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圆锥曲线是解析几何的重要内容，但鉴于江苏高考的等级要求降低，其主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，注意圆锥曲线的定义在解题中的应用等。其中双曲线、抛物线的要求较低，多为容易题；椭圆为B级要求，估计椭圆的考查以中档题为主，以客观题的形式考查，要注意与圆、向量等知识的整合。每年的高考中，圆锥曲线问题异彩纷呈的形式变换试图诠释创新的要义，但总逃不出对基础知识和能力的考查。本文例析几种常见的类型，以供同学们参考。
类型一新定义题
【例1】设x1，x2∈R，定义运算：x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2．
（1） 若x≥0，常数p＞0，求动点Px，xp2的轨迹C；
（2） 过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与C交于不同的两点A，B，若|AB|≤2p，求实数a的取值范围．
分析首先要读懂题目中定义的新运算，在(2)中我们要用弦长公式求出AB的长度，再由|AB|≤2p构造不等式，求出实数a的取值范围。
解（1） 设P（x，y），则y=xp2=x+p22－x－p22=2px．
即y2=2px(y≥0).
（2） 直线l的方程为y=x－a，代入y2=2px，消去x得
y2－2py－2ap=0(y≥0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ=(－2p)2+8ap>0，
y1+y2=2p>0，
y1y2=－2ap≥0.
解得－p2 ∴|AB|=(x1－x2)2+(y1－y2)2
=2(y1－y2)2
=8(p2+2ap)≤2p，
解得a≤－p4．
故所求a的取值范围为－p2，－p4．
总结：本题属于自定义新运算型的信息迁移创新试题，具有立意新、形式新、设问巧等特点，这些信息通常包括新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等等。解决这类问题要求学生对知识有迁移能力，根据新定义转化为传统思路去解决问题，具有一定的创新思维。
类型二开放题
【例2】已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a，b>0，且）的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是b2．请在题目的空缺处填入一个可能条件．
分析这是一道条件开放题，所缺条件一般是与a、b、c满足的某一关系式。因此解题中首先要对焦点在x还是y轴上进行分类讨论，然后分别求出△F1PF2的面积。
解首先确定坐标轴，假设焦点在y轴上，
由题意知，|PF1|+|PF2|=2b，
|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴|PF1||PF2|=2(b2－c2).
从而S△F1PF2=b2－c2 故椭圆的焦点在x轴上，则有a＞b＞0，
|PF1|+|PF2|=2a，①
|PF1|2+|PF2|2=4c2②
又∵|PF1|2+|PF2|2≥12(|PF1|+|PF2|)2，
∴由①、②，得4c2≥12(2a)2，即a2≤2c2，
亦即a2≥2b2，∴a≥2b>0．
由此，空缺处可以填写满足a=2b＞0的任一开放条件，
如a=2b>0，a>2b>0，a=3b>0等．
总结：解条件探索题的主要方法是：将需探索条件作为已知，结合题设等其他条件，列出满足结论的关系式，并由此找出满足结论的条件。
类型三存在探索题
【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1) 求圆C的方程；
(2) 试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析本题考查待定系数法求圆的方程和第一定义法求椭圆方程，借助圆的参数方程根据题目中的假设得到关于变量cosθ的方程，从方程是否有解这一角度来解决此探索性问题。
解(1) 设圆C的圆心为(m，n)，
则m=－n,
n•2=22,解得m=－2,
n=2,
所求的圆的方程为(x+2)2+(y－2)2=8.
(2) 由已知可得2a=10,a=5,
椭圆的方程为x225+y29=1,右焦点为F(4，0);
假设存在Q点(－2+22cosθ,2+22sinθ)使|QF|=|OF|,
(－2+22cosθ－4)2+(2+22sinθ)2=4,
整理得sinθ=3cosθ-22,
代入sin2θ+cos2θ=1得:
10cos2θ-122cosθ+7=0,
cosθ=62±210<1,
当cosθ=22时，Q点（0，0）（舍去）；
当cosθ=7210时,Q点45,125.
