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我们知道，函数是导数的研究对象，导数是研究函数的通用、有效、简便的工具。用导数研究函数性质，可以帮助我们进一步理解函数概念和性质，同时为我们解决函数问题开辟了一条“绿色通道”。因此，尽管导数是新课标的选修内容，但利用导数研究函数的性质依然是高考的命题热点。那么同学们在复习时应特别关注哪些问题呢？让我们从2011年的高考真题中看端倪！
一、 导数的几何意义问题
此类试题主要考查
两类题型：(1) 求曲线的切线；(2) 根据切线方程求参数。解答时主要是围绕在某点的导数为过此点的切线斜率。
【例1】 （2011•湖北卷）设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2-3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. 求a、b的值，并写出切线l的方程；
解析 f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x-3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.
由此得8+8a+2b+a=0，
12+8a+b=1，
解得a=-2b=5.
所以a＝-2，b＝5，切线l的方程为x-y-2＝0.
点拨
本题考查导数的几何意义和公切线方程的求法。一般的，若函数y=f(x)与y=g(x)在点(x0,y0)处切线相同，则有f(x0)=g(x0)=y0
f′(x0)=g′(x0)=0。本题也可设两曲线在同一点处的切线方程分别为 “y=k1x+b1”与“y=k2x+b2”， 则必有“k1=k2且b1=b2”。在曲线的公切线问题中常常用以上两法来构建方程。
二、 利用导数解决函数极值问题
此类试题主要考查两类题型：(1) 根据函数解析式求极值；(2) 根据函数的极值求解参数问题。解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解。高考常结合解决非常规函数的极值或参数范围等问题来考查。解题时主要是利用函数f(x)在某点取得极值的充要条件，即该点的导数为零且该点两侧异号。
【例2】 （2011•安徽卷）设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．
(1) 当a＝43时，求f(x)的极值点；
(2) 若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解析 对f(x)求导得f′(x)＝ex1+ax2-2ax(1+ax2)2.①
(1) 当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2-8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.
结合①可知
x-∞，121212，323232，+∞
f′(x)＋0-0＋
f(x)极大值极小值
所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．
(2) 若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2-2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2-4a＝4a(a-1)≤0，由此并结合a>0，知0
点拨
设y=f(x)在某个区间内可导，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号，这是处理这类问题的通法。而f(x)为R上的单调函数，就是该函数为R上无极值点，即f′(x) ≤0或f′(x) ≥0在R上恒成立。
三、 利用导数求函数的最值问题
此考点主要考查利用导数求函数的最值，主要考查题型：(1) 根据函数的解析式求函数的最大值；(2) 根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题。主要有两种解题途径：(1) 比较所有极值点与端点的函数值的最值；(2) 直接结合函数的单调性来求解。
【例3】 （2011•江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 .
解析 设P(x0，ex0)，则直线l：y-ex0＝ex0(x-x0)．
令x＝0，则y＝-x0ex0＋ex0，与l垂直的直线l′的方程为y-ex0＝-1ex0(x-x0)，
令x＝0得，y＝x0ex0＋ex0，
所以t＝
-x0ex0+2ex0+x0ex0
2.
令y＝-xex+2ex+xex2，
则y′＝-ex(x-1)+(x-1)ex2，
令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′>0，当x∈(1，＋∞)时，y′<0，故当x＝1时该函数的最大值为12e+1e.
点拨
因为极值点处的导数值必为0，所以求最值时可以不用求极值，只需求出使f′(x)=0的所有x的值。求可导函数f(x)在闭区间
［a,b］上最值的方法可变化为：①求在闭区间
［a,b］内使f′(x)=0的所有x的值x1,x2,x3……；②将对应的函数值f(x1)，f(x2),f(x3)……与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
四、 利用导数解决函数单调性问题
此类试题主要考查利用导数求解函数单调性问题，其主要题型：（1） 证明函数的单调性；(2) 根据函数解析式，求函数的单调区间；(3) 根据函数的单调性
求解参数问题；(4) 求解与函数单调性相关的其他问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题。
【例4】 （2011•广东卷）设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x，
当a≠1时，方程2a(1-a)x2-2(1-a)x＋1＝0的判别式Δ＝12(a-1)a-13.
