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【摘要】三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。而任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点，更是教师教学和学生学习的难点。本文通过具体的任意角的三角函数的概念教学片断的展现和分析，充分体现了发挥教师学生的双边作用、专研教材、关注主体等在优化课堂、发展学生思维、培养学生能力、创建有效课堂等方面的重要作用。
【关键词】问题；能力；有效课堂
【中图分类号】G423 【文章标识码】A 【文章编号】1326-3587（2013）03-0066-02
三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础。角的概念已经由锐角扩展到0°～360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充。任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果。任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点。无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等等，都具有基本的重要的意义，尤其是对我们理科类的中职学生的专业学习有很大的帮助。但绝大多数学生基础较差，学习数学的积极性不高，但他们好奇心较重，好表现。如何才能抓住他们的好奇心，激发他们的求知欲望，让他们在课堂上收获必要的数学知识，是我们所有中职数学教师长期关注研究的课题。那么在具体的教学过程中如何实施如此重要的三角函数的概念教学呢？我在教学中进行了以下的思考和设计。
一、创设问题激发学生学习数学的兴趣和欲望
问题1： （教师演示课件中宇宙运动、粒子变化、潮汐现象、简谐交流电振动等周期变化的图片）同学们周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙运动，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具有周期性，如潮汐现象、简谐振动、交流电等。而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型。三角函数到底是一种怎样的函数？它具有哪些特别的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？本课从研究第一个问题入手——任意角三角函数的概念。
设计意图：通过在自然景观、生活实例引入课题，让学生体会数学来源于生活又服务于生活。生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学发现自然界的奥秘。从而激发中职学生的好奇心、求知欲望，明确本章节、本节课研究方向与内容。
二、确定问题引导学生主动观察思考分析
问题2：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？（学生独立完成以下练习题，如图一）
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，sinA= 、conA= 、tanA= 。
问题3：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方法能推广到任意角吗？
问题4：如何定义任意角的三角函数？
教师：我们知道，直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究，借助坐标系，能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象。坐标系也为我们从“数”的角度定义任意角三角函数提供有效的载体。
设计意图：从学生已有的数学经验出发，激活学生原有的知识，引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望，让学生回顾初中学习过的锐角三角函数概念，把握内涵，引导学生探索任意角三角函数的定义，为学生借助坐标系来定义任意角三角函数做好铺垫，起着承上启下的作用。
三、提炼问题引导学生主动合作交流探讨
问题5：（如图二）先考虑锐角的情形，在平面直角坐标系中，你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗？
教师：如果用已有的锐角三角函数来解决，首先要做什么呢？
学生：构建直角三角形。
教师：怎么构建呢？
学生：在角 的终边上任取一点作x轴的垂线。
教师：这个点能取在原点吗？
学生：不能，否则构不成三角形。
教师：在平面直角坐标系里，点是由什么表示的？
学生：坐标。
教师：假设所取点的坐标为（x，y），你能用点的坐标表示出角 的sin 、con 、tan 吗？
学生分小组讨论完成，各小组代表作答。
在∠ 终边OP上取一点P1（x，y）过点P1作P1M⊥X轴，构建出Rt△ABC，则∠ 的三角函数的定义可以写作 、 、 。
问题6：终边上P点（异于原点）发生变化是否会引起三角函数值也变化？
学生分小组讨论完成。
利用三角函数的知识，得图三
设计意图：给学生创造自主探索、小组讨论交流的学习情境，有效的化解本节课的难点，更充分的调动全体学生的学习主动性和团队合作意识，进一步深化任意角三角函数概念，体会数形结合的数学思想方法，丰富了解决数学问题的经验和方法。
四、延伸问题引导学生主动尝试归纳总结
问题7，如图四：通过以上问题的探讨，你能用自己的语言刻画概括出任意角三角函数概念吗？先让学生尝试归纳，抽各组代表阐述，然后师生共同概括。
概念：设 是任意大小的角，点 为角 的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为 ，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为 ； ； 。
问题8：各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，得出结论：三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数。
师生共同总结：在比值存在的情况下，对角 的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角 的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角 为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。
问题9：a是任意角，作为函数的sina，cosa，tana，它们的定义域分别是什么？
由定义可以看出：当角 的终边在 轴上时， ，终边上任意一点的横坐标 的值都等于0，此时 无意义。除此以外，对于每一个确定的角 ，三个函数都有意义。
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如表一所示：
当角 采用弧度制时，角 的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数 为自变量的函数。
设计意图：扣准函数概念的内涵，把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念。但从以上问题中引申、抽象出任意角的三角函数的概念及定义域，对我们的中职学生来说比较困难。这时，教师要先鼓励学生尝试，再由师生共同完成。这个活动过程看似平淡，实际上体现了教师注重让学生经历任意角的三角函数的概念的概括过程，重视学生的归纳、概括能力培养的现代教学理念。
反思本节课，在新课标的指导下，首先是教师扮演着组织、引导、和学生合作的角色，注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台。通过这个平台，不但激发了学生主体的探索精神和创造力，而且有效地促进了学习方式的转变，改变了原有单一的被动的学习行为，构建了发挥学生主体多样化的学习方式，体现了教师是课堂的组织者，引导者、促进者和合作者，学生是学习活动的主体的新教学理念。其次是整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕着任意角三角函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳、概括出任意角三角函数概念。让学生经历了概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对任意角三角函数概念的构建。
