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摘要：“恒成立”问题是数学中常见的问题，这类问题与函数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，并且有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此备受命题者的青睐，因而也就成为历年高考的一个热点。虽然题目的新颖性与思辨性常常令解题者不知所措，但笔者通过仔细研究后发现，只要你具备了六大绝招，这一切问题将迎刃而解！
关键词：恒成立绝招
绝招一、判别式
本招式由其简单，易操作，故笔者将其排在第一招，但是此招式有很大的局限性，它只专门针对二次函数，且定义域的情形，如：
例1、（2007年·重庆卷·理13)若函数的定义域为，则的取值范围为．
解析：已知函数的定义域为，即在上恒成立，也即在上恒成立，所以有.解得.
反思：此招式虽简单，但由于其过大的局限性注定了它只能解决“恒成立”问题的一小部分，如将题目中定义域为改为定义域为，我们就不能用判别式这一绝招了，这也就说明当题目是所给问题通过转化后是二次函数且定义域为时方可使用。
练习、不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．（答：）
绝招二、根的分布
由于根的分布存在好多种情形，所以在考虑问题是要弄清楚是哪些情形，比第一招要复杂，故将其排在第二招，此招式也有很大的局限性，它专门针对一次方程与二次方程，且定义域有具体范围限定的情形，如：
例2、当，不等式恒成立，求实数的范围。
解析：令，开口向上，故只要二次方程的两根在区间之外，结合图像有即可，所以解得：．
反思：此招式虽然有时要考虑很多种情形，但相比较而且，这也是所有解法中相对简单的一种，故如果题目条件符合应用前提时不妨一用！
练习、求使不等式对一切恒成立的负数的取值范围。（答：）
绝招三、分离参数
由于绝招一、绝招二都是只针对一次、二次函数的某些特定情况的特定解法，稍加改变后有时就变得不太方便了，因此我们必须寻求新的更好的解法，由于恒成立问题往往是要求求参数的范围或值，因此一种新的招式就跃入脑海——分离参数：即将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式.则恒成立的范围是的值域；恒成立；恒成立.
例3、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.
解：当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以，∴.
反思：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.分离参数法有时能过减少讨论次数，甚至能避免讨论，所以该招式是值得推广的一招。故笔者将其排在第三招，但是此招式也有局限，那就是要能方便分离，如不太好分离时，该招式就不灵了。
练习、已知函数，常数．若函数在上为增函数，求的取值范围．
（答：）
绝招四、函数最值
当参数不太好分离时，招式三失败时，我们就必须找到一种更好的招式来解决，那么究竟有没有一种通解通法呢？答案是有！将其转化为函数最值来解，故绝招四就是：函数最值法。恒成立；恒成立.
例4、不等式在上恒成立，则实数的取值范围。
解：令，则，问题转化为二次函数区间最值问题。
①当时，在上单调增，；
②当时，无解；
③当时，在上单调减，；
综上有：
反思：该招式是恒成立问题的通解通法，能够解决所有问题，只是有时讨论情况太多，太繁琐，对学生的各方面的能力要求较高，一不小心就出错！故使用原则是走投无路时用该招式。
练习、设，对任意实数，记.
（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：①当时，对任意正实数成立；②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立。
解：(Ⅰ)略；（Ⅱ）①令，则，当时，由得.当时，；当时，.所以在内的最小值是.故当时，对任意正实数成立.
绝招五、变换主元
恒成立问题离不开两个字母，一个是主变元，另一个是参数，究竟谁是主变元谁是参数，要具体问题具体分析，习惯性思维是字母是主变元，但有时命题者就是要挑战你思维的极限，如：
例5、对满足的所有实数，求使不等式恒成立的取值范围．
解：对恒成立，令为的一次函数，由得：或．
反思：认清主次元是关键，适时的变换主元，对解题有很大的帮助，是恰当时期的优秀解法，故笔者排在第五招。
练习、不等式对任意的均成立，则的取值范围是。（答：）
绝招六、 数形结合法
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.
例6、若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
(A)(B) (C) （D）
解：如图3所示，由数形结合可得答案B正确.