因此存在符合题意的Q点.
总结：本题是一道存在性问题，解决这类问题的方法为：①对这类问题，若能将所观察对象联系其几何背景进行数与形的转化，常能将复杂抽象的问题变得直观、具体，有利探明结论；②解析几何中的存在与否的问题常用Δ>0，或曲线方程本身的取值范围，或题意中变量的取值范围进行判断。
类型四动手操作题
【例4】如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD,按图示的方法进行折叠,使每次折叠后的点B都在AD边上，此时B记为B′(注:图中EF为折痕，点F也可落在边CD上)，过B′作B′T平行于CD交EF于T，求点T的轨迹方程.
分析由折叠的过程可知，|BT|=|B′T|，B′T⊥AD，在根据抛物线的定义，T的轨迹是以点B为焦点，AD为准线的抛物线的一部分。
解如图，以边AB的中点O为原点，AB边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0,-2).
因为|BT|=|B′T|，B′T⊥AD，根据抛物线的定义，T的轨迹是以点B为焦点，AD为准线的的抛物线的一部分.设T(x,y),|AB|=4,即定点B到定直线AD的距离为4，所以抛物线的方程为x2=－8y.
在折叠的过程中，线段AB′的长度在区间［0,4］内变化，而x=AB′，所以0≤x≤4.
故点T的轨迹方程为x2=－8y(0≤x≤4).
总结：求轨迹方程的关键是把动点满足的可以量化的几何条件（体现该轨迹属性的几何量间的关系）用坐标表示，因而从题设条件中分析出这些条件成为解决问题的突破口。
牛刀小试
1. 已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是.
①y=x+1;②y=2;③y=43x;④y=2x+1.
2. 如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=22，一条准线的方程为x=22．
设动点P满足：OP=OM+2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－12，当点F1、F2坐标分别为，使得|PF1|+|PF2|为定值．
3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆x29+2y29=1的右顶点，点D(1,0),点P,B在椭圆上，BP=DA.
(1) 求直线BD的方程；
(2) 求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长;
(3) 是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.
4. 一张纸上画有直线l和直线外一定点A，且点A到l的距离为a，折叠纸片，使直线l上某一点A′恰好与点A重合.这样的每一种折法都留下一条折痕直线，则所有折痕直线上的点的集合为.
【参考答案】
1. ①②由题意可知满足|PM|-|PN|=6的P的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点.故选①②.
2. 由题意椭圆的标准方程为x24+y22=1，
设P(x,y)，M(x1,y1),N(x2,y2),
则由OP=OM+2ON得
(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)
=(x1+2x2,y1+2y2),
即x=x1+2x2,y=y1+2y2.
因为点M，N在椭圆x2+2y2=4上，
所以x21+2y21=4,x22+2y22=4，
故x2+2y2=(x21+4x22+4x1x2)+2(y21+4y22+4y1y2)
=(x21+2y21)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4(x1x2+2y1y2).
设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
kOM•kON=y1y2x1x2=-12,
因此x1x2+2y1y2=0,
所以x2+2y2=20.
所以P点是椭圆x2(25)2+y2(10)2=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，
又因c=(25)2-(10)2=10，
因此两焦点的坐标为F1(-10,0),F2(10,0).
3. (1) 因为BP=DA,且A(3,0),
所以BP=DA=2,而B,P关于y轴对称,
所以点P的横坐标为1,
从而得P(1,2),B(－1,2).
所以直线BD的方程为x+y－1=0.
(2) 线段BP的垂直平分线方程为x=0,
线段AP的垂直平分线方程为y=x－1,
所以圆C的圆心为(0,－1),
且圆C的半径为r=10.
又圆心C(0,－1)到直线BD的距离为d=2,
所以直线BD被圆C截得的弦长为
2r2－d2=42.
(3) 假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PA的垂直平分线y=x－1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN.
设M(0,b),则N(2,4－b),根据N(2,4－b)在直线y=x－1上,
解得b=3.
