeValues (Springer 2001).
[5] Reiss R , Thomas M. Statistical Analysis of Ext reme Values : From Insurance , Finance , Hydrology and Other Fields[M] . Basel : Birkhauser Verlag , 2001.
[6] 袁东锦.计算方法—数值分析.南京师范大学出版社,2004.