反思：该招式可遇不可求，前提是能非常容易地画出等号或不等号两边
函数的图像，对于选择题、填空题是好方法，对解答题欠妥，故笔者排在第六招。
“恒成立”问题是历年高考的一个热点，各省的模考卷也频繁出现，用这六大绝招，可以帮助你顺利解决该难题，让你在考场上游刃有余！
地址：江苏省常州市第一中学
邮编：213003
电话：13813580180
关键词：恒成立绝招
绝招一、判别式
本招式由其简单，易操作，故笔者将其排在第一招，但是此招式有很大的局限性，它只专门针对二次函数，且定义域的情形，如：
例1、（2007年·重庆卷·理13)若函数的定义域为，则的取值范围为．
解析：已知函数的定义域为，即在上恒成立，也即在上恒成立，所以有.解得.
反思：此招式虽简单，但由于其过大的局限性注定了它只能解决“恒成立”问题的一小部分，如将题目中定义域为改为定义域为，我们就不能用判别式这一绝招了，这也就说明当题目是所给问题通过转化后是二次函数且定义域为时方可使用。
练习、不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．（答：）
绝招二、根的分布
由于根的分布存在好多种情形，所以在考虑问题是要弄清楚是哪些情形，比第一招要复杂，故将其排在第二招，此招式也有很大的局限性，它专门针对一次方程与二次方程，且定义域有具体范围限定的情形，如：
例2、当，不等式恒成立，求实数的范围。
解析：令，开口向上，故只要二次方程的两根在区间之外，结合图像有即可，所以解得：．
反思：此招式虽然有时要考虑很多种情形，但相比较而且，这也是所有解法中相对简单的一种，故如果题目条件符合应用前提时不妨一用！
练习、求使不等式对一切恒成立的负数的取值范围。（答：）
绝招三、分离参数
由于绝招一、绝招二都是只针对一次、二次函数的某些特定情况的特定解法，稍加改变后有时就变得不太方便了，因此我们必须寻求新的更好的解法，由于恒成立问题往往是要求求参数的范围或值，因此一种新的招式就跃入脑海——分离参数：即将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式.则恒成立的范围是的值域；恒成立；恒成立.
例3、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.
解：当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以，∴.
反思：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.分离参数法有时能过减少讨论次数，甚至能避免讨论，所以该招式是值得推广的一招。故笔者将其排在第三招，但是此招式也有局限，那就是要能方便分离，如不太好分离时，该招式就不灵了。
练习、已知函数，常数．若函数在上为增函数，求的取值范围．
（答：）
绝招四、函数最值
当参数不太好分离时，招式三失败时，我们就必须找到一种更好的招式来解决，那么究竟有没有一种通解通法呢？答案是有！将其转化为函数最值来解，故绝招四就是：函数最值法。恒成立；恒成立.
例4、不等式在上恒成立，则实数的取值范围。
解：令，则，问题转化为二次函数区间最值问题。
①当时，在上单调增，；
②当时，无解；
③当时，在上单调减，；
综上有：
反思：该招式是恒成立问题的通解通法，能够解决所有问题，只是有时讨论情况太多，太繁琐，对学生的各方面的能力要求较高，一不小心就出错！故使用原则是走投无路时用该招式。
练习、设，对任意实数，记.
（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：①当时，对任意正实数成立；②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立。
解：(Ⅰ)略；（Ⅱ）①令，则，当时，由得.当时，；当时，.所以在内的最小值是.故当时，对任意正实数成立.
绝招五、变换主元
恒成立问题离不开两个字母，一个是主变元，另一个是参数，究竟谁是主变元谁是参数，要具体问题具体分析，习惯性思维是字母是主变元，但有时命题者就是要挑战你思维的极限，如：
例5、对满足的所有实数，求使不等式恒成立的取值范围．
解：对恒成立，令为的一次函数，由得：或．
反思：认清主次元是关键，适时的变换主元，对解题有很大的帮助，是恰当时期的优秀解法，故笔者排在第五招。
练习、不等式对任意的均成立，则的取值范围是。（答：）
绝招六、 数形结合法
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.
例6、若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
(A)(B) (C) （D）
解：如图3所示，由数形结合可得答案B正确.
反思：该招式可遇不可求，前提是能非常容易地画出等号或不等号两边
函数的图像，对于选择题、填空题是好方法，对解答题欠妥，故笔者排在第六招。
“恒成立”问题是历年高考的一个热点，各省的模考卷也频繁出现，用这六大绝招，可以帮助你顺利解决该难题，让你在考场上游刃有余！
地址：江苏省常州市第一中学
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