所以M(0,3),N(2,1),PM=PN=2,
故存在这样的两个圆,且方程分别为
x2+(y－3)2=2,(x－2)2+(y－1)2=2.
4. 以A为焦点，直线l为准线的抛物线的外部(含边界).
(作者：马进，江苏省通州高级中学)
类型一新定义题
【例1】设x1，x2∈R，定义运算：x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2．
（1） 若x≥0，常数p＞0，求动点Px，xp2的轨迹C；
（2） 过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与C交于不同的两点A，B，若|AB|≤2p，求实数a的取值范围．
分析首先要读懂题目中定义的新运算，在(2)中我们要用弦长公式求出AB的长度，再由|AB|≤2p构造不等式，求出实数a的取值范围。
解（1） 设P（x，y），则y=xp2=x+p22－x－p22=2px．
即y2=2px(y≥0).
（2） 直线l的方程为y=x－a，代入y2=2px，消去x得
y2－2py－2ap=0(y≥0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ=(－2p)2+8ap>0，
y1+y2=2p>0，
y1y2=－2ap≥0.
解得－p2
=2(y1－y2)2
=8(p2+2ap)≤2p，
解得a≤－p4．
故所求a的取值范围为－p2，－p4．
总结：本题属于自定义新运算型的信息迁移创新试题，具有立意新、形式新、设问巧等特点，这些信息通常包括新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等等。解决这类问题要求学生对知识有迁移能力，根据新定义转化为传统思路去解决问题，具有一定的创新思维。
类型二开放题
【例2】已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a，b>0，且）的两个焦点，P是椭圆上的一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是b2．请在题目的空缺处填入一个可能条件．
分析这是一道条件开放题，所缺条件一般是与a、b、c满足的某一关系式。因此解题中首先要对焦点在x还是y轴上进行分类讨论，然后分别求出△F1PF2的面积。
解首先确定坐标轴，假设焦点在y轴上，
由题意知，|PF1|+|PF2|=2b，
|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴|PF1||PF2|=2(b2－c2).
从而S△F1PF2=b2－c2
|PF1|+|PF2|=2a，①
|PF1|2+|PF2|2=4c2②
又∵|PF1|2+|PF2|2≥12(|PF1|+|PF2|)2，
∴由①、②，得4c2≥12(2a)2，即a2≤2c2，
亦即a2≥2b2，∴a≥2b>0．
由此，空缺处可以填写满足a=2b＞0的任一开放条件，
如a=2b>0，a>2b>0，a=3b>0等．
总结：解条件探索题的主要方法是：将需探索条件作为已知，结合题设等其他条件，列出满足结论的关系式，并由此找出满足结论的条件。
类型三存在探索题
【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1) 求圆C的方程；
(2) 试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析本题考查待定系数法求圆的方程和第一定义法求椭圆方程，借助圆的参数方程根据题目中的假设得到关于变量cosθ的方程，从方程是否有解这一角度来解决此探索性问题。
解(1) 设圆C的圆心为(m，n)，
则m=－n,
n•2=22,解得m=－2,
n=2,
所求的圆的方程为(x+2)2+(y－2)2=8.
(2) 由已知可得2a=10,a=5,
椭圆的方程为x225+y29=1,右焦点为F(4，0);
假设存在Q点(－2+22cosθ,2+22sinθ)使|QF|=|OF|,
(－2+22cosθ－4)2+(2+22sinθ)2=4,
整理得sinθ=3cosθ-22,
代入sin2θ+cos2θ=1得:
10cos2θ-122cosθ+7=0,
cosθ=62±210<1,
当cosθ=22时，Q点（0，0）（舍去）；
当cosθ=7210时,Q点45,125.
因此存在符合题意的Q点.