①当00，f′(x)有两个零点，x1＝12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a)>0，x2＝12a＋
(a-1)(3a-1)2a(1-a)，
且当0x2时，f′(x)>0，f(x)在(0，x1)与(x2，＋∞)内为增函数；
当x1 ②当13≤a<1时，Δ≤0，f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)内为增函数；
③当a＝1时，f′(x)＝1x>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)内为增函数；
④当a>1时，Δ>0，x1＝12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a)>0，x2＝12a+(a-1)(3a-1)2a(1-a)<0，
所以f′(x)在定义域内有唯一零点x1，且当00，f(x)在(0，x1)内为增函数；当x>x1时，f′(x)<0，f(x)在(x1，＋∞)内为减函数．
f(x)的单调区间如下表：
01
(0，x1)(x1，x2)(x2，＋∞)(0，＋∞)(0，x1)(x1，＋∞)
其中x1＝12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a)，x2＝12a＋
(a-1)(3a-1)2a(1-a)
点拨
本题虽然函数解析式已经给出，但由于含有参数，函数的单调性随参数的变化而变化，故必须分类讨论。这类问题在高考中比较常见，具有一定难度。
本文最后值得一提的是，2012年是江苏实施新高考方案的第5年，函数作为高考内容依然是C级要求，函数与导数的综合问题仍有可能处在压轴题位置，因此，同学们复习函数与导数，不仅要在试题类型的广度上下功夫，更应该在试题综合性的深度上多加练习。
牛刀小试
1. (2011•广东卷) 函数f(x)＝x3-3x2＋1在x＝ 处取得极小值．
2. （2011•湖南卷）设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为 .
3. 已知函数f(x)=x2-alnx，g(x)=bx-x+2，其中a，b∈R且ab=2．函数f(x)在14,1上是减函数，函数g(x)在14,1上是增函数．
（1） 求函数f(x)，g(x)的表达式；
（2） 若不等式f(x)≥mg(x)对x∈14,1恒成立，求实数m的取值范围；
（3） 求函数h(x)=f(x)+g(x)-12x的最小值，并证明当n∈N*，n≥2时f(n)+g(n)>3．
【参考答案】
1. 2.
2. 22.
3. （1） f′(x)=2x-ax≤0对任意的x∈14,1恒成立，所以a≥2x2，所以a≥2；
同理可得b≥1；∵ab=2，∴a=2,b=1; ∴f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-x+2.
（2） ∵f(1)=1>0，g14=74>0，且函数f(x)在14,1上是减函数，函数g(x)在14,1上是增函数．所以x∈14,1时，f(x)>0，g(x)>0， ∴m≤f(x)g(x)．
有条件得f(x)g(x)min=f(1)g(1)=12-2ln11-1+2=12，∴m≤12.
（3） h′(x)=2x-1x+121-1x
=(x-1)2(x+1)(x+1)x+
12x，当x>0时，2(x+1)(x+1)x+
12x>0，∴当x∈(0,1)时，h′(x)<0,当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，
∴h(x)在x∈0,1递减，在x∈(1,+∞)递增．
当n≥2时，hn≥h2=7-2ln2-2=3+2-ln4+2-2>3；
∴hn>3，所以n∈N*，n≥2时f(n)+g(n)>3+n2>3成立.
（作者：高金花，江苏省太仓高级中学）
一、 导数的几何意义问题
此类试题主要考查
两类题型：(1) 求曲线的切线；(2) 根据切线方程求参数。解答时主要是围绕在某点的导数为过此点的切线斜率。
【例1】 （2011•湖北卷）设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2-3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. 求a、b的值，并写出切线l的方程；
解析 f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x-3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.
由此得8+8a+2b+a=0，
12+8a+b=1，
解得a=-2b=5.
所以a＝-2，b＝5，切线l的方程为x-y-2＝0.
点拨
本题考查导数的几何意义和公切线方程的求法。一般的，若函数y=f(x)与y=g(x)在点(x0,y0)处切线相同，则有f(x0)=g(x0)=y0
f′(x0)=g′(x0)=0。本题也可设两曲线在同一点处的切线方程分别为 “y=k1x+b1”与“y=k2x+b2”， 则必有“k1=k2且b1=b2”。在曲线的公切线问题中常常用以上两法来构建方程。
二、 利用导数解决函数极值问题
此类试题主要考查两类题型：(1) 根据函数解析式求极值；(2) 根据函数的极值求解参数问题。解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解。高考常结合解决非常规函数的极值或参数范围等问题来考查。解题时主要是利用函数f(x)在某点取得极值的充要条件，即该点的导数为零且该点两侧异号。
【例2】 （2011•安徽卷）设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．
(1) 当a＝43时，求f(x)的极值点；
(2) 若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解析 对f(x)求导得f′(x)＝ex1+ax2-2ax(1+ax2)2.①
(1) 当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2-8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.
结合①可知
x-∞，121212，323232，+∞
f′(x)＋0-0＋
f(x)极大值极小值
所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．
(2) 若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2-2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2-4a＝4a(a-1)≤0，由此并结合a>0，知0
点拨
设y=f(x)在某个区间内可导，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号，这是处理这类问题的通法。而f(x)为R上的单调函数，就是该函数为R上无极值点，即f′(x) ≤0或f′(x) ≥0在R上恒成立。
三、 利用导数求函数的最值问题
此考点主要考查利用导数求函数的最值，主要考查题型：(1) 根据函数的解析式求函数的最大值；(2) 根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题。主要有两种解题途径：(1) 比较所有极值点与端点的函数值的最值；(2) 直接结合函数的单调性来求解。
【例3】 （2011•江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 .