【关键词】问题；能力；有效课堂
【中图分类号】G423 【文章标识码】A 【文章编号】1326-3587（2013）03-0066-02
三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础。角的概念已经由锐角扩展到0°～360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充。任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果。任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点。无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等等，都具有基本的重要的意义，尤其是对我们理科类的中职学生的专业学习有很大的帮助。但绝大多数学生基础较差，学习数学的积极性不高，但他们好奇心较重，好表现。如何才能抓住他们的好奇心，激发他们的求知欲望，让他们在课堂上收获必要的数学知识，是我们所有中职数学教师长期关注研究的课题。那么在具体的教学过程中如何实施如此重要的三角函数的概念教学呢？我在教学中进行了以下的思考和设计。
一、创设问题激发学生学习数学的兴趣和欲望
问题1： （教师演示课件中宇宙运动、粒子变化、潮汐现象、简谐交流电振动等周期变化的图片）同学们周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙运动，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具有周期性，如潮汐现象、简谐振动、交流电等。而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型。三角函数到底是一种怎样的函数？它具有哪些特别的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？本课从研究第一个问题入手——任意角三角函数的概念。
设计意图：通过在自然景观、生活实例引入课题，让学生体会数学来源于生活又服务于生活。生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学发现自然界的奥秘。从而激发中职学生的好奇心、求知欲望，明确本章节、本节课研究方向与内容。
二、确定问题引导学生主动观察思考分析
问题2：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？（学生独立完成以下练习题，如图一）
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，sinA= 、conA= 、tanA= 。
问题3：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方法能推广到任意角吗？
问题4：如何定义任意角的三角函数？
教师：我们知道，直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究，借助坐标系，能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象。坐标系也为我们从“数”的角度定义任意角三角函数提供有效的载体。
设计意图：从学生已有的数学经验出发，激活学生原有的知识，引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望，让学生回顾初中学习过的锐角三角函数概念，把握内涵，引导学生探索任意角三角函数的定义，为学生借助坐标系来定义任意角三角函数做好铺垫，起着承上启下的作用。
三、提炼问题引导学生主动合作交流探讨
问题5：（如图二）先考虑锐角的情形，在平面直角坐标系中，你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗？
教师：如果用已有的锐角三角函数来解决，首先要做什么呢？
学生：构建直角三角形。
教师：怎么构建呢？
学生：在角 的终边上任取一点作x轴的垂线。
教师：这个点能取在原点吗？
学生：不能，否则构不成三角形。
教师：在平面直角坐标系里，点是由什么表示的？
学生：坐标。
教师：假设所取点的坐标为（x，y），你能用点的坐标表示出角 的sin 、con 、tan 吗？
学生分小组讨论完成，各小组代表作答。
在∠ 终边OP上取一点P1（x，y）过点P1作P1M⊥X轴，构建出Rt△ABC，则∠ 的三角函数的定义可以写作 、 、 。
问题6：终边上P点（异于原点）发生变化是否会引起三角函数值也变化？
学生分小组讨论完成。
利用三角函数的知识，得图三
设计意图：给学生创造自主探索、小组讨论交流的学习情境，有效的化解本节课的难点，更充分的调动全体学生的学习主动性和团队合作意识，进一步深化任意角三角函数概念，体会数形结合的数学思想方法，丰富了解决数学问题的经验和方法。
四、延伸问题引导学生主动尝试归纳总结
问题7，如图四：通过以上问题的探讨，你能用自己的语言刻画概括出任意角三角函数概念吗？先让学生尝试归纳，抽各组代表阐述，然后师生共同概括。
概念：设 是任意大小的角，点 为角 的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为 ，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为 ； ； 。
问题8：各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，得出结论：三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数。
师生共同总结：在比值存在的情况下，对角 的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角 的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角 为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。
问题9：a是任意角，作为函数的sina，cosa，tana，它们的定义域分别是什么？
由定义可以看出：当角 的终边在 轴上时， ，终边上任意一点的横坐标 的值都等于0，此时 无意义。除此以外，对于每一个确定的角 ，三个函数都有意义。
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如表一所示：
当角 采用弧度制时，角 的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数 为自变量的函数。
设计意图：扣准函数概念的内涵，把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念。但从以上问题中引申、抽象出任意角的三角函数的概念及定义域，对我们的中职学生来说比较困难。这时，教师要先鼓励学生尝试，再由师生共同完成。这个活动过程看似平淡，实际上体现了教师注重让学生经历任意角的三角函数的概念的概括过程，重视学生的归纳、概括能力培养的现代教学理念。
反思本节课，在新课标的指导下，首先是教师扮演着组织、引导、和学生合作的角色，注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台。通过这个平台，不但激发了学生主体的探索精神和创造力，而且有效地促进了学习方式的转变，改变了原有单一的被动的学习行为，构建了发挥学生主体多样化的学习方式，体现了教师是课堂的组织者，引导者、促进者和合作者，学生是学习活动的主体的新教学理念。其次是整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕着任意角三角函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳、概括出任意角三角函数概念。让学生经历了概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对任意角三角函数概念的构建。