总结：本题是一道存在性问题，解决这类问题的方法为：①对这类问题，若能将所观察对象联系其几何背景进行数与形的转化，常能将复杂抽象的问题变得直观、具体，有利探明结论；②解析几何中的存在与否的问题常用Δ>0，或曲线方程本身的取值范围，或题意中变量的取值范围进行判断。
类型四动手操作题
【例4】如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD,按图示的方法进行折叠,使每次折叠后的点B都在AD边上，此时B记为B′(注:图中EF为折痕，点F也可落在边CD上)，过B′作B′T平行于CD交EF于T，求点T的轨迹方程.
分析由折叠的过程可知，|BT|=|B′T|，B′T⊥AD，在根据抛物线的定义，T的轨迹是以点B为焦点，AD为准线的抛物线的一部分。
解如图，以边AB的中点O为原点，AB边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0,-2).
因为|BT|=|B′T|，B′T⊥AD，根据抛物线的定义，T的轨迹是以点B为焦点，AD为准线的的抛物线的一部分.设T(x,y),|AB|=4,即定点B到定直线AD的距离为4，所以抛物线的方程为x2=－8y.
在折叠的过程中，线段AB′的长度在区间［0,4］内变化，而x=AB′，所以0≤x≤4.
故点T的轨迹方程为x2=－8y(0≤x≤4).
总结：求轨迹方程的关键是把动点满足的可以量化的几何条件（体现该轨迹属性的几何量间的关系）用坐标表示，因而从题设条件中分析出这些条件成为解决问题的突破口。
牛刀小试
1. 已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是.
①y=x+1;②y=2;③y=43x;④y=2x+1.
2. 如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=22，一条准线的方程为x=22．
设动点P满足：OP=OM+2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－12，当点F1、F2坐标分别为，使得|PF1|+|PF2|为定值．
3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆x29+2y29=1的右顶点，点D(1,0),点P,B在椭圆上，BP=DA.
(1) 求直线BD的方程；
(2) 求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长;
(3) 是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.
4. 一张纸上画有直线l和直线外一定点A，且点A到l的距离为a，折叠纸片，使直线l上某一点A′恰好与点A重合.这样的每一种折法都留下一条折痕直线，则所有折痕直线上的点的集合为.
【参考答案】
1. ①②由题意可知满足|PM|-|PN|=6的P的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点.故选①②.
2. 由题意椭圆的标准方程为x24+y22=1，
设P(x,y)，M(x1,y1),N(x2,y2),
则由OP=OM+2ON得
(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)
=(x1+2x2,y1+2y2),
即x=x1+2x2,y=y1+2y2.
因为点M，N在椭圆x2+2y2=4上，
所以x21+2y21=4,x22+2y22=4，
故x2+2y2=(x21+4x22+4x1x2)+2(y21+4y22+4y1y2)
=(x21+2y21)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4(x1x2+2y1y2).
设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
kOM•kON=y1y2x1x2=-12,
因此x1x2+2y1y2=0,
所以x2+2y2=20.
所以P点是椭圆x2(25)2+y2(10)2=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，
又因c=(25)2-(10)2=10，
因此两焦点的坐标为F1(-10,0),F2(10,0).
3. (1) 因为BP=DA,且A(3,0),
所以BP=DA=2,而B,P关于y轴对称,
所以点P的横坐标为1,
从而得P(1,2),B(－1,2).
所以直线BD的方程为x+y－1=0.
(2) 线段BP的垂直平分线方程为x=0,
线段AP的垂直平分线方程为y=x－1,
所以圆C的圆心为(0,－1),
且圆C的半径为r=10.
又圆心C(0,－1)到直线BD的距离为d=2,
所以直线BD被圆C截得的弦长为
2r2－d2=42.
(3) 假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PA的垂直平分线y=x－1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN.
设M(0,b),则N(2,4－b),根据N(2,4－b)在直线y=x－1上,
解得b=3.
所以M(0,3),N(2,1),PM=PN=2,
故存在这样的两个圆,且方程分别为
x2+(y－3)2=2,(x－2)2+(y－1)2=2.
4. 以A为焦点，直线l为准线的抛物线的外部(含边界).
(作者：马进，江苏省通州高级中学)