解析 设P(x0，ex0)，则直线l：y-ex0＝ex0(x-x0)．
令x＝0，则y＝-x0ex0＋ex0，与l垂直的直线l′的方程为y-ex0＝-1ex0(x-x0)，
令x＝0得，y＝x0ex0＋ex0，
所以t＝
-x0ex0+2ex0+x0ex0
2.
令y＝-xex+2ex+xex2，
则y′＝-ex(x-1)+(x-1)ex2，
令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′>0，当x∈(1，＋∞)时，y′<0，故当x＝1时该函数的最大值为12e+1e.
点拨
因为极值点处的导数值必为0，所以求最值时可以不用求极值，只需求出使f′(x)=0的所有x的值。求可导函数f(x)在闭区间
［a,b］上最值的方法可变化为：①求在闭区间
［a,b］内使f′(x)=0的所有x的值x1,x2,x3……；②将对应的函数值f(x1)，f(x2),f(x3)……与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
四、 利用导数解决函数单调性问题
此类试题主要考查利用导数求解函数单调性问题，其主要题型：（1） 证明函数的单调性；(2) 根据函数解析式，求函数的单调区间；(3) 根据函数的单调性
求解参数问题；(4) 求解与函数单调性相关的其他问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题。
【例4】 （2011•广东卷）设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x，
当a≠1时，方程2a(1-a)x2-2(1-a)x＋1＝0的判别式Δ＝12(a-1)a-13.
①当0
(a-1)(3a-1)2a(1-a)，
且当0
当x1
③当a＝1时，f′(x)＝1x>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)内为增函数；
④当a>1时，Δ>0，x1＝12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a)>0，x2＝12a+(a-1)(3a-1)2a(1-a)<0，
所以f′(x)在定义域内有唯一零点x1，且当0
f(x)的单调区间如下表：
0
(0，x1)(x1，x2)(x2，＋∞)(0，＋∞)(0，x1)(x1，＋∞)
其中x1＝12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a)，x2＝12a＋
(a-1)(3a-1)2a(1-a)
点拨
本题虽然函数解析式已经给出，但由于含有参数，函数的单调性随参数的变化而变化，故必须分类讨论。这类问题在高考中比较常见，具有一定难度。
本文最后值得一提的是，2012年是江苏实施新高考方案的第5年，函数作为高考内容依然是C级要求，函数与导数的综合问题仍有可能处在压轴题位置，因此，同学们复习函数与导数，不仅要在试题类型的广度上下功夫，更应该在试题综合性的深度上多加练习。
牛刀小试
1. (2011•广东卷) 函数f(x)＝x3-3x2＋1在x＝ 处取得极小值．
2. （2011•湖南卷）设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为 .
3. 已知函数f(x)=x2-alnx，g(x)=bx-x+2，其中a，b∈R且ab=2．函数f(x)在14,1上是减函数，函数g(x)在14,1上是增函数．
（1） 求函数f(x)，g(x)的表达式；
（2） 若不等式f(x)≥mg(x)对x∈14,1恒成立，求实数m的取值范围；
（3） 求函数h(x)=f(x)+g(x)-12x的最小值，并证明当n∈N*，n≥2时f(n)+g(n)>3．
【参考答案】
1. 2.
2. 22.
3. （1） f′(x)=2x-ax≤0对任意的x∈14,1恒成立，所以a≥2x2，所以a≥2；
同理可得b≥1；∵ab=2，∴a=2,b=1; ∴f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-x+2.
（2） ∵f(1)=1>0，g14=74>0，且函数f(x)在14,1上是减函数，函数g(x)在14,1上是增函数．所以x∈14,1时，f(x)>0，g(x)>0， ∴m≤f(x)g(x)．
有条件得f(x)g(x)min=f(1)g(1)=12-2ln11-1+2=12，∴m≤12.
（3） h′(x)=2x-1x+121-1x
=(x-1)2(x+1)(x+1)x+
12x，当x>0时，2(x+1)(x+1)x+
12x>0，∴当x∈(0,1)时，h′(x)<0,当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，
∴h(x)在x∈0,1递减，在x∈(1,+∞)递增．
当n≥2时，hn≥h2=7-2ln2-2=3+2-ln4+2-2>3；
∴hn>3，所以n∈N*，n≥2时f(n)+g(n)>3+n2>3成立.
（作者：高金花，江苏省太仓高